Synthetic American Option Pricing via Jump-HMM-Driven Heston Implied Volatility

Resumo Técnico: Precificação de Opções Americanas Sintéticas via Volatilidade Implícita Heston Impulsionada por Jump-HMM

1. Declaração do Problema

A geração de dados sintéticos realistas de opções para aprendizado de máquina e análise de risco é prejudicada por uma dependência circular: a precificação de opções americanas geralmente requer a volatilidade implícita (VI) como entrada, mas a VI é, em si, uma quantidade empírica derivada de preços observados de opções. Abordagens existentes falham em romper esse ciclo:

• Modelos paramétricos (ex: SABR, SVI) ajustam superfícies de VI a cotações de mercado, mas não conseguem gerar novas dinâmicas de VI para condições não observadas.
• Modelos de volatilidade local produzem superfícies estáticas consistentes com uma única seção transversal, mas carecem de flutuações estocásticas.
• Modelos de volatilidade estocástica (ex: Heston) geram trajetórias de variância realistas, mas exigem VI observada ou preços de opções para calibração, reintroduzindo a circularidade.

Consequentemente, há uma lacuna na literatura sobre frameworks que geram superfícies de VI autoconsistentes como um resultado emergente de um modelo estrutural de retorno de ações, sem depender de dados de opções observados durante a simulação.

2. Metodologia

Os autores propõem um pipeline de três etapas onde a VI é uma saída de um modelo estrutural, e não uma entrada. O framework acopla um Modelo Oculto de Markov com Saltos (JumpHMM), um processo de variância estocástica Heston modificado e um precificador de lattice binomial.

Etapa 1: Geração de Trajetórias de Preços (JumpHMM)
Um Modelo Oculto de Markov com Saltos gera trajetórias de preços de múltiplos ativos que preservam três fatos estilizados de retornos financeiros: caudas pesadas, autocorrelação linear negligenciável e agrupamento persistente de volatilidade.

• Mecanismo: Taxas de crescimento excedente contínuas são discretizadas em $N$ estados via bins de quantil de uma distribuição Laplace ajustada.
• Dinâmicas: Um estado oculto $S_t$ governa a localização e a escala de uma distribuição Student-t para retornos. Saltos distribuídos de Poisson forçam a cadeia para estados de cauda, criando regimes sustentados de volatilidade extrema.
• Dependência: A dependência entre ativos é imposta via uma cópula Student-t, garantindo eventos conjuntos de cauda realistas.

Etapa 2: Geração de Volatilidade Implícita (Heston Modificado)
As trajetórias de preços são convertidas em trajetórias de VI usando um processo de variância estocástica Heston modificado.

• Reversão à Média Dependente do Estado: O alvo de variância de longo prazo $\theta$ não é constante, mas uma função do estado do regime JumpHMM, dias para o vencimento (DTE), moneyness e um indicador agregado de humor de mercado.
• Inicialização de Equilíbrio: Uma escolha central de design é inicializar o processo de variância em seu alvo de reversão à média ($v_0 = \theta$) para cada par strike-vencimento. Isso garante que o smile, o skew e a estrutura a termo surjam automaticamente sem dados de calibração externos.
• Humor de Mercado: Um sinal de humor de mercado endógeno ($M_t$) é definido como a fração de tickers em estados de cauda. Quando múltiplos ativos ocupam estados de cauda, $M_t$ aumenta, elevando $\theta$ e a VI em todos os contratos, criando picos de VI correlacionados durante estresse.
• Função de Forma ($\psi$): O ajuste específico do contrato a $\theta$ é modelado via uma função de forma $\psi$. Os autores empregam uma hierarquia de representações:
  1. Base Paramétrica: Uma forma log-polinomial de cinco parâmetros.
  2. Surrogato Neural Global: Uma única rede neural compartilhada entre todos os tickers.
  3. Surrogato Neural Específico de Setor: Redes separadas para diferentes setores (ex: Tecnologia, Saúde) para capturar skew e curvatura específicos do setor.
  4. Extensão por Ticker: Para nomes ricos em dados, o framework suporta redes por ticker.
• Consciência de Eventos: A função de forma incorpora características de eventos agendados: dias com sinal até os lucros ($e$) e dias mínimos até os lucros para pares do mesmo setor ($e_{peer}$).

Etapa 3: Precificação de Opções Americanas (Lattice Binomial)
A superfície de VI resultante é usada para precificar opções americanas via um lattice binomial recombinante.

• Precificação: Uma árvore Cox-Ross-Rubinstein (CRR) é usada para o pipeline principal de calibração.
• Cálculo de Gregos: Para simulações forward que exigem Gregos de diferenças finitas suaves, uma árvore Leisen-Reimer (LR) é utilizada. A construção LR fixa o strike em um nó, eliminando o "aliasing em escada" observado em árvores CRR quando o preço à vista ou choques de volatilidade movem o strike através das fronteiras dos nós.

