Global $W^{2,1+ε}$ regularity for potentials of optimal transport of non-convex planar domains

기술 요약: 비볼록 평면 영역의 최적 운송 포텐셜에 대한 전역적 $W^{2,1+\epsilon}$ 정칙성

문제 정의
본 논문은 소스 영역 $\Omega$가 유계 비볼록 다각형이고 타겟 영역 $\Omega^*$가 유계 볼록 영역인 2차원($\mathbb{R}^2$)에서의 최적 운송 맵의 정칙성을 조사한다. 이 문제는 $(\nabla u)_{\sharp} f = g$를 만족하는, 전역적으로 립시츠 연속인 볼록 포텐셜 함수 $u$를 찾는 문제를 포함한다. 여기서 $\Omega$에 지지 집합을 갖는 소스 확률 밀도 $f$와 $\Omega^*$에 지지 집합을 갖는 타겟 밀도 $g$를 다룬다. 밀도는 양의 상수 사이에서 유계($1/\lambda \leq f, g \leq \lambda$)라고 가정한다.

소스 영역이 볼록한 구멍(convex holes)을 가진 경우(Andriyanova 및 Chen [1])에는 전역 $C^{1,\alpha}$ 추정치가 확립되었고, 매끄러운 밀도와 매끄러운 구멍에 대해서는 날카로운 전역 $W^{2,p}$ 추정치가 증명되었으나(Mooney 및 Rakshit [29]), 일반적인 비볼록 다각형 소스 영역의 경우는 특정한 기하학적 어려움을 제시한다. 구체적으로, 볼록성에 의존하는 몽제-앙페르(Monge-Ampère) 측도의 표준 배가 성질(doubling property)은 비볼록 다각형의 오목한 꼭짓점 근처에서 실패할 수 있다. 저자들은 이러한 설정에서 포텐셜 $u$에 대한 전역 $W^{2,1+\epsilon}$ 추정치를 확립하는 것을 목표로 한다.

방법론 및 핵심 기술 도구
증명 전략은 비볼록 경계 설정에 맞추어 Caffarelli의 정칙성 이론을 적응시켜, 포텐셜 $u$와 관련된 몽제-앙페르 섹션(sections)에 대한 국소적 분석에 의존한다.

1. 국소화 및 배가 성질 (Localization and Doubling Property):
   저자들은 먼저 높이 $h$에 대한 작은 섹션들에 대해 $u$와 관련된 몽제-앙페르 측도의 배가 성질을 확립한다. 핵심 단계는 중심 섹션 $S^c_h(x)$가 "잘 국소화(well-localized)"되어 있음을 증명하는 것이다.

• 보조정리 3.2는 충분히 작은 $h$에 대해, $\Omega$ 내에 중심을 둔 임의의 섹션이 작은 볼(ball) 안에 포함됨을 보여주며, 이를 통해 섹션이 영역을 벗어나거나 인접하지 않은 엣지를 가로지르지 않도록 보장한다.
• 명제 1.1은 배가 성질 $|\nabla u(S^c_h(x))| \leq C |\nabla u(\frac{1}{2}S^c_h(x))|$을 증명한다. 이는 오목한 꼭짓점 근처에서 영역을 분해함으로써 달성된다. 오목한 꼭짓점에서 떨어진 점들의 경우, $\Omega$와의 섹션 교집합은 볼록하다. 오목한 꼭짓점 근처에서 저자들은 섹션과 $\Omega$의 교집합 면적이 전체 섹션 면적의 양의 비율을 유지함을 보여줌으로써, 비볼록성에도 불구하고 배가 추정치가 성립할 수 있음을 보여준다.

2. 기하학적 감쇠 및 포위 성질 (Geometric Decay and Engulfing Properties):
   오목한 꼭짓점($V_1$) 근처의 특이한 거동을 처리하기 위해, 저자들은 섹션에 대한 기하학적 감쇠 성질(보조정리 4.1)을 도입한다. 이 보조정리는 만약 점 $x_2$가 $x_1$의 스케일된 섹션 깊숙이 있다면, $x_2$를 중심으로 하는 충분히 작은 섹션이 $x_1$의 약간 더 작은 스케일된 섹션 내에 포함된다는 것을 단언한다.

