Learning end-to-end inversion of circular Radon transforms in the partial radial setup

Resumen Técnico: Aprendizaje de la Inversión de Extremo a Extremo de las Transformadas de Radon Circulares en la Configuración Radial Parcial

Planteamiento del Problema
Este trabajo aborda el problema inverso de reconstruir la distribución de la presión de la onda acústica inicial, $f(r, \theta)$, a partir de los datos de la transformada de Radon circular, $g(\rho, \phi)$, en el contexto de la Tomografía Fotoacústica (PAT). Específicamente, el artículo se centra en la configuración radial parcial, un escenario donde los datos se recolectan solo para radios $\rho \in (0, R)$ en lugar del rango completo $(0, 2R)$. Esta configuración está motivada por las restricciones de costos prácticos en la adquisición de datos, pero presenta desafíos matemáticos significativos.

La dificultad principal radica en que el único algoritmo numérico tradicional existente para este caso específico de configuración es el método de la Descomposición en Valores Singulares Truncada (TSVD), junto con una regla de la cuadratura trapezoidal de producto. Los autores demuestran que la TSVD sufre de limitaciones severas:

1. Produce reconstrucciones contaminadas por artefactos significativos, lo que las hace inutilizables en muchos casos.
2. Requiere un parámetro de truncamiento dependiente del problema y del ruido, el cual es difícil de seleccionar de manera óptima.
3. En escenarios de visión limitada (donde los datos angulares están restringidos a un subconjunto de $[0, 2\pi)$ debido a zonas de transductores inaccesibles), las reconstrucciones por TSVD se degradan aún más, fallando en recuperar la estructura del fantasma subyacente.

Metodología
Para superar los cuellos de botella computacionales y los problemas de artefactos de la TSVD, los autores proponen un algoritmo de aprendizaje profundo de extremo a extremo basado en una arquitectura U-Net con bloques residuales (ResBlock). El enfoque pertenece a la clase de "enfoque directo" del aprendizaje profundo para problemas inversos, donde una red neuronal aprende a mapear directamente las mediciones crudas hacia la imagen reconstruida sin pasos de reconstrucción tradicionales intermedios.

• Modelo de Propagación (Forward Model): El problema se enmarca como $Y = F(X) + \eta$, donde $X$ es el campo de presión real (en una rejilla de $128 \times 128$) y $Y$ son los datos de la transformada de Radon circular (sinograma) en una rejilla $\rho-\phi$.
• Arquitectura de la Red: Se emplea una U-Net, que consiste en una rama de contracción para extraer características multiescala y una rama de expansión para recuperar la resolución espacial. Las conexiones de salto (skip connections) combinan las características de ambas ramas. La arquitectura se adapta para dos resoluciones de entrada específicas:
  • Visión Completa (Full View): Tamaño de entrada $128 \times 128$ ($\rho \in [0, 1], \phi \in [0, 2\pi)$).
  • Visión Limitada (Limited View): Tamaño de entrada $64 \times 64$ ($\rho \in [0, 1], \phi \in [0, \pi)$), lo que requiere una capa de interpolación adicional para igualar la resolución de salida.
• Generación de Conjunto de Datos: Dado que no se dispone de datos experimentales para esta configuración específica de radio parcial, los autores generan conjuntos de datos sintéticos utilizando fantasmas de Shepp-Logan perturbados. Estos fantasmas son modificados mediante la aleatorización de los centros de las elipses, sus ejes, ángulos e intensidades, seguidos de rotación y traslación.
• Estrategia de Entrenamiento: Las redes se entrenan utilizando una estrategia de aprendizaje supervisado con una función de pérdida de Error Cuadrático Medio (MSE). Crucialmente, los autores investigan el impacto del ruido en el entrenamiento. Comparan redes entrenadas con datos limpios frente a aquellas entrenadas con una mezcla de datos limpios y ruidosos (específicamente un 15% de ruido). El objetivo es asegurar que la red generalice bien ante condiciones de prueba con ruido.
• Optimización: Las redes se entrenan utilizando el optimizador Adam durante 300 épocas con regularización $L2$.

Contribuciones Clave

1. Demostración del Fallo de TSVD: El artículo proporciona evidencia numérica de que el método TSVD estándar genera artefactos severos en la configuración de radio parcial, particularmente bajo condiciones de visión limitada y con ruido, resultando a menudo en errores de hasta un 400% para niveles altos de ruido.
2. Marco de Aprendizaje de Extremo a Extremo: Los autores introducen una arquitectura U-Net que aprende directamente el mapeo físico inverso desde el sinograma hacia el campo de presión, evitando la necesidad de regularización diseñada a mano o reconstrucciones lineales intermedias.
3. Robustez al Ruido: Un hallazgo significativo es que el entrenamiento con datos mixtos (limpios y ruidosos, específicamente hasta un 15% de ruido) mejora significativamente la generalización. Las redes entrenadas únicamente con datos limpios fallan al reconstruir con precisión cuando se prueban con entradas ruidosas, mientras que el entrenamiento aumentado con ruido produce resultados estables y libres de artefactos en todo el espectro de ruido.
4. Adaptación a la Visión Limitada: El estudio extiende con éxito el enfoque de aprendizaje profundo a la configuración de visión limitada (mitad de cobertura angular y muestreo radial más grueso), demostrando que la red puede manejar eficazmente las dimensiones de datos reducidas.

Resultados
El método propuesto fue evaluado mediante métricas cuantitativas: Relación Señal-Ruido de Pico (PSNR) e Índice de Similitud Estructural (SSIM).

• Desempeño de Visión Completa: La U-Net entrenada con datos ruidosos (UNet128cn15) superó significativamente a la TSVD. Mientras que las reconstrucciones de TSVD se degradaron rápidamente a medida que el ruido aumentó del 0% al 15%, la U-Net mantuvo valores de PSNR y SSIM elevados, manteniéndose estable a través de todos los niveles de ruido.
• Desempeño de Visión Limitada: Del mismo modo, para la configuración de visión limitada (UNet64cn15), el enfoque de aprendizaje profundo produjo reconstrucciones precisas y libres de artefactos. En contraste, las reconstrucciones de TSVD estaban tan corrompidas por artefactos que la estructura del fantasma subyacente era casi imperceptible.
• Calidad Visual: Los resultados cualitativos confirmaron que las reconstrucciones de la U-Net preservaron los detalles estructurales de los fantasmas de Shepp-Logan sin los artefactos de rayas característicos del método TSVD.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el algoritmo de aprendizaje profundo propuesto supera con éxito el cuello de botella computacional y la generación severa de artefactos asociados con el método TSVD para la configuración de radio parcial en PAT. Los autores enfatizan que su enfoque es particularmente significativo porque opera directamente sobre las mediciones crudas, aprendiendo la física inversa subyacente sin depender de una reconstrucción lineal tradicional como precursor.

El trabajo destaca la necesidad de entrenar con datos ruidosos para lograr un desempeño robusto en escenarios del mundo real donde el ruido de medición es inevitable. Los autores concluyen que, si bien el presente trabajo se limita a fantasmas sintéticos y suposiciones de velocidad del sonido constante, el marco propuesto ofrece una vía viable para resolver los problemas inversos de PAT donde los métodos tradicionales fallan. Se identifica como trabajo futuro la generalización del algoritmo a velocidades de sonido no constantes y la incorporación de la cuantificación de la incertidumbre mediante configuraciones Bayesianas, pero estas se presentan como direcciones futuras más que como logros actuales.