Robust Data-Driven Nash Equilibrium Seeking under Partial-Decision Information

기술 요약: 부분 의사결정 정보 하에서의 강인한 데이터 기반 내쉬 균형 탐색

문제 정의
본 논문은 미지의 선형(및 후속적인 비선형) 동역학, 외생적 외란, 등식 제약 조건, 그리고 부분적 의사결정 정보를 특징으로 하는 다중 에이전트 시스템에서의 분산형 내쉬 균형(Nash Equilibrium, NE) 탐색 문제를 다룹니다. 이 설정에서 에이전트들은 선형 등식 제약 조건을 만족하면서 국소 이차 비용 함수를 최소화하는 것을 목표로 합니다. 그러나 표준 게임 이론적 설정과 달리, 에이전트들은 모든 타 에이전트의 의사결정에 직접 접근할 수 없으며, 연결된 통신 그래프로부터 도출된 국소 추정치만을 보유합니다. 또한 시스템 동역학은 미지이며, 에이전트들은 알려진 외계 시스템(exosystem, 선형의 경우) 또는 상수 외란(비선형의 경우)에 의해 생성된 외란의 영향을 받습니다. 목표는 명시적인 시스템 식별에 의존하지 않고 시스템 출력을 유일한 제약된 NE로 유도하는 분산형 제어기를 설계하는 것입니다.

방법론
제안된 프레임워크는 제약된 NE 탐색 문제를 협력적 출력 조절(cooperative output regulation) 문제로 재정의합니다. 이는 다음 네 가지 핵심 구성 요소를 통합한 통일된 아키텍처를 통해 달성됩니다:

1. NE 모델: 추적 오차의 대리물(surrogate)을 생성하기 위해 동적 시스템이 도입됩니다. 이 모델은 의사결정 프로필의 국소 추정치를 활용하며, 등식 제약 조건을 처리하기 위해 카루쉬-쿤-터커(KKT) 조건을 포함합니다. 조절 오차는 비용 함수의 의사 그래디언트(pseudo-gradient)와 라그랑주 승수를 기반으로 정의됩니다.
2. 통신 프로토콜: 부분적 의사결정 정보를 해결하기 위해 합의 기반(consensus-based) 통신 프로토콜이 채택됩니다. 에이전트들은 국소 의사결정 프로필의 추정치를 교환하여, 그래디언트 평가에 필요한 글로벌 의사결정 벡터의 가용하지 않은 성분들을 재구성합니다.
3. 내부 모델: 외생적 외란을 제거하기 위해 내부 모델 원리가 적용됩니다. 선형 시스템의 경우, 이는 외계 시스템 행렬 $E_i$에 의해 구동되는 동적 내부 모델을 포함합니다. 상수 외란의 경우, 이는 적분 제어 구조로 축소됩니다.
4. 데이터 기반 합성: 시스템 행렬($A_i, B_i, C_i, D_i$)을 식별하는 대신, 오프라인에서 수집된 노이즈가 포함된 입력-상태 데이터로부터 제어기가 직접 합성됩니다.
   • 선형의 경우: 문제는 반정부호 계획법(SDP)으로 변환됩니다. 기본 정리(Fundamental Lemma)를 활용하고 미지의 외란 데이터를 인수 분해함으로써, 저자들은 폐루프 안정성과 NE로의 점근적 수렴을 보장하는 조건(행렬 $P_i, S_i$ 및 스칼라 $\tau_i, \chi_i, \alpha_i$와 관련된)을 도출합니다. 이 SDP들의 가용성(feasibility)은 오직 데이터로부터 계산된 안정화 이득 $K_i$의 존재를 보장합니다.
   • 비선형의 경우: 이 프레임워크는 상수 외란이 있는 비선형 시스템 클래스로 확장됩니다. 비선형성은 "리프티드(lifted)" 표현을 통해 처리되며 이차 부등식(S-procedure)에 의해 제약됩니다. 합성은 비선형 항과 측정 노이즈를 고려하는 선형 행렬 부등식(LMI)을 푸는 과정을 포함합니다.

