Synthetic American Option Pricing via Jump-HMM-Driven Heston Implied Volatility

Resumen Técnico: Valoración de Opciones Americanas Sintéticas Mediante Volatilidad Implícita Heston Impulsada por Jump-HMM

1. Enunciado del Problema

La generación de datos sintéticos realistas de opciones para aprendizaje automático y análisis de riesgos se ve obstaculizada por una dependencia circular: la valoración de opciones americanas generalmente requiere la volatilidad implícita (VI) como entrada, pero la VI es en sí misma una cantidad empírica derivada de los precios observados de las opciones. Los enfoques existentes no logran romper este ciclo:

• Modelos paramétricos (por ejemplo, SABR, SVI) ajustan superficies de VI a las cotizaciones del mercado, pero no pueden generar nuevas dinámicas de VI para condiciones no observadas.
• Modelos de volatilidad local producen superficies estáticas consistentes con una única sección transversal, pero carecen de fluctuaciones estocásticas.
• Modelos de volatilidad estocástica (por ejemplo, Heston) generan trayectorias de varianza realistas, pero requieren VI observada o precios de opciones para su calibración, reintroduciendo la circularidad.

En consecuencia, existe una brecha en la literatura respecto a marcos que generen superficies de VI autoconsistentes como un resultado emergente de un modelo estructural de retornos de acciones, sin depender de datos de opciones observados durante la simulación.

2. Metodología

Los autores proponen una tubería de tres etapas donde la VI es un resultado de un modelo estructural en lugar de una entrada. El marco acopla un Modelo Oculto de Markov con Saltos (JumpHMM), un proceso de varianza estocástica Heston modificado y un valorador de red binomial.

Etapa 1: Generación de Trayectorias de Precios (JumpHMM)
Un Modelo Oculto de Markov con Saltos genera trayectorias de precios de múltiples activos que preservan tres hechos estilizados de los retornos financieros: colas pesadas, autocorrelación lineal negligible y agrupamiento persistente de volatilidad.

• Mecanismo: Las tasas de crecimiento excedente continuas se discretizan en $N$ estados mediante contenedores de cuantiles de una distribución Laplace ajustada.
• Dinámica: Un estado oculto $S_t$ gobierna la ubicación y la escala de una distribución t de Student para los retornos. Los saltos distribuidos según Poisson fuerzan a la cadena hacia estados de cola, creando regímenes sostenidos de volatilidad extrema.
• Dependencia: La dependencia entre activos se impone mediante una cópula t de Student, asegurando eventos conjuntos de cola realistas.

Etapa 2: Generación de Volatilidad Implícita (Heston Modificado)
Las trayectorias de precios se convierten en trayectorias de VI utilizando un proceso de varianza estocástica Heston modificado.

• Reversión a la Media Dependiente del Estado: El objetivo de varianza a largo plazo $\theta$ no es constante, sino una función del estado del régimen JumpHMM, los días hasta el vencimiento (DTE), la moneidad y un indicador agregado del estado de ánimo del mercado.
• Inicialización de Equilibrio: Una elección de diseño central es inicializar el proceso de varianza en su objetivo de reversión a la media ($v_0 = \theta$) para cada par de strike-vencimiento. Esto asegura que la sonrisa, la sesgo y la estructura temporal surjan automáticamente sin datos de calibración externos.
• Estado de Ánimo del Mercado: Una señal endógena de estado de ánimo del mercado ($M_t$) se define como la fracción de códigos de valores en estados de cola. Cuando múltiples activos ocupan estados de cola, $M_t$ aumenta, elevando $\theta$ y la VI en todos los contratos, creando picos de VI correlacionados durante el estrés.
• Función de Forma ($\psi$): El ajuste específico del contrato a $\theta$ se modela mediante una función de forma $\psi$. Los autores emplean una jerarquía de representaciones:
  1. Línea Base Paramétrica: Una forma log-polinómica de cinco parámetros.
  2. Surrogado Neuronal Global: Una única red neuronal compartida entre todos los códigos de valores.
  3. Surrogado Neuronal Específico del Sector: Redes separadas para diferentes sectores (por ejemplo, Tecnología, Salud) para capturar el sesgo y la curvatura específicos del sector.
  4. Extensión por Código de Valores: Para nombres con abundancia de datos, el marco admite redes por código de valores.
• Conciencia de Eventos: La función de forma incorpora características de eventos programados: días con signo hasta las ganancias ($e$) y días mínimos hasta las ganancias para pares del mismo sector ($e_{peer}$).

Etapa 3: Valoración de Opciones Americanas (Red Binomial)
La superficie de VI resultante se utiliza para valorar opciones americanas mediante una red binomial recombinante.

• Valoración: Se utiliza un árbol Cox-Ross-Rubinstein (CRR) para la tubería principal de calibración.
• Cálculo de Griegas: Para simulaciones forward que requieren griegas de diferencias finitas suaves, se utiliza un árbol Leisen-Reimer (LR). La construcción LR fija el strike en un nodo, eliminando el "aliasing en escalera" observado en los árboles CRR cuando el precio al contado o los aumentos de volatilidad mueven el strike a través de los límites de los nodos.

