Reducing quantum measurements in qubit-based overlapping grouping methods for quantum energy estimation through better initializations

기술 요약: 더 나은 초기화를 통한 큐비트 기반 중첩 그룹화 방법의 양자 측정 횟수 감소

문제 정의
해밀토니안의 기댓값을 추정하는 것은 전자 구조 및 양자 머신러닝을 위한 변분 양자 알고리즘(VQA)에서 핵심적인 병목 구간이다. 분자 해밀토니안의 파울리 단어(Pauli words) 수는 $O(N_q^4)$로 스케일링되므로, 각 항을 직접 측정하는 것은 비실용적이다. 그룹화 전략(파울리 단어를 호환 가능한 집합으로 분할하는 방식)은 이러한 비용을 줄여주지만, 반복적 계수 분할(Iterative Coefficient Coefficient, ICS) 및 공유 파울리 곱(Shared Pauli Products, SPP)과 같은 최신 중첩 방식들은 전형적으로 초기 비중첩 "시드(seed)" 파편 세트에 의존한다. 이 시드들은 일반적으로 계수의 크기 순으로 항을 정렬하는 정렬 삽입(Sorted Insertion, SI) 알고리즘을 사용하여 생성된다. 최근 연구 결과에 따르면, 이 초기 비중첩 그룹화의 품질이 최종 측정 비용에 상당한 영향을 미치지만, 이러한 초기화의 최적화는 아직 미개척 분야로 남아 있다.

방법론
저자들은 우수한 비중첩 파울리 그룹화를 생성하기 위해 설계된 공분산 정보 기반 휴리스틱 알고리즘 제품군인 **분산 인식 정렬 삽입(Variance-Aware Sorted Insertion, VarSI)**을 소개한다. 표준 SI가 계수 크기($|c_i|$)에 따라 정렬하는 것과 달리, VarSI는 (ICS와 같은 중첩 방식에서 이미 요구되는) 파울리 공분산 사전을 활용하여 전체 측정 분산에 미치는 영향을 기준으로 후보 삽입의 점수를 계산한다.

본 논문은 세 가지 주요 변형을 정의한다:

1. VarSI-O (Ordered): SI의 아날로그로서, 항들을 단일 항 분산 기여도($v_i = c_i^2 C_{ii}$)에 따라 정렬하고, 전체 측정 목적 함수 $\epsilon^2_M$을 최소화하는 호환 가능한 그룹에 삽입한다.
2. VarSI-G (Global Greedy): 고정된 정렬 순서를 따르는 대신, 즉각적인 분산을 최소화하도록 다음 항과 그 목적지 그룹을 동적으로 선택하는 더 높은 계산 비용이 드는 접근 방식이다.
3. VarSI-R (Refinement): SI 또는 VarSI-O에 의해 생성된 그룹화에 적용되는 국소적 정제 단계이다. 이는 호환 가능한 그룹 간의 단일 항 재배치를 수행하며, 측정 목적 함수를 엄격하게 감소시키는 경우에만 이동을 수용한다.

측정 목적 함수는 $\epsilon^2_M(G) = (\sum_{\alpha} \sqrt{\text{Var}_\psi(H_\alpha)})^2$로 정의된다. 이 알고리즘들은 (항이 그룹에 추가되거나 제거될 때의 분산 변화를 효율적으로 계산하기 위해 본문의 식 9에 있는) 공분산 업데이트 규칙을 활용한다. VarSI-O의 계산 비용은 SI($O(N^2 n_q)$)와 유사하며, VarSI-G는 $O(N^3)$로 스케일링된다.