주요 기여
본 논문은 세 가지 주요 기여를 합니다:

1. 통합 프레임워크: NE 모델, 통신 프로토콜, 내부 모델, 그리고 데이터 기반 제어기를 통합하는 제어 프레임워크를 개발합니다. 이는 NE 탐색 문제를 협력적 출력 조절 문제로 재정의하며, 등식 제약 조건과 부분적 의사결정 정보를 명시적으로 처리합니다.
2. 강인한 선형 합성: 알려진 외계 시스템으로부터 발생하는 외란이 있는 미지의 선형 시스템에 대해, SDP 기반의 데이터 기반 설계 방법을 제안합니다. 이 방법은 정확한 시스템 행렬 없이도 노이즈가 포함된 오프라인 입력-상태 데이터만을 사용하여 폐루프 안정성과 제약된 NE로의 점근적 수렴을 보장합니다.
3. 비선형 확장: 상수 외란이 있는 비선형 시스템 클래스로 직접적인 데이터 기반 접근 방식을 확장합니다. 적분 제어를 비선형성에 대한 이차 제약 조건과 결합함으로써, 본 논문은 점근적 수렴 보장을 갖는 분산형 데이터 기반 NE 탐색을 제공합니다.

결과
제안된 방법의 효능과 강인성은 수치 시뮬레이션을 통해 검증되었습니다:

• UAV 네트워크 (선형): 미지의 선형 동역학 및 외계 시스템에 의해 생성된 바람 외란을 가진 6대의 무인 항공기 네트워크를 시뮬레이션했습니다. 에이전트들은 (특정 고도를 유지하면서 개별 웨이포인트를 추적하며) 데이터로부터 합성된 제어기를 사용하여 제약된 NE로 성공적으로 수렴했습니다. 비교 결과, 정확한 시스템 행 matrices를 사용하는 모델 기반 제어기와 유사한 성능을 보였습니다.
• 회전익 포메이션 (비선계): 이질적인 비선형 동역학(사인 함수 항 포함)과 상수 외란을 가진 5대의 회전익 항공기 대형을 테스트했습니다. 데이터 기반 제어기는 출력을 제약된 NE로 성공적으로 유도하였으며, 조절 오차는 점근적으로 0으로 수렴했습니다.

의의 및 주장
본 논문은 시스템 모델을 사용할 수 없고, 외란이 존재하며, 정보가 불완전한 동적 게임의 근본적인 과제들에 대한 해결책으로서 자신의 연구를 위치시킵니다.

• 기존 연구와의 차별점: 저자들은 자신들의 결과가 기존 방법들의 단순한 조합이 아님을 명확히 합니다. 정렬된 구조를 가진 무제약 게임에 집중했던 기존의 데이터 기반 게임 방식(예: Wang et al., 2026b)과 달리, 본 연구는 등식 제약 조건과 부분적 의사결정 정보를 다루며, 이를 위해 KKT 동역학과 분산 프로토콜을 명시적으로 포함해야 합니다.
• 모델 독립성: 정확한 시스템 행렬을 사용하는 모델 기반 접근 방식(예: Guo and De Persis, 2021; Romano and Pavel, 2025)과 달리, 이 프레임워크는 시스템 행렬 없이 작동합니다. 선형 사례의 동적 외계 시스템을 수용하고 상수 외란이 있는 비선형 시스템으로 확장함으로써, 데이터 기반 NE 탐색의 적용 범위를 넓힙니다.
• 강인성: 프레임워크는 측정 노이즈와 외부 외란을 명시적으로 고려하여, 이러한 불확실성이 존재하는 상황에서도 안정성과 수렴에 대한 공식적인 보장을 제공합니다.

본 논문은 향후 연구에서 부등식 제약 조건, 시변 동역학, 그리고 완전히 미지인 외계 시스템 행렬을 다룰 것이라고 언급하며 마무리됩니다.