Global $W^{2,1+ε}$ regularity for potentials of optimal transport of non-convex planar domains

技术摘要：非凸平面区域最优传输势函数的全局 $W^{2,1+\epsilon}$ 正则性

问题陈述
本文研究了在二维空间 ($\mathbb{R}^2$) 中，当源区域 $\Omega$ 为有界非凸多边形，且目标区域 $\Omega^*$ 为有界凸区域时，最优传输映射的正则性问题。该问题涉及寻找一个全局 Lipschitz 连续的凸势函数 $u$，使得梯度映射 $\nabla u$ 将源概率密度 $f$（支撑集在 $\Omega$）推移至目标密度 $g$（支撑集在 $\Omega^*$），满足 $(\nabla u)_{\sharp} f = g$。假设密度在正常数之间有界（$1/\lambda \leq f, g \leq \lambda$）。

虽然对于具有凸孔洞的源区域，已有关于势函数的全局 $C^{1,\alpha}$ 估计的研究（Andriyanova 和 Chen [1]），且对于光滑密度和正则孔洞，已证明了尖锐的全局 $W^{2,p}$ 估计（Mooney 和 Rakshit [29]），但一般的非凸多边形源区域的情况提出了特定的几何挑战。具体而言，标准的 Monge-Ampère 测度的倍增性质（doubling property）依赖于区域的凸性，而在非凸多边形的凹顶点附近可能会失效。作者旨在为这种设定下的势函数 $u$ 建立全局 $W^{2,1+\epsilon}$ 估计。

方法论与关键技术工具
证明策略依赖于对与势函数 $u$ 相关的 Monge-Ampère 截面（sections）进行局部化分析，并针对非凸边界设置调整 Caffarelli 的正则性理论技术。

1. 局部化与倍增性质：
   作者首先为高度为 $h$ 的小截面建立了与 $u$ 相关的 Monge-Ampère 测度的倍增性质。一个关键步骤是证明中心子水平集 $S^c_h(x)$ 是“良好局部化”的。

• 引理 3.2 表明，对于足够小的 $h$，任何以 $\Omega$ 内的点为中心的截面都包含在一个小球内，从而确保截面不会“逃逸”出定义域或跨越不相邻的边。
• 命题 1.1 证明了倍增性质：$|\nabla u(S^c_h(x))| \leq C |\nabla u(\frac{1}{2}S^c_h(x))|$。这是通过对凹顶点附近的区域进行分解来实现的。对于远离凹顶点的点，截面与 $\Omega$ 的交集是凸的。在凹顶点附近，作者证明了截面与 $\Omega$ 的交集面积仍占总截面面积的正比例，从而使得尽管存在非凸性，倍增估计仍然成立。

2. 几何衰减与包含性质（Engulfing Properties）：
   为了处理凹顶点 ($V_1$) 附近的奇异行为，作者引入了截面的几何衰减性质（引理 4.1）。该引理断言，如果点 $x_2$ 位于 $x_1$ 的某个缩放截面的深处，那么以 $x_2$ 为中心的足够小的截面将包含在 $x_1$ 一个稍小的缩放截面内。

• 证明利用了重正化论证（Blaschke 选择定理）来导出矛盾。如果衰减性质失效，极限函数将满足一个在半球上具有特定边界条件的 Monge-Ampère 方程，而该方程不存在凸解（参考 [29] 中的引理 6.1）。
• 基于此，作者为凹顶点附近的截面建立了包含性质（引理 4.2）。该性质对于构建针对非凸几何定制的 Vitali 型覆盖引理（引理 4.3）至关重要。

3. 迭代积分估计：
   $W^{2,1+\epsilon}$ 证明的核心遵循 De Philippis, Figalli 和 Savin [16, 17] 的框架。

• 命题 5.1 提供了一个关于截面内 Hessian 范数 $\|D^2 u\|$ 的积分界限，该界限取决于 Hessian 与截面归一化大小相当的集合的测度。
• 引理 5.1 建立了关于水平集 $D_m^+ = \{x : \|D^2 u(x)\| \geq N^m\}$ 的 $\|D^2 u\|$ 积分的衰减估计。通过结合包含性质与 Vitali 覆盖引理，作者表明 $D_{m+1}^+$ 上的积分比 $D_m^+$ 上的积分严格减小，减少因子为 $(1-\tau)$。
• 这种积分的几何衰减意味着 $\|D^2 u\|$ 的分布函数衰减足够快，从而保证了在 $L^{1+\epsilon}$ 中的可积性。

主要结果
主要结果是 定理 1.1，其指出：
设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的有界非凸多边形区域，$\Omega^*$ 为有界凸区域。若 $u$ 是密度在 $1/\lambda$ 与 $\lambda$ 之间有界的最优传输问题的 Alexandrov 解，则对于某个 $\epsilon > 0$，有 $u \in W^{2,1+\epsilon}(\Omega)$。

证明通过展示 $W^{2,1+\epsilon}$ 估计在定义域内部（远离凹顶点）以及在凹顶点邻域内均成立来完成，其中利用了文中开发的特定几何分解和覆盖论证。

意义与主张
本文声称将最优传输势函数的正则性理论扩展到了非凸多边形源区域的情况。

• 理论贡献： 它解决了非凸设定下标准倍增性质失效的问题，通过证明截面是充分局部化的，并且即使在凹顶点附近也满足“包含”性质。这使得在不需要源区域为凸或孔洞为光滑的情况下，能够导出全局 $W^{2,1+\epsilon}$ 估计。
• 实际动机： 作者指出，多边形区域之间的最优传输具有重要的实际价值，特别是在数值计算和有限元方法中。高质量的多边形区域网格生成通常依赖于最优传输来有效分布质量，从而提高模拟的准确性和效率。所建立的正则性为这类网格生成算法的收敛性和稳定性提供了理论基础。

作者并未声称在这种一般设定下具有全局 $C^{1,\alpha}$ 或 $W^{2,p}$ ($p>1+\epsilon$) 的性质，而是给出了特定的 $W^{2,1+\epsilon}$ 正则性，鉴于多边形区域的几何约束，这是一个尖锐的结果。