주요 기여

• 공분산 업데이트 유도: 저자들은 전체 그룹 분산을 처음부터 다시 계산하지 않고도 후보 삽입의 점수를 효율적으로 매길 수 있는 특정 공분산 업데이트 규칙을 유도하였다.
• 알고리즘 프레임워크: 공분산 데이터를 사용하여 개선된 비중첩 그룹화를 만드는 체계적인 방법으로서 VarSI-O, VarSI-G 및 그 정제 변형들(VarSI-R, VarSI-OR)을 제안하였다.
• 중첩 방법과의 통합: 개선된 비중첩 그룹화가 ICS의 효과적인 초기화 역할을 수행함을 입증함으로써, 더 나은 시드가 더 나은 최종 추정기를 생성하는 파이프라인을 구축하였다.

결과
이 방법들은 130개의 분자 해밀토니안(LiH, BeH$_2$, H$_2$O, NH$_3$, 그리고 수소 사슬 H$_4$–H$_8$ 포함)에 대해 Jordan-Wigner (JW), Bravyi-Kitaev (BK), Parity 매핑을 사용하여 벤치마크를 수행하였다. 공분산 사전은 정확한 바닥 상태 파동함수 또는 근사된 단일 및 이중 들뜸 결합 클러스터(CISD) 파동함수를 사용하여 구축되었다.

• 비중첩 성능: 정제 변형(VarSI-R 및 VarSI-OR)은 공분산의 출처나 큐비트 매핑에 관계없이 데이터셋 전체에서 표준 SI에 비해 측정 요구량을 지속적으로 35–39% 감소시켰다. VarSI-G는 비중첩 설정에서 SI보다 우수한 성능을 보이는 데 일반적으로 실패하였다.
• 중첩 (ICS) 성능: ICS의 초기화로 사용되었을 때, VarSI 기반 그룹화는 표준 SI-ICS 대비 유의미한 측정 감소를 달 achieved 하였다:
  • 정확한 바닥 상태 공분산 사용 시: 평균적으로 JW에서 9.2–10.1%, BK에서 7.1–13.1% 감소하였으며, 최대 감소율은 **70%**에 달했다.
  • CISD 공분산 사용 시: 평균적으로 11.1–15.3% 감소하였으며, 최대 감소율은 **70.7%**였다.
• 강하게 상관된 시스템: N$_2$ 및 수소 사슬의 퍼텐셜 에너지 표면(PES) 과업에서, VarSI-OR-ICS 초기화는 SI-ICS에 비해 1 mEh 정확도에 도달하기 위해 필요한 총 측정 횟수를 수백만 번 줄였다. N$_2$ 해리 곡선의 경우, 이는 VarSI-OR-ICS 방법을 통해 약 1시간의 QPU 실행 시간을 절감하는 결과로 이어졌다.
• 강건성: 418개의 테스트 인스턴스 전반에 걸쳐, 표준 SI 초기화가 제안된 VarSI 초기화보다 우수했던 경우는 단 5건(모두 근사된 CISD 분산을 사용한 경우)뿐이었으며, 이는 개선 사항의 일관성을 입증한다.

의의
본 논문은 최종 추정기가 중첩된 파편을 사용하더라도 초기 비중첩 그룹화가 여전히 "중요한 설계 단계"임을 확립한다. 중첩 방식에 이미 필요한 공분산 사전을 활용함으로써, VarSI는 낮은 오버헤드로 측정 비용을 줄이는 경로를 제공한다. 저자들은 이러한 개선된 초기화가 계산 비용이 더 적은 ICS 방법이 더 비싼 프레임워크인 SPP와 경쟁할 수 있게 한다고 주장한다. 또한, 결과는 일반적인 양자 화학 응용 분야에서 최대 1시간의 QPU 실행 시간을 절약할 수 있음을 보여주며, 이는 측정 할당 프로세스의 "시드"를 최적화하는 것의 실질적인 가치를 강조한다. 저자들은 공분산 사전을 생성하는 고전적 오버헤드를 머신러닝 기술이나 사전 학습된 파동함수를 통해 완화할 수 있다고 언급하였으나, 이는 현재 연구 범위를 벗어나는 내용이다.