Global $W^{2,1+ε}$ regularity for potentials of optimal transport of non-convex planar domains

技術要約：非凸平面領域の最適輸送ポテンシャルにおける大域的 $W^{2,1+\epsilon}$ 正則性

問題設定
本論文は、ソース領域 $\Omega$ が有界な非凸多角形であり、ターゲット領域 $\Omega^*$ が有界な凸領域である二次元（$\mathbb{R}^2$）における最適輸送写像の正則性を調査するものである。この問題は、ソース確率密度 $f$（$\Omega$ に支持される）をターゲット密度 $g$（$\Omega^*$ に支持される）へと押し出す勾配写像 $(\nabla u)_{\sharp} f = g$ を満たす、大域的にリプシッツ連続な凸ポテンシャル関数 $u$ を見つけることを目的としている。密度は正の定数の間で有界である（$1/\lambda \leq f, g \leq \lambda$）。

ソース領域に凸の穴がある場合（Andriyanova and Chen [1]）には大域的な $C^{1,\alpha}$ 正則性が確立されており、滑らかな密度と正則な穴の場合（Mooney and Rakshit [29]）には鋭い大域的 $W^{2,p}$ 正則性が証明されているが、一般的な非凸多角形のソース領域の場合には特有の幾何学的課題が存在する。具体的には、凸性の仮定に依存するモンジュ・アンペール測度の標準的な倍増特性（doubling property）が、非凸多角形の凹角付近で失敗する可能性がある。著者らは、このような設定において、ポテンシャル $u$ に対する大域的な $W^{2,1+\epsilon}$ 推定値を確立することを目指している。

手法および主要な技術的ツール
証明戦略は、非凸境界の設定に適応させつつ、カファレリ（Caffarelli）の正則性理論の手法を用いた、ポテンシャル $u$ に随伴するモンジュ・アンペール・セクション（Monge-Ampère sections）の局所解析に基づいている。

1. 局所化と倍増特性：
   著者らはまず、高さ $h$ の小さなセクションに対して、$u$ に随伴するモンジュ・アンペール測度の倍増特性を確立する。重要なステップは、中心となるセクション $S^c_h(x)$ が「十分に局所化」されていることを証明することである。

• 補題 3.2 は、十分小さな $h$ に対して、$\Omega$ 内に中心を持つ任意のセクションが小さな球に含まれることを示し、セクションが領域から「脱出」したり、隣接しないエッジを跨いだりしないことを保証する。
• 命題 1.1 は、倍増特性 $|\nabla u(S^c_h(x))| \leq C |\nabla u(\frac{1}{2}S^c_h(x))|$ を証明する。これは、凹角付近での領域の分解によって達成される。凹角から離れた点では、セクションと $\Omega$ の交わりは凸である。凹角付近では、セクションと $\Omega$ の交差面積がセクションの全面積に対して正の割合を維持することを示し、非凸性にもかかわらず倍増推定が成立することを明示している。

2. 幾何学的減衰と包含特性（Engulfing Properties）：
   凹角（$V_1$）付近の特異な振る舞いを扱うため、著者らはセクションに関する幾何学的減衰特性（補題 4.1）を導入する。この補題は、もし点 $x_2$ が拡大された $x_1$ のセクションの内部に深く位置する場合、十分に小さな $x_2$ を中心とするセクションは、わずかに縮小された $x_1$ の拡大セクションに含まれることを主張する。

• 証明には、矛盾を導くための繰り込み議論（ブラシュケの選択定理）が用いられる。もし減衰特性が失敗する場合、極限関数は、特定の境界条件を持つ半球上のモンジュ・アンペール方程式を満たすことになるが、それは凸解を持たない（[29] の補題 6.1 を参照）。
• これに基づき、凹角付近のセクションに対する包含特性（補題 4.2）が確立される。この特性は、非凸の幾何学に合わせたヴィタリ型の被覆補題（補題 4.3）を構築するために不可欠である。

3. 反復積分推定：
   $W^{2,1+\epsilon}$ 証明の核となる部分は、De Philippis, Figalli, and Savin [16, 17] の枠組みに従う。

• 命題 5.1 は、セクション上のヘッセ行列ノルム $\|D^2 u\|$ の積分を、ヘッセ行列が正規化されたサイズに対して同等である集合の測度によって抑える。
• 補題 5.1 は、レベル集合 $D_m^+ = \{x : \|D^2 u(x)\| \geq N^m\}$ 上の $\|D^2 u\|$ の積分の減衰推定を与える。包含特性とヴィタリ被覆補題を組み合わせることで、$D_{m+1}^+$ 上の積分が、因子 $(1-\tau)$ によって $D_m^+$ 上の積分よりも厳密に小さくなることを示す。
• この積分の幾何学的減衰は、$\|D^2 u\|$ の分布関数が十分に速く減衰し、$L^{1+\epsilon}$ における可積分性を保証することを意味する。

主要な結果
主要な結果は定理 1.1 である。
$\Omega$ を $\mathbb{R}^2$ 内の有界な非凸多角形領域とし、$\Omega^*$ を有界な凸領域とする。もし $u$ が、密度が $1/\lambda$ と $\lambda$ の間で有界である最適輸送問題のアレクサンドロフ解であるならば、$u \in W^{2,1+\epsilon}(\Omega)$ であり、ある $\epsilon > 0$ が存在する。

証明は、特定の幾何学的分解と被覆議論を用いることで、$W^{2,1+\epsilon}$ 推定値が領域の内部（凹角から離れた場所）と凹角の近傍の両方で成立することを示すことで完了する。

意義と主張
本論文は、非凸多角形のソース領域に対する最適輸送ポテンシャルの正則性理論を拡張することを主張している。

• 理論的貢献： 本論文は、標準的な倍増特性が非凸設定において失敗するという問題に対し、セクションが十分に局所化され、かつ凹角付近でも「包含」特性が保持されることを証明することで、この問題に対処している。これにより、ソース領域が凸であることや穴が滑らかであることを要求せずに、大域的な $W^{2,1+\epsilon}$ 推定値を導出することが可能となった。
• 実用的な動機： 著者らは、多角形領域間の最適輸送が、特に数値計算や有限要素法において実用的な価値が高いことを指摘している。多角形領域上の高品質なメッシュ生成は、質量を効果的に分配するために最適輸送を利用することが多く、これによりシミュレーションの精度と効率を高めることができる。確立された正則性は、このようなメッシュ生成アルゴリズムの収束性と安定性のための理論的基礎を提供する。

著者らは、この一般的な設定において大域的な $C^{1,\alpha}$ や $W^{2,p}$ ($p > 1+\epsilon$) を主張しているのではなく、多角形の幾何学的制約を考慮した上で、鋭い結果である特定の $W^{2,1+\epsilon}$ 正則性を主張している。