Effect of interatomic repulsion and quasi-degenerate states on a Kitaev-transmon qubit based on double quantum dots

기술 요약: 키테브-트랜스몬 큐비트에 미치는 원자 간 반발력 및 준퇴화 상태의 효과

문제 정의
본 논문은 Pino 등이 제안한, 스핀 없는 키테브 해밀토니언(spinless Kitaev Hamiltonian)으로 모델링된 두 개의 이중 양자점(DQD)을 조셉슨 접합이 연결하는 구조인 키테브-트랜스몬 큐비트의 견고성과 스펙트럼 특성을 조사한다. 이전 연구들은 특정 파라미터 "스윗 스팟(sweet spots)"에서 "가짜 마요라나(poor man's Majorana, PMM)" 상태의 존재를 확립했지만, 이러한 분석들은 종종 원자 간 쿨롱 반발력($V$)과 특정 준퇴화 상태들을 간과하였다. 저자들은 고립된 DQD에서 $V$의 포함이 PMM의 안정성에 어떻게 영향을 미치는지, 그리고 $V$와 이전에 무시되었던 상태들이 전체 트랜스몬 큐비트의 고유 상태와 마이크로파 스펙트럼에 어떻게 영향을 미치는지 결정하는 것을 목표로 한다.

방법론
본 연구는 시스템의 해밀토니언에 대한 정확한 대각화(exact diagonalization)를 기반으로 한 이론적 프레임워크를 채택한다.

1. 고립된 DQD 모델: 저자들은 화학 퍼텐셜($\mu_i$), 교차 안데르센 반사(CAR, $\Delta$), 단일 전자 탄성 코터널링(ECT, $t$), 그리고 이중 도트 간 쿨롱 반발력($V$)을 포함하는 해밀토니언으로 기술되는 단일 DQD를 먼저 분석한다. 이들은 짝수 및 홀수 패리티 부ubspace에서의 바닥 상태에 대한 분석적 표현식을 유도한다.
2. 전체 시스템 모델: 모델은 조셉슨 접합($t_J$)에 의해 결합된 두 개의 DQD로 확장되며, 전하 에너지($E_C$)와 두 번째 조셉슨 접합($E_J$)이 있는 초전도 회로에 매립된다. 접합 양단의 위상 차이는 쿠퍼 쌍의 수에 공액인 연산자로 취급된다.
3. 수치 시뮬레이션: 전하 연산자 $\hat{n}$의 기저를 $|n| < 16$으로 절단하여 전체 해밀토니언을 수치적으로 대각화한다. 저자들은 오프셋 전하($m_g$)와 짝수 및 홀수 패리티 상태 사이의 에너지 차이($E_{ee}$ 대 $E_{oo}$)를 변화시켜 에너지 스펙트럼을 매핑하고 선형 응답에서 마이크로파 전이율을 계산한다.

주요 기여 및 결과

• 반발력이 존재하는 경우에도 지속되는 PMM 스윗 스팟:
  저자들은 시스템 파라미터가 조정된다면 원자 간 쿨롱 반발력 $V$가 존재하는 상황에서도 잘 정의된 PMM을 수용하는 "스윗 스팟"이 지속됨을 입증한다. 구체적으로, 스윗 스팟을 위한 조건은 $V=0$인 경우에서 다음과 같이 이동한다:

  • $\mu_1 = \mu_2 = V/2$
  • $\Delta = |t| + V/2$
    이 조건 하에서 PMM을 위한 네 가지 기준(바닥 상태의 퇴화, 사이트당 전하 변화 제로, 완벽한 국소화, 유한한 여기 갭)이 충족된다. 저자들은 이론적으로는 가능하지만, $\Delta$ 또는 $t$를 $V/2$만큼 조정해야 하는 요구 조건이 큰 $V$에 대해서는 실험적으로 어려울 수 있음을 언급한다.

