Synthetic American Option Pricing via Jump-HMM-Driven Heston Implied Volatility

Résumé Technique : Évaluation d'options américaines synthétiques via une volatilité implicite Heston pilotée par un HMM à sauts

1. Énoncé du problème

La génération de données d'options synthétiques réalistes pour l'apprentissage automatique et l'analyse des risques est entravée par une dépendance circulaire : l'évaluation des options américaines nécessite généralement la volatilité implicite (VI) comme entrée, pourtant la VI est elle-même une grandeur empirique dérivée des prix observés des options. Les approches existantes échouent à briser ce cycle :

• Les modèles paramétriques (par exemple, SABR, SVI) ajustent les surfaces de VI aux cotations du marché mais ne peuvent pas générer de nouvelles dynamiques de VI pour des conditions non observées.
• Les modèles de volatilité locale produisent des surfaces statiques cohérentes avec une seule tranche transversale mais manquent de fluctuations stochastiques.
• Les modèles de volatilité stochastique (par exemple, Heston) génèrent des trajectoires de variance réalistes mais nécessitent une VI observée ou des prix d'options pour l'étalonnage, réintroduisant la circularité.

Par conséquent, il existe un vide dans la littérature concernant les cadres capables de générer des surfaces de VI auto-cohérentes comme résultat émergent d'un modèle structurel de rendement des actions, sans recourir à des données d'options observées durant la simulation.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent un pipeline en trois étapes où la VI est une sortie d'un modèle structurel plutôt qu'une entrée. Le cadre couple un Modèle de Markov Caché à Sauts (JumpHMM), un processus de variance stochastique Heston modifié et un évaluateur à arbre binomial.

Étape 1 : Génération de trajectoires de prix (JumpHMM)
Un Modèle de Markov Caché à Sauts génère des trajectoires de prix multi-actifs qui préservent trois faits stylisés des rendements financiers : des queues lourdes, une autocorrélation linéaire négligeable et un regroupement persistant de la volatilité.

• Mécanisme : Les taux de croissance excédentaires continus sont discrétisés en $N$ états via des classes de quantiles d'une distribution de Laplace ajustée.
• Dynamique : Un état caché $S_t$ régit la localisation et l'échelle d'une distribution de Student-t pour les rendements. Des sauts distribués selon une loi de Poisson forcent la chaîne vers des états de queue, créant des régimes de volatilité extrême durables.
• Dépendance : La dépendance inter-actifs est imposée via une copule de Student-t, assurant des événements de queue conjoints réalistes.

Étape 2 : Génération de volatilité implicite (Heston modifié)
Les trajectoires de prix sont converties en trajectoires de VI en utilisant un processus de variance stochastique Heston modifié.

• Moyenne de réversion dépendante de l'état : La cible de variance à long terme $\theta$ n'est pas constante mais une fonction de l'état de régime du JumpHMM, des jours restants avant expiration (DTE), de la monnaie et d'un indicateur agrégé d'humeur de marché.
• Initialisation d'équilibre : Un choix de conception central consiste à initialiser le processus de variance à sa cible de réversion vers la moyenne ($v_0 = \theta$) pour chaque paire d'expiration et de strike. Cela garantit que le sourire, la pente et la structure par terme émergent automatiquement sans données d'étalonnage externes.
• Humeur de marché : Un signal d'humeur de marché endogène ($M_t$) est défini comme la fraction de titres dans des états de queue. Lorsque plusieurs actifs occupent des états de queue, $M_t$ augmente, élevant $\theta$ et la VI sur tous les contrats, créant des pics de VI corrélés durant les périodes de stress.
• Fonction de forme ($\psi$) : L'ajustement spécifique au contrat pour $\theta$ est modélisé via une fonction de forme $\psi$. Les auteurs emploient une hiérarchie de représentations :
  1. Base paramétrique : Une forme log-polynomiale à cinq paramètres.
  2. Surrogé neuronal global : Un seul réseau de neurones partagé entre tous les titres.
  3. Surrogé neuronal spécifique au secteur : Des réseaux séparés pour différents secteurs (par exemple, Technologie, Santé) pour capturer la pente et la courbure spécifiques au secteur.
  4. Extension par titre : Pour les titres riches en données, le cadre prend en charge des réseaux par titre.
• Prise en compte des événements : La fonction de forme intègre des caractéristiques d'événements planifiés : jours signés avant les résultats ($e$) et jours minimum avant les résultats pour les pairs du même secteur ($e_{peer}$).

Étape 3 : Évaluation des options américaines (Arbre binomial)
La surface de VI résultante est utilisée pour évaluer les options américaines via un arbre binomial recombinaison.

• Évaluation : Un arbre Cox-Ross-Rubinstein (CRR) est utilisé pour le pipeline principal d'étalonnage.
• Calcul des Grecques : Pour les simulations forward nécessitant des Grecques aux différences finies lisses, un arbre Leisen-Reimer (LR) est utilisé. La construction LR ancre le strike à un nœud, éliminant l'« aliasing en escalier » observé dans les arbres CRR lorsque le prix spot ou les variations de volatilité déplacent le strike au-delà des limites des nœuds.

