Synthetic American Option Pricing via Jump-HMM-Driven Heston Implied Volatility

기술 요약: 점프-은닉 마르코프 모델 기반 헤스턴 내재변동성을 통한 합성 미국식 옵션 가격 결정

1. 문제 제기

머신러닝 및 리스크 분석을 위한 현실적인 합성 옵션 데이터 생성은 순환적 의존성으로 인해 방해받고 있습니다: 미국식 옵션 가격 결정은 일반적으로 내재변동성 (IV) 을 입력값으로 필요로 하지만, IV 자체는 관측된 옵션 가격에서 도출된 경험적 양이기 때문입니다. 기존 접근법들은 이 순환을 깨지 못합니다:

• 모수적 모델(예: SABR, SVI)은 시장 견적에 IV 표면을 적합시키지만, 관측되지 않은 조건에 대한 새로운 IV 동역학을 생성할 수 없습니다.
• 국소 변동성 모델은 단일 횡단면과 일치하는 정적 표면을 생성하지만 확률적 변동을 결여하고 있습니다.
• 확률적 변동성 모델(예: 헤스턴)은 현실적인 분산 경로를 생성하지만, 교정을 위해 관측된 IV 또는 옵션 가격을 필요로 하여 순환성을 다시 도입합니다.

결과적으로, 시뮬레이션 동안 관측된 옵션 데이터에 의존하지 않고 구조적 주식 수익률 모델의 발현 출력으로서 자기 일관적인 IV 표면을 생성하는 프레임워크에 관한 문헌의 공백이 존재합니다.

2. 방법론

저자들은 IV 가 입력이 아닌 구조적 모델의 출력인 3 단계 파이프라인을 제안합니다. 이 프레임워크는 점프 은닉 마르코프 모델 (JumpHMM), 수정된 헤스턴 확률적 분산 과정, 그리고 이항 격자 가격 결정기를 결합합니다.

1 단계: 가격 경로 생성 (JumpHMM)
점프 은닉 마르코프 모델은 금융 수익률의 세 가지 스타일화된 사실 (무거운 꼬리, 무시할 수 있는 선형 자기상관, 지속적인 변동성 군집화) 을 보존하는 다중 자산 가격 경로를 생성합니다.

• 메커니즘: 연속적인 초과 성장률은 적합된 라플라스 분포의 분위수 구간을 통해 $N$개의 상태로 이산화됩니다.
• 동역학: 숨겨진 상태 $S_t$는 수익률에 대한 Student-t 분포의 위치와 척도를 지배합니다. 푸아송 분포의 점프는 체인을 꼬리 상태로 강제로 이동시켜 지속되는 극단적 변동성 체제를 생성합니다.
• 의존성: 자산 간 의존성은 Student-t 코풀라를 통해 부과되어 현실적인 공동 꼬리 사건을 보장합니다.

2 단계: 내재변동성 생성 (수정된 헤스턴)
가격 경로는 수정된 헤스턴 확률적 분산 과정을 사용하여 IV 경로로 변환됩니다.

• 상태 의존적 평균 회귀: 장기 분산 목표 $\theta$는 상수가 아니라 JumpHMM 체제 상태, 만기까지 일수 (DTE), 머니니스, 그리고 집계된 시장 기분 지수의 함수입니다.
• 균형 초기화: 핵심 설계 선택은 각 행권 - 만기 쌍에 대해 분산 과정을 평균 회귀 목표 ($v_0 = \theta$) 에서 초기화하는 것입니다. 이는 외부 교정 데이터 없이도 미소, 왜도, 그리고 만기 구조가 자동으로 발현되도록 보장합니다.
• 시장 기분: 내생적 시장 기분 신호 ($M_t$) 는 꼬리 상태에 있는 티커의 비율로 정의됩니다. 여러 자산이 꼬리 상태를 차지할 때 $M_t$는 상승하여 모든 계약에 걸쳐 $\theta$와 IV 를 높이고, 스트레스 기간 동안 상관된 IV 급등을 생성합니다.
• 형태 함수 ($\psi$): $\theta$에 대한 계약별 조정은 형태 함수 $\psi$를 통해 모델링됩니다. 저자들은 표현의 계층 구조를 사용합니다:
  1. 모수적 기준: 5 매개변수 로그 다항식 형태.
  2. 전역 신경망 대리 모델: 모든 티커에 걸쳐 공유된 단일 신경망.
  3. 섹터별 신경망 대리 모델: 섹터별 왜도와 곡률을 포착하기 위해 섹터 (예: 기술, 의료) 별로 별도의 네트워크.
  4. 티커별 확장: 데이터가 풍부한 이름의 경우, 프레임워크는 티커별 네트워크를 지원합니다.
• 사건 인식: 형태 함수는 예정된 사건 특징을 통합합니다:signed 배당일 ($e$) 과 동일 섹터 동료에 대한 최소 배당일 ($e_{peer}$).

3 단계: 미국식 옵션 가격 결정 (이항 격자)
생성된 IV 표면은 재결합 이항 격자를 통해 미국식 옵션 가격을 결정하는 데 사용됩니다.

• 가격 결정: 주요 교정 파이프라인을 위해 Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 트리가 사용됩니다.
• 그리스 계산: 부드러운 유한 차분 그리스 (Greeks) 가 필요한 전방 시뮬레이션의 경우 Leisen-Reimer (LR) 트리가 활용됩니다. LR 구성은 행권을 노드에 고정시켜 스팟 또는 변동성 충격이 행권을 노드 경계를 넘어 이동할 때 CRR 트리에서 관찰되는 "계단식 에일리어싱"을 제거합니다.

