Experimentally Extending Quantum Kernel Learning to Quantum Data by NMR

기술 요약: NMR을 이용한 양자 데이터로의 양자 커널 학습 실험적 확장

문제 정의
양자 머신러닝(QML)은 데이터 처리를 위해 양자 시스템의 구조를 활용하는 것을 목표로 한다. 이론적 프레임워크는 "양자 데이터"(유니터리 연산자와 같이 양자 시스템에 내재된 데이터)로부터 학습하는 것이 고전적 방법론에 비해 지수적인 이점과 우수한 일반화 능력을 제공한다고 제안하지만, 실험적 입증은 제한적이었다. 기존의 양자 커널 학습(QKL)에 관한 실험적 진전은 주로 "QC" 패러다임(고전 데이터를 처리하기 위해 양자 시스템을 사용하는 방식)이나 "CQ" 패러다임(양자 데이터에 고전 알고리즘을 적용하되, 종종 토모그래피나 파라미터화가 필요한 방식)에 집중되어 왔다. "QQ" 패러다임, 즉 양자 입력을 고전적 표현으로 변환하지 않고 양자 알고리즘을 직접 적용하는 방식에는 여전히 큰 공백이 존재한다. 과제는 고전적 상태 토모그래피의 지수적 스케일링 비용과 파라미터화에 따른 정보 손실을 피하면서, 네이티브 하드웨어 상에서 직접 연산자 값 입력을 처리할 수 있는 표현력 있고 학습 가능한 모델을 만드는 것이다.

방법론
저자들은 액체 상태 핵자기공명(NMR) 플랫폼을 사용하여 QKL을 구현하고 벤치마킹하였다. 본 연구는 두 가지 주요 단계로 나뉜다:

1. 고전 데이터에 대한 벤치마킹 (QC 패러다임):

   • 시스템: 중심 $^{31}\text{P}$ 스핀이 9개의 자기적으로 동등한 $^{1}\text{H}$ 스핀과 결합된 트리메틸 포스파이트 분자로 구현된 10-큐비트 스타-토폴로지 레지스터.
   • 인코딩: 고전적 $d$-차원 입력 벡터를 집합적 회전과 고정된 얽힘 유니터리($U_e$)를 포함하는 특징 맵(feature map)을 통해 유니터리 연산자 $V(x_i)$로 인코딩한다.
   • 커널 계산: 커널 $k(x_i, x_j)$는 생성된 연산자들의 힐베르트-슈미트트 내적(Hilbert-Schmidt inner product)으로 정의된다. NMR 구현에서 이는 초기 상태에 시퀀스 $V^\dagger(x_j)V(x_i)$를 적용한 후 참조 관측량($I_z^C$)의 기댓값으로 측정된다.
   • 태스크: 1차원 회귀(사인 함수 및 7차 다항식 함수)와 2차원 분류(Circles 및 Moons 데이터셋)를 수행하였다.

2. 양자 데이터로의 확장 (QQ 패러다임):

   • 시스템: 디브로모플루오로메탄 내의 3-스핀 시스템($^{13}\text{C}$, $^{1}\text{H}$, $^{19}\text{F}$)으로 구현된 이중 레이어 스타-토폴로지 레지스터.
   • 입력: 입력 데이터는 2-큐비트 부공간(subspace)에서 작용하는 유니터리 연산자 $U_i \in SU(4)$들로 구성된다. 이 연산자들은 반드시 고전 변수로 파라미터화될 필요는 없으며, 임의의 양자 게이트가 될 수 있다.
   • 특징 맵: 인코딩 유니터리는 $V_i = U_i^\dagger U_e U_i$로 정의되며, 여기서 $U_e$는 고정된 얽힘 게이트이다. 이를 통해 커널은 연산자들을 직접 비교할 수 있다.
   • 태스크: 결과 상태의 로그 네거티비티(logarithmic negativity)를 기준으로 유니터리 연산자를 "얽힘(entangling)"과 "비얽힘(non-entangling)" 범주로 이진 분류한다.
   • 비교: 저자들은 CQ 패러다임(유니터리의 고전적 파라미터 $\theta, \alpha$에 대해 훈련된 고전 가우시안 커널)을 QQ 패러다임과 비교한다.

