Learning end-to-end inversion of circular Radon transforms in the partial radial setup

Resumo Técnico: Aprendizado de Inversão de Ponta a Ponta de Transformadas de Radon Circulares na Configuração Radial Parcial

Definição do Problema
Este trabalho aborda o problema inverso de reconstruir a distribuição inicial da pressão da onda acústica, $f(r, \theta)$, a partir de dados da transformada de Radon circular, $g(\rho, \phi)$, no contexto da Tomografia Fotoacústica (PAT). Especificamente, o artigo foca na configuração radial parcial, um cenário onde os dados são coletados apenas para raios $\rho \in (0, R)$ em vez do intervalo completo $(0, 2R)$. Esta configuração é motivada por restrições práticas de custo na aquisição de dados, mas apresenta desafios matemáticos significativos.

A principal dificuldade reside no fato de que o único algoritmo numérico tradicional existente para esta configuração específica é o método da Decomposição de Valores Singulares Truncada (TSVD), acoplado a uma regra trapezoidal de produto. Os autores demonstram que o TSVD sofre de limitações severas:

1. Ele produz reconstruções contaminadas por artefatos significativos, tornando os campos inutilizáveis em muitos casos.
2. Requer um parâmetro de truncamento dependente do problema e do ruído, que é difícil de selecionar de forma otimizada.
3. Em cenários de visão limitada (onde os dados angulares são restritos a um subconjunto de $[0, 2\pi)$ devido a zonas de transdutores inacessíveis), as reconstruções por TSVD degradam-se ainda mais, falhando em recuperar a estrutura do fantasma subjacente.

Metodologia
Para superar os gargalos computacionais e os problemas de artefatos do TSVD, os autores propõem um algoritmo de aprendizado profundo de ponta a ponta baseado em uma arquitetura U-Net com ResBlock. A abordagem pertence à classe de "abordagem direta" de aprendizado profundo para problemas inversos, onde uma rede neural aprende a mapear diretamente as medições para a imagem reconstruída sem etapas de reconstrução tradicionais intermediárias.

• Modelo Direto (Forward Model): O problema é formulado como $Y = F(X) + \eta$, onde $X$ é o campo de pressão real (em uma grade de $128 \times 128$) e $Y$ são os dados de Radon circular (sinograma) em uma grade $\rho-\phi$.
• Arquitetura da Rede: Uma U-Net é empregada, consistindo em um ramo de contração para extrair características multiescala e um ramo de expansão para recuperar a resolução espacial. Conexões de salto (skip connections) combinam as características de ambos os ramos. A arquitetura é adaptada para duas resoluções de entrada específicas:
  • Visão Total (Full View): Tamanho de entrada $128 \times 128$ ($\rho \in [0, 1], \phi \in [0, 2\pi)$).
  • Visão Limitada (Limited View): Tamanho de entrada $64 \times 64$ ($\rho \in [0, 1], \phi \in [0, \pi)$), exigindo uma camada de interpolação adicional para corresponder à resolução de saída.
• Geração de Conjunto de Dados: Como os dados experimentais para esta configuração radial parcial específica não estão disponíveis, os autores geram conjuntos de dados sintéticos usando fantasmas Shepp-Logan perturbados. Estes fantasmas são modificados pela randomização de centros de elipses, eixos, ângulos e intensidades, seguidos de rotação e translação.
• Estratégia de Treinamento: As redes são treinadas usando uma estratégia de aprendizado supervisionado com uma função de perda de Erro Quadrático Médio (MSE). Crucialmente, os autores investigam o impacto do ruído no treinamento. Eles comparam redes treinadas em dados limpos contra aquelas treinadas em uma mistura de dados limpos e ruidosos (especificamente 15% de ruído). O objetivo é garantir que a rede generalize bem para condições de teste ruidosas.
• Otimização: As redes são treinadas usando o otimizador Adam por 300 épocas com regularização $L2$.

Principais Contribuições

1. Demonstração da Falha do TSVD: O artigo fornece evidência numérica de que o método TSVD padrão produz artefatos severos na configuração radial parcial, particularmente sob condições de visão limitada e ruído, resultando frequentemente em erros de até 400% para níveis altos de ruído.
2. Estrutura de Aprendizado de Ponta a Ponta: Os autores introduzem uma arquitetura U-Net que aprende diretamente o mapeamento físico inverso do sinograma para o campo de pressão, contornando a necessidade de regularização manual ou reconstruções lineares intermediárias.
3. Robustez ao Ruído: Um achado significativo é que o treinamento com dados ruidosos (especificamente até 15% de ruído) melhora significativamente a generalização. Redes treinadas apenas com dados limpos falham em reconstruir com precisão quando testadas em entradas ruidosas, enquanto o treinamento aumentado por ruído produz resultados estáveis e livres de artefatos em todo o espectro de ruído.
4. Adaptação à Visão Limitada: O estudo estende com sucesso a abordagem de aprendizado profundo para a configuração de visão limitada (metade da cobertura angular e amostragem radial mais grosseira), demonstrando que a rede pode lidar efetivamente com dimensões de dados reduzidas.

Resultados
O método proposto foi avaliado utilizando métricas quantitativas: Relação Sinal-Ruído de Pico (PSNR) e Índice de Similaridade Estrutural (SSIM).

• Desempenho de Visão Total: A U-Net treinada com dados ruidosos (UNet128cn15) superou significativamente o TSVD. Enquanto as reconstruções do TSVD degradaram rapidamente conforme o ruído aumentava de 0% para 15%, a U-Net manteve valores altos de PSNR e SSIM, permanecendo estável em todos os níveis de ruído.
• Desempenho de Visão Limitada: Da mesma forma, para a configuração de visão limitada (UNet64cn15), a abordagem de aprendizado profundo produziu reconstruções precisas e livres de artefatos. Em contraste, as reconstruções do TSVD estavam tão corrompidas por artefatos que a estrutura do fantasma subjacente era quase indiscernível.
• Qualidade Visual: Resultados qualitativos confirmaram que as reconstruções da U-Net preservaram os detalhes estruturais dos fantasmas Shepp-Logan sem os artefatos de rastros (streak artifacts) característicos do método TSVD.

Significância e Alegações
O artigo afirma que o algoritmo de aprendizado profundo proposto supera com sucesso o gargalo computacional e os artefatos severos associados ao método TSVD para a configuração radial parcial em PAT. Os autores enfatizam que sua abordagem é particularmente significativa porque opera diretamente nas medições brutas, aprendendo a física inversa subjacente sem depender de uma reconstrução linear tradicional como precursor.

O trabalho destaca a necessidade de treinar com dados ruidosos para alcançar um desempenho robusto em cenários do mundo real, onde o ruído de medição é inevitável. Os autores concluem que, embora o presente trabalho seja limitado a fantasmas sintéticos e suposições de velocidade do som constante, o framework proposto oferece um caminho viável para resolver problemas inversos de PAT onde os métodos tradicionais falham. O trabalho futuro é identificado como a generalização do algoritmo para velocidades do som não constantes e a incorporação de quantificação de incerteza via configurações Bayesianas, mas estes são apresentados como direções futuras, e não como conquistas atuais.