3. 주요 기여

• 순환성 파괴: 이 프레임워크는 주식 수익률 동역학의 발현 속성으로서 자기 일관적인 IV 표면을 생성하여, 시뮬레이션 중 교정 목표로 관측된 옵션 데이터가 필요 없게 합니다.
• 내생적 시장 기분: JumpHMM 상태 분포에서 도출된 내생적 시장 기분 신호를 도입하여 외부 데이터 (예: VIX) 없이도 스트레스 사건 동안 상관된 IV 급등을 가능하게 합니다.
• 계층적 형태 교정: 이 논문은 모수적 표현에서 신경망 표현으로의 진전을 보여주며, 섹터별 신경망 대리 모델이 횡단면 미소 기하학을 포착하는 데 전역 모수적 형태보다 훨씬 우수함을 입증합니다.
• 사건 주도 일반화: 이 연구는 예정된 기업 실적 발표를 시간적 일반화 오차의 지배적 원인으로 격리시키고, 캘린더에서 파생된 특징 (실적 발표까지의 거리 및 동료 결합) 이 이 신호의 일부를 회복할 수 있음을 입증합니다.

4. 결과

교정 성능 (31 티커 사다리)

• 모수적 vs. 신경망: 전역 모수적 형태 함수를 전역 신경망 대리 모델로 대체하면 Root Mean Square Error (RMSE) 가 12.48% IV 에서 11.47% IV 로 감소했습니다.
• 섹터 특성: 섹터별 신경망으로 이동하면 RMSE 가 추가로 10.24% 로 감소하여 (모수적 기준 대비 17.9% 의 누적 개선).
• 티커별 이득: 234,549 개의 관측치가 포함된 풀된 코퍼스에서 티커별 신경망은 RMSE 를 9.73% 로 감소시켰으며, 가장 큰 이득은 섹터 내 이질성이 높은 섹터 (예: 기술, 의료) 에서 관찰되었습니다.

시간적 일반화

• 실적 발표 영향: 시간적 홀드아웃 테스트는 +4.99% IV 의 일반화 격차를 드러냈습니다. 실적 발표 전후 ±3 일 이내의 관측치를 제외했을 때, 격차는 사라졌습니다 (−0.06%), 예정된 실적 발표 사건이 오차의 유일한 원인임을 확인시켰습니다.
• 특징 회복: 실적 발표 거리 및 동료 결합 특징을 형태 네트워크에 추가하면 일반화 격자의 약 5 분의 1 을 회복했습니다 (테스트 RMSE 를 13.03% 에서 11.98% 로 감소).
• 한계: 캘린더 기반 지수는 사전 이벤트 IV 확장과 동조 이동을 포착했지만, 실적 발표 놀라움 (예: INTC 의 +2192% EPS 놀라움) 으로 인한 사후 이벤트 IV 급락을 예측하지는 못했습니다.

전방 시나리오

• 설정: 이 프레임워크는 골드만삭스 (GS) 와 일라이 릴리 (LLY) 옵션에 대해 31 일 기간 동안 1,000 개의 경로를 시뮬레이션하는 데 적용되었습니다.
• 가격 결정 정확도: GS 의 경우 모델의 초기 공정 가치는 시장 호가 스프레드 내에 있었습니다. LLY 의 경우 모델은 포착 일의 특정 IV 체제 불일치로 인해 시장 가격보다 약간 낮게 표시되어, 모델이 IV 수준에 민감함을 검증했습니다.
• 리스크 동역학: 시뮬레이션은 현실적인 숏 프리미엄 비대칭을 재현했습니다. 숏 콜은 더 작은 프리미엄을 받았음에도 불구하고 숏 풋보다 더 두꺼운 왼쪽 꼬리 손실을 보였으며, 이는 티커별 형태 함수에 인코딩된 음의 왜도와 레버리지 결합에 기인합니다.
• 그리스: Leisen-Reimer 격자는 리스크 분석에 필수적인 부드러운 유한 차분 그리스 (델타, 감마, 베가) 를 제공하여 표준 CRR 트리에서 전형적인 진동을 피했습니다.

5. 중요성 및 주장

이 논문은 주식 수익률 동역학과 구조적으로 일관된 합성 미국식 옵션 데이터를 생성하는 견고한 오픈소스 프레임워크 (Julia 로 구현됨) 를 제공한다고 주장합니다.

• 구조적 일관성: 분산을 평균 회귀 목표에서 초기화함으로써, 모델은 IV 표면을 구조적 매개변수에 의해 완전히 결정되도록 하여 가격을 IV 에 적합시키는 "닭과 달걀" 문제를 피합니다.
• 확장성: 계층적 교정 접근법 (모수적 $\to$ 전역 NN $\to$ 섹터 NN $\to$ 티커별 NN) 은 모델이 다양한 데이터 양과 섹터 특성에 적응할 수 있게 합니다.
• 응용: 이 프레임워크는 옵션 가격 결정용 머신러닝 모델 훈련, 강화학습을 통한 델타 헤징 정책 학습, 그리고 행권과 만기에 걸쳐 일관된 옵션 가격이 필요한 시나리오 기반 리스크 분석을 포함한 하위 응용 프로그램을 위한 합성 데이터 생성기로 설계되었습니다.
• 겸손함: 저자들은 이 프레임워크가 예정된 사건 리스크를 포착하지만, 실적 발표 놀라움이나 기타 고유한 충격으로 인한 예정되지 않은 IV 급락을 아직 모델링하지는 못한다고 인정합니다. 향후 연구는 이러한 잔여 신호를 해결하기 위해 티커별 꼬리 민감도 메커니즘을 통합하는 것이 제안됩니다.