3. Contributions clés

• Briser la circularité : Le cadre génère des surfaces de VI auto-cohérentes comme propriété émergente des dynamiques de rendement des actions, éliminant le besoin de données d'options observées comme cible d'étalonnage durant la simulation.
• Humeur de marché endogène : Le modèle introduit un signal d'humeur de marché endogène dérivé de la distribution d'états du JumpHMM, permettant des pics de VI corrélés durant les événements de stress sans données externes (par exemple, VIX).
• Étalonnage hiérarchique de la forme : L'article démontre une progression des représentations paramétriques aux représentations neuronales, montrant que les surrogés neuronaux spécifiques au secteur surpassent significativement les formes paramétriques globales dans la capture de la géométrie transversale du sourire.
• Généralisation pilotée par les événements : L'étude isole les résultats d'entreprise planifiés comme la source dominante d'erreur de généralisation temporelle et démontre que les caractéristiques dérivées du calendrier (distance aux résultats et couplage des pairs) peuvent récupérer une partie de ce signal.

4. Résultats

Performance d'étalonnage (Échelle de 31 titres)

• Paramétrique vs Neuronale : Le remplacement de la fonction de forme paramétrique globale par un surrogé neuronal global a réduit l'erreur quadratique moyenne (RMSE) de 12,48 % à 11,47 % de VI.
• Spécificité sectorielle : Le passage à des réseaux de neurones spécifiques aux secteurs a réduit davantage le RMSE à 10,24 % (une amélioration cumulative de 17,9 % par rapport à la base paramétrique).
• Gains par titre : Sur un corpus regroupé de 234 549 observations, les réseaux de neurones par titre ont réduit le RMSE à 9,73 %, avec les gains les plus importants observés dans les secteurs à forte hétérogénéité intra-sectorielle (par exemple, Technologie, Santé).

Généralisation temporelle

• Impact des résultats : Un test de rétention temporelle a révélé un écart de généralisation de +4,99 % de VI. Lorsque les observations à ±3 jours des résultats étaient exclues, l'écart disparaissait (−0,06 %), confirmant que les événements de résultats planifiés étaient la seule source de l'erreur.
• Récupération de caractéristiques : L'ajout de caractéristiques de distance aux résultats et de couplage des pairs au réseau de forme a récupéré environ un cinquième de l'écart de généralisation (réduisant le RMSE de test de 13,03 % à 11,98 %).
• Limite : L'indicateur basé sur le calendrier a capturé l'expansion de la VI pré-événement et les mouvements de sympathie, mais n'a pas réussi à prédire les écrasements de VI post-événement pilotés par des surprises de résultats (par exemple, la surprise de BPA de +2192 % pour INTC).

Scénarios de simulation forward

• Configuration : Le cadre a été appliqué pour simuler 1 000 trajectoires pour les options de Goldman Sachs (GS) et Eli Lilly (LLY) sur un horizon de 31 jours.
• Précision de l'évaluation : Pour GS, la juste valeur initiale du modèle se situait dans l'écart d'achat-vente du marché. Pour LLY, le modèle a été coté légèrement en dessous du marché en raison d'un décalage spécifique de régime de VI le jour de la capture, validant la sensibilité du modèle aux niveaux de VI.
• Dynamiques de risque : Les simulations ont reproduit une asymétrie réaliste des primes courtes. Les calls courts ont présenté des pertes de queue gauche plus épaisses que les puts courts malgré la réception de primes plus faibles, pilotés par la pente négative encodée dans la fonction de forme par titre et le couplage de levier.
• Grecques : L'arbre Leisen-Reimer a fourni des Grecques aux différences finies lisses (Delta, Gamma, Vega) essentielles pour l'analyse des risques, évitant les oscillations typiques des arbres CRR standards.

5. Importance et revendications

L'article revendique fournir un cadre robuste et open-source (implémenté en Julia) pour générer des données d'options américaines synthétiques structurellement cohérentes avec les dynamiques de rendement des actions.

• Cohérence structurelle : En initialisant la variance à sa cible de réversion vers la moyenne, le modèle garantit que la surface de VI est entièrement déterminée par les paramètres structurels, évitant le problème « œuf ou poule » de l'ajustement de la VI aux prix.
• Évolutivité : L'approche d'étalonnage hiérarchique (paramétrique $\to$ réseau de neurones global $\to$ réseau de neurones sectoriel $\to$ réseau de neurones par titre) permet au modèle de s'adapter aux volumes de données variables et aux caractéristiques sectorielles.
• Application : Le cadre est conçu pour servir de générateur de données synthétiques pour des applications en aval, notamment l'entraînement de modèles d'apprentissage automatique pour l'évaluation d'options, l'apprentissage de politiques de couverture delta par apprentissage par renforcement, et la réalisation d'analyses de risques basées sur des scénarios nécessitant des prix d'options cohérents à travers les strikes et les expirations.
• Modestie : Les auteurs reconnaissent que, bien que le cadre capture les risques d'événements planifiés, il ne modélise pas encore les pics de VI non planifiés pilotés par des surprises de résultats ou d'autres chocs idiosyncrasiques. Un travail futur est suggéré pour incorporer des mécanismes de sensibilité à la queue par titre afin de traiter ces signaux résiduels.