주요 기여

• QQ 패러다임의 실험적 구현: 본 논문은 NMR 프로세서를 사용하여 양자 입력(유니터리 연산자)에 대해 직접 작동하는 QKL의 첫 실험적 시연을 제공하며, 이를 통해 고전적 파라미터화나 완전한 상태 토모그래피를 우회한다.
• 연산자 분류: 저자들은 양자 커널을 사용하여 얽힘 연산자와 비얽힘 연산자를 성공적으로 분류하였으며, 이는 양자 정보 분야에서 매우 까다로운 문제이다.
• 대칭성을 통한 일반화 능력: 본 연구는 QKL이 연산자 공간의 대칭 구조를 활용함으로써 보지 못한 데이터 영역으로 일반화할 수 있음을 보여준다. 이는 고전적 커널이 양자 데이터에 적용될 때 나타나는 한계를 극복하는 능력이다.
• 확장 가능한 프로토콜: 본 연구는 양자 상태를 재구성하는 데 따르는 지수적인 자원 비용을 피하면서 네이티브 양자 하드웨어에서 커널을 계산하는 프로토콜을 확립하였다.

결과

• 고전 데이터 성능:
  • 회귀: NMR QKL은 15개의 훈련 포인트에 대해 사인 함수 회귀에서 99.1%의 RMS 정확도를, 42개의 포인트에 대해 7차 다항식에서 98.8%의 정확도를 달립했다.
  • 분류: 시스템은 Circles 및 Moons 데이터셋을 성공적으로 분류하여 각각 0.15와 0.08의 힌지 손실(hinge loss) 값을 기록했으며, 이는 표준 ML 태스크에 대한 커널의 신뢰성을 확인해 준다.
• 양자 데이터 성능:
  • CQ 패러다임의 실패: 유니터리의 고전적 파라미터(유니터리의 "하단 절반" 영역에서만 훈련됨)에 대해 고전 가우시안 커널을 훈련했을 때, "상단 절반" 영역으로 일반화하는 데 실패하여 약 50%의 정확도를 보였다.
  • QQ 패러다임의 성공 (시뮬레이션): 3-스핀 시스템에 대한 QKL의 수치 시뮬레이션은 94%의 정확도를 달성하였으며, 훈련되지 않은 상단 절반의 파라미터 영역으로부터 오는 연산자들을 정확하게 분류하였다. 훈련 세트가 커짐에 따라 정확도는 99% 근처에서 포화되었다.
  • QQ 패러다임의 성공 (실험): 실험적 NMR 구현은 85%의 정확도를 달성하였다. 결정적으로, 이 시스템은 훈련된(하단) 영역과 훈련되지 않은(상단) 영역 모두에서 얽힘 영역을 정확하게 식별하였으며, 이는 양자 연산자 공간의 기저 구조를 포착하는 능력을 입증한다.

의의 및 주장
저자들은 본 연구가 양자 데이터 처리에 있어 고전적 방법론보다 QKL이 우월함을 확인한다고 주장한다. 양자 입력을 네이티브하게 처리함으로써, QKL은 변분 회로(variational circuits)와 관련된 "배런 플레이토(barren plateau)" 문제를 피하고 고전적 파라미터화에 내재된 정보 손실을 방지한다. 결과는 이 방법이 다음을 수행할 수 있음을 강조한다:

1. 양자 공간의 내재적 구조(특히 연산자 공간의 대칭성)를 포착함.
2. 훈련 데이터의 도메인을 넘어 영역을 확장하여, 고전적 커널이 달성할 수 없는 일반화를 실현함.
3. 값비싼 토모그래피 없이 네이티브 양자 하드웨어에서 연산자를 비교하는 실질적인 경로를 제공함.

본 논문은 이 연구가 현재의 NISQ(Noisy Intermediate-Scale Quantum) 플랫폼에서도 구현 가능하다는 점을 언급하며, 양자 다체 물리학, 고에너지 물리학 및 신흥 양자 기술 분야에 대한 일반적인 QML을 향한 중요한 단계라고 위치시킨다.