3. Contribuciones Clave

• Ruptura de la Circularidad: El marco genera superficies de VI autoconsistentes como una propiedad emergente de las dinámicas de retornos de acciones, eliminando la necesidad de datos de opciones observados como objetivo de calibración durante la simulación.
• Estado de Ánimo del Mercado Endógeno: El modelo introduce una señal de estado de ánimo del mercado endógena derivada de la distribución de estados JumpHMM, permitiendo picos de VI correlacionados durante eventos de estrés sin datos externos (por ejemplo, VIX).
• Calibración Jerárquica de la Forma: El artículo demuestra una progresión desde representaciones paramétricas hasta neuronales, mostrando que los surrogados neuronales específicos del sector superan significativamente a las formas paramétricas globales en la captura de la geometría de la sonrisa transversal.
• Generalización Impulsada por Eventos: El estudio aísla los informes de ganancias corporativas programados como la fuente dominante del error de generalización temporal y demuestra que las características derivadas del calendario (distancia a las ganancias y acoplamiento de pares) pueden recuperar una parte de esta señal.

4. Resultados

Rendimiento de Calibración (Escalera de 31 Códigos de Valores)

• Paramétrico vs. Neuronal: Reemplazar la función de forma paramétrica global con un surrogado neuronal global redujo el Error Cuadrático Medio (RMSE) de 12.48% a 11.47% de VI.
• Especificidad del Sector: El paso a redes neuronales específicas del sector redujo aún más el RMSE a 10.24% (una mejora acumulada del 17.9% sobre la línea base paramétrica).
• Ganancias por Código de Valores: En un corpus agrupado de 234,549 observaciones, las redes neuronales por código de valores redujeron el RMSE a 9.73%, con las mayores ganancias observadas en sectores con alta heterogeneidad dentro del sector (por ejemplo, Tecnología, Salud).

Generalización Temporal

• Impacto de las Ganancias: Una prueba de retención temporal reveló una brecha de generalización de +4.99% de VI. Cuando se excluyeron las observaciones dentro de ±3 días de las ganancias, la brecha desapareció (−0.06%), confirmando que los eventos de ganancias programados fueron la única fuente del error.
• Recuperación de Características: Añadir características de distancia a las ganancias y acoplamiento de pares a la red de forma recuperó aproximadamente una quinta parte de la brecha de generalización (reduciendo el RMSE de prueba de 13.03% a 11.98%).
• Limitación: El indicador basado en el calendario capturó la expansión de la VI previa al evento y los movimientos de simpatía, pero no logró predecir las compresiones de VI posteriores al evento impulsadas por sorpresas en las ganancias (por ejemplo, la sorpresa de +2192% en el EPS para INTC).

Escenarios de Simulación Forward

• Configuración: El marco se aplicó para simular 1,000 trayectorias para opciones de Goldman Sachs (GS) y Eli Lilly (LLY) durante un horizonte de 31 días.
• Precisión de Valoración: Para GS, el valor justo inicial del modelo estuvo dentro del spread de oferta y demanda del mercado. Para LLY, el modelo marcó ligeramente por debajo del mercado debido a una discrepancia específica de régimen de VI en el día de captura, validando la sensibilidad del modelo a los niveles de VI.
• Dinámicas de Riesgo: Las simulaciones reprodujeron una asimetría realista de prima corta. Las llamadas cortas exhibieron pérdidas de cola izquierda más gruesas que los puts cortos a pesar de recibir primas más pequeñas, impulsadas por el sesgo negativo codificado en la función de forma por código de valores y el acoplamiento de apalancamiento.
• Griegas: La red Leisen-Reimer proporcionó griegas de diferencias finitas suaves (Delta, Gamma, Vega) esenciales para el análisis de riesgos, evitando las oscilaciones típicas de los árboles CRR estándar.

5. Significado y Afirmaciones

El artículo afirma proporcionar un marco robusto y de código abierto (implementado en Julia) para generar datos sintéticos de opciones americanas que sean estructuralmente consistentes con las dinámicas de retornos de acciones.

• Consistencia Estructural: Al inicializar la varianza en su objetivo de reversión a la media, el modelo asegura que la superficie de VI esté determinada completamente por los parámetros estructurales, evitando el problema de "huevo y gallina" de ajustar la VI a los precios.
• Escalabilidad: El enfoque de calibración jerárquica (paramétrico $\to$ red neuronal global $\to$ red neuronal de sector $\to$ red neuronal por código de valores) permite que el modelo se adapte a volúmenes de datos variables y características sectoriales.
• Aplicación: El marco está diseñado para servir como generador de datos sintéticos para aplicaciones posteriores, incluido el entrenamiento de modelos de aprendizaje automático para la valoración de opciones, el aprendizaje de políticas de cobertura delta mediante aprendizaje por refuerzo y la realización de análisis de riesgos basado en escenarios que requieren precios de opciones consistentes a través de strikes y vencimientos.
• Modestia: Los autores reconocen que, aunque el marco captura los riesgos de eventos programados, aún no modela los picos de VI no programados impulsados por sorpresas en las ganancias u otros choques idiosincrásicos. Se sugiere trabajo futuro para incorporar mecanismos de sensibilidad a la cola por código de valores para abordar estas señales residuales.