3. Contribuições Principais

• Ruptura da Circularidade: O framework gera superfícies de VI autoconsistentes como uma propriedade emergente das dinâmicas de retorno de ações, eliminando a necessidade de dados de opções observados como alvo de calibração durante a simulação.
• Humor de Mercado Endógeno: O modelo introduz um sinal de humor de mercado endógeno derivado da distribuição de estados do JumpHMM, permitindo picos de VI correlacionados durante eventos de estresse sem dados externos (ex: VIX).
• Calibração Hierárquica de Forma: O artigo demonstra uma progressão de representações paramétricas para neurais, mostrando que surrogatos neurais específicos de setor superam significativamente formas paramétricas globais na captura da geometria do smile transversal.
• Generalização Orientada a Eventos: O estudo isola os lucros corporativos agendados como a fonte dominante de erro de generalização temporal e demonstra que características derivadas de calendários (distância até os lucros e acoplamento de pares) podem recuperar uma parte desse sinal.

4. Resultados

Desempenho de Calibração (Escada de 31 Tickers)

• Paramétrico vs. Neural: A substituição da função de forma paramétrica global por um surrogato neural global reduziu o Erro Quadrático Médio (RMSE) de 12,48% para 11,47% de VI.
• Especificidade de Setor: A migração para redes neurais específicas de setor reduziu ainda mais o RMSE para 10,24% (uma melhoria cumulativa de 17,9% sobre a base paramétrica).
• Ganhos por Ticker: Em um corpus agrupado de 234.549 observações, redes neurais por ticker reduziram o RMSE para 9,73%, com os maiores ganhos observados em setores com alta heterogeneidade dentro do setor (ex: Tecnologia, Saúde).

Generalização Temporal

• Impacto dos Lucros: Um teste de retenção temporal revelou uma lacuna de generalização de +4,99% de VI. Quando observações dentro de ±3 dias dos lucros foram excluídas, a lacuna desapareceu (−0,06%), confirmando que os eventos de lucros agendados foram a única fonte do erro.
• Recuperação de Características: Adicionar características de distância até os lucros e acoplamento de pares à rede de forma recuperou aproximadamente um quinto da lacuna de generalização (reduzindo o RMSE de teste de 13,03% para 11,98%).
• Limitação: O indicador baseado em calendário capturou a expansão pré-evento da VI e movimentos de simpatia, mas falhou em prever esmagamentos pós-evento da VI impulsionados por surpresas de lucros (ex: a surpresa de EPS de +2192% para INTC).

Cenários de Simulação Forward

• Configuração: O framework foi aplicado para simular 1.000 trajetórias para opções da Goldman Sachs (GS) e Eli Lilly (LLY) ao longo de um horizonte de 31 dias.
• Precisão de Precificação: Para a GS, o valor justo inicial do modelo estava dentro do spread de oferta e demanda de mercado. Para a LLY, o modelo marcou ligeiramente abaixo do mercado devido a um desajuste específico de regime de VI no dia de captura, validando a sensibilidade do modelo aos níveis de VI.
• Dinâmicas de Risco: As simulações reproduziram assimetrias realistas de prêmio curto. Calls curtas exibiram perdas de cauda esquerda mais gordinhas do que puts curtas, apesar de receberem prêmios menores, impulsionadas pelo skew negativo codificado na função de forma por ticker e no acoplamento de alavancagem.
• Gregos: O lattice Leisen-Reimer forneceu Gregos de diferenças finitas suaves (Delta, Gamma, Vega) essenciais para análise de risco, evitando as oscilações típicas de árvores CRR padrão.

5. Significado e Alegações

O artigo alega fornecer um framework robusto e de código aberto (implementado em Julia) para gerar dados sintéticos de opções americanas que são estruturalmente consistentes com as dinâmicas de retorno de ações.

• Consistência Estrutural: Ao inicializar a variância em seu alvo de reversão à média, o modelo garante que a superfície de VI seja totalmente determinada pelos parâmetros estruturais, evitando o problema do "ovo e da galinha" de ajustar VI a preços.
• Escalabilidade: A abordagem de calibração hierárquica (paramétrico $\to$ NN global $\to$ NN de setor $\to$ NN por ticker) permite que o modelo se adapte a volumes de dados variados e características de setor.
• Aplicação: O framework foi projetado para servir como um gerador de dados sintéticos para aplicações a jusante, incluindo o treinamento de modelos de aprendizado de máquina para precificação de opções, aprendizado de políticas de hedge delta via aprendizado por reforço e condução de análise de risco baseada em cenários que exige preços de opções consistentes entre strikes e vencimentos.
• Modéstia: Os autores reconhecem que, embora o framework capture riscos de eventos agendados, ele ainda não modela picos de VI não agendados impulsionados por surpresas de lucros ou outros choques idiossincráticos. Sugere-se trabalho futuro para incorporar mecanismos de sensibilidade a caudas por ticker para abordar esses sinais residuais.