• 증명은 모순을 이끌어내기 위해 블라슈케 선택 정리(Blaschke's selection theorem)를 이용한 재정규화 논법을 활용한다. 만약 감쇠 성질이 실패한다면, 극한 함수는 특정 경계 조건을 가진 반구(half-ball) 위에서 몽제-앙페르 방정식을 만족하게 되는데, 이는 볼록 해를 허용하지 않는다([29]의 보조정리 6.1 참조).
• 이를 바탕으로, 오목한 꼭짓점 근처의 섹션들에 대한 포위 성질(engulfing property)(보조정리 4.2)이 확립된다. 이 성질은 비볼록 기하학에 맞춤화된 Vitali 유형의 덮개 보조정리(보조정리 4.3)를 구성하는 데 필수적이다.

3. 반복 적분 추정 (Iterative Integral Estimates):
   $W^{2,1+\epsilon}$ 증명의 핵심은 De Philippis, Figalli, Savin [16, 17]의 프레임워크를 따른다.

• 명제 5.1은 섹션 상의 헤시안 노름 $\|D^2 u\|$의 적분에 대한 상한을, 헤시안이 정규화된 섹션 크기와 유사한 집합의 측도에 관한 식으로 제공한다.
• 보조정리 5.1은 레벨 셋 $D_m^+ = \{x : \|D^2 u(x)\| \geq N^m\}$ 상의 $\|D^2 u\|$ 적분에 대한 감쇠 추정치를 확립한다. 포위 성질을 Vitali 덮개 보조정리와 결래하여 사용함으로써, 저자들은 $D_{m+1}^+$ 상의 적분이 $(1-\tau)$라는 인자에 의해 $D_m^+$ 상의 적분보다 엄격히 작아짐을 보여준다.
• 이러한 적분의 기하학적 감쇠는 $\|D^2 u\|$의 분포 함수가 충분히 빠르게 감소하여 $L^{1+\epsilon}$ 가적분성을 보장함을 의미한다.

주요 결과
주요 결과는 정리 1.1이며, 다음과 같이 기술한다:
$\Omega$가 $\mathbb{R}^2$의 유계 비볼록 다각형 영역이고, $\Omega^*$가 유계 볼록 영역이라고 하자. 만약 $u$가 밀도가 $1/\lambda$와 $\lambda$ 사이에서 유계인 최적 운송 문제의 알렉산드로프 해(Alexandrov solution)라면, 어떤 $\epsilon > 0$에 대하여 $u \in W^{2,1+\epsilon}(\Omega)$이다.

증명은 특정 기하학적 분해 및 덮개 논법을 사용하여, $u$가 도메인의 내부(오목한 꼭짓점에서 떨어진 곳)와 오목한 꼭짓점 근처 모두에서 $W^{2,1+\epsilon}$ 추정치를 만족함을 보여줌으로써 완성된다.

의의 및 주장
본 논문은 최적 운송 포텐셜의 정칙성 이론을 비볼록 다각형 소스 영역의 경우로 확장한다고 주장한다.

• 이론적 기여: 본 논문은 섹션이 충분히 국소화되고 "포위" 성질이 오목한 꼭짓점 근처에서도 성립함을 증명함으로써, 비볼록 설정에서 발생하는 표준 배가 성질의 실패 문제를 해결한다. 이를 통해 소스 영역이 볼록하거나 구멍이 매끄러울 필요 없이 전역 $W^{2,1+\epsilon}$ 추정치를 도출할 수 있게 한다.
• 실용적 동기: 저자들은 다각형 영역 간의 최적 운송이 특히 수치 계산 및 유한 요소법에서 상당한 실용적 가치를 지닌다고 언급한다. 고품질의 메쉬 생성은 질량을 효과적으로 분배하기 위해 최적 운송을 활용하며, 이는 시뮬레이션의 정확도와 효율성을 높인다. 확립된 정칙성은 이러한 메쉬 생성 알고리즘의 수렴성과 안정성을 위한 이론적 토대를 제공한다.

저자들은 이 일반적인 설정에서 전역 $C^{1,\alpha}$ 또는 $p>1+\epsilon$에 대한 $W^{2,p}$를 주장하는 것이 아니라, 다각형 영역의 기하학적 제약을 고려할 때 날카로운 결과인 특정 $W^{2,1+\epsilon}$ 정칙성을 주장하고 있다.