• 스윗 스팟에서의 이중 퇴화:
  전체 키테브-트랜스몬 시스템에 대해, 저자들은 두 DQD가 각각의 스윗 스팟에 있고($E_{ee} = E_{oo}$) 외부 플럭스가 0($\phi_{ext} = 0$)일 때, 시스템의 모든 고유 상태가 이중 퇴화됨을 증명한다. 이 퇴화는 해밀토니언의 특정 대칭성, 즉 두 개의 분리된 힐베르트 부공간(하나는 짝수 $n$을 갖는 $|ee, n\rangle$과 홀수 $n$을 갖는 $|oo, n\rangle$을 포함하고, 다른 하나는 $n$의 패리티가 반전된 상태를 포함함) 사이를 매핑하는 연산자 $\hat{O}$의 존재로부터 기인한다. 저자들은 $\hat{O}$가 해밀토니언과 교환(commute)하며 $\hat{O}^2 = -1$을 만족함을 보여, 이중 퇴화를 필연적으로 만든다.

• 무시된 상태들과 레벨 크로싱의 영향:
  스윗 스팟에서 벗어날 때, 시스템의 거동은 초기 상태에 민해진다. 저자들은 유사한 모델에서 무시되었던 상태들, 특히 짝수 $n$인 $|ee, n\rangle$과 홀수 $n$인 $|oo, n\rangle$이 결정적인 역할을 한다는 점을 식별한다. 오프셋 전하 $m_g$가 변함에 따라, 이 서로 다른 부공간들 사이에서 레벨 크로싱이 발생한다.

  • $|E_{ee}| < |E_{oo}|$ 일 때, 바닥 상태는 $|oo, n\rangle$ 상태들에 의해 지배된다.
  • $|E_{ee}| > |E_{oo}|$ 일 때, 바닥 상태는 $|ee, n\rangle$ 상태들에 의해 지배된다.
    이러한 크로싱은 마이크로파 스펙트럼의 강도(intensity)에서 도약을 초래한다.

• 마이크로파 스펙트럼:
  계산된 마이크로파 스펙트럼($S(\omega)$)은 기저에 깔린 대칭성 덕분에 전이 에너지는 두 부공간에서 동일하게 유지되지만, 스펙트럼 강도는 바닥 상태 구성에 따라 달라짐을 보여준다. 저자들은 준입자 포이즈닝(quasiparticle poisoning)이 크로싱 지점에서 이 부공간들 사이의 전환을 유도할 수 있으며, 이는 실험적 관측에서 스펙트럼의 중첩으로 나타날 수 있다고 언급한다.

의의 및 주장
본 논문은 원자 간 쿨롱 반발력을 명시적으로 포함함으로써 키테브-트랜스몬 큐비트에 대한 이론적 이해를 필수적으로 확장했다고 주장한다. 주요 의의는 다음과 같다:

1. 파라미터 재규격화: $V$의 효과가 단순한 파라미터 재규격화(화학 퍼텐셜 이동 및 CAR/ECT 진폭 조정)를 통해 설명될 수 있음을 보여줌으로써, 이 특정 상호작용에 대한 PMM 개념의 견고성을 검증하였다.
2. 스펙트럼의 완전성: 이전에 간과되었던 두 번째의 분리된 힐베르트 부공간의 존재를 강조한다. 저자들은 정밀하게 조정된 스윗 스팟 밖에서 시스템의 스펙트럼이 더 풍부하며 특정 부공간의 점유 여부에 의존한다는 것을 입증하였으며, 이는 저온에서 열적 평형 상태에 있는 시스템에 있어 중요하다.
3. 실험적 탐지: 저자들은 계산된 마이크로파 스펙트럼, 특히 바닥 상태 크로싱과 관련된 강도 도약이 스윗 스팟과 상호작용 파라미터의 영향을 실험적으로 탐지하는 도구로 사용될 수 있음을 제안한다.

저자들은 스윗 스팟이 이론적으로는 견고하지만, 큰 $V$ 값은 실험적 구현을 어렵게 만들 수 있다는 점을 인정하며 겸손한 어조를 유지한다. 그들은 새로운 실험 설계를 제안하기보다는 기존의 Pino 등의 제안에 대한 이론적 모델을 정교화한다.