Reducing quantum measurements in qubit-based overlapping grouping methods for quantum energy estimation through better initializations

技術要約：より優れた初期化による、量子ビットベースのオーバーラップ・グルーピング手法における量子測定回数の削減

問題提起
ハミルトニアンの期待値を推定することは、電子構造および量子機械学習のための変分量子アルゴリズム（VQA）における中心的なボトルネックである。分子ハミルトニアンにおけるパウリ語の数は $O(N_q^4)$ でスケールするため、各項を直接測定することは非現実的である。グルーピング戦略（パウリ語を互換性のある集合に分割すること）は、このコストを削減するが、Iterative Coefficient Splitting (ICS) や Shared Pauli Products (SPP) といった最先端のオーバーラップ手法は、初期の非オーバーラップな「シード」フラグメントに依存している。これらのシードは通常、係数の大きさによって項を順序付ける Sorted Insertion (SI) アルゴリズムを用いて生成される。近年の知見によれば、この初期の非オーバーラップなグルーピングの質が、最終的なオーバーラップ手法の測定コストに大きく影響を与えることが示唆されているが、これらの初期化の最適化は未だ探索が進んでいない領域である。

手法
著者らは、優れた非オーバーラップなパウリ・グルーピングを生成するための、共分散情報を利用した一連のヒューリスティック・アルゴリズムである Variance-Aware Sorted Insertion (VarSI) を導入する。標準的な SI が係数の大きさ ($|c_i|$) によってソートするのに対し、VarSI は（ICS のようなオーバーラップ手法で既に必要とされる）パウリ共分散の辞書を利用して、全測定分散への影響に基づいて候補となる挿入をスコアリングする。

論文では主に3つのバリアントを定義している：

1. VarSI-O (Ordered): SI のアナログであり、項を単一項の分散寄与 ($v_i = c_i^2 C_{ii}$) によってソートし、全測定目的関数 $\epsilon^2_M$ を最小化する互換性のあるグループへと挿入する。
2. VarSI-G (Global Greedy): より計算コストの高いアプローチであり、固定されたソート順に従うのではなく、即時的な分散を最小化するように次の項とその目的地となるグループを動的に選択する。
3. VarSI-R (Refinement): SI または VarSI-O によって生成されたグルーピングに適用される局所的な洗練ステップである。これは、互換性のあるグループ間での単一項の再配置を行うスイープを実行し、測定目的関数を厳密に減少させる場合のみ移動を受け入れる。

測定目的関数は $\epsilon^2_M(G) = (\sum_{\alpha} \sqrt{\text{Var}_\psi(H_\alpha)})^2$ と定義される。これらのアルゴリズムは、項がグループに追加または削除された際の分散の変化を効率的に計算するために、共分散更新則（本文中の式9）を活用する。VarSI-O の計算コストは SI ($O(N^2 n_q)$) と同等であるが、VarSI-G は $O(N^3)$ でスケールする。

主な貢献

• 共分散更新の導出: 候補となる挿入のスコアリングを行う際、フルグループの分散を最初から再計算することなく効率的に行うための、特定の共分散更新則を導出した。
• アルゴリズムの枠組み: 共分散データを用いて非オーバーラップなグルーピングを改善するための体系的な方法として、VarSI-O、VarSI-G、およびそれらの洗練バリアント（VarSI-R、VarSI-OR）を提案した。
• オーバーラップ手法との統合: これらの改良された非オーバーラップなグルーピングが ICS の効果的な初期化として機能することを示し、より良いシードがより優れた最終エスティメータにつながるパイプラインを構築した。

結果
これらの手法は、Jordan-Wigner (JW)、Bravyi-Kitaev (BK)、および Parity マッピングを用いた130個の分子ハミルトニアン（LiH, BeH$_2$, H$_2$O, NH$_3$, および水素鎖 H$_4$–H$_8$ を含む）を用いてベンチマークが行われた。共分散辞書は、厳密な基底状態の波動関数または近似的な Coupled Cluster with Single and Double excitations (CISD) の波動関数のいずれかを用いて構築された。

• 非オーバーラップ性能: 洗練バリアント（VarSI-R および VarDI-OR）は、共分散のソースや量子ビットのマッピングに関わらず、標準的な SI と比較して、データセット全体で一貫して測定要件を 35–39% 削減した。VarSI-G は、非オーバーラップの設定において SI を上回ることは一般にできなかった。
• オーバーラップ (ICS) 性能: ICS の初期化として使用した場合、VarSI ベースのグルーピングは、標準的な SI-ICS に対して大幅な測定削減を達成した：
  • 厳密な基底状態の共分散を使用した場合：平均削減率は JW で 9.2–10.1%、BK で 7.1–13.1% であり、最大で最大 70% の削減に達した。
  • CISD 共分散を使用した場合：平均削減率は 11.1–15.3% であり、最大で 70.7% の削減に達した。
• 強相関系: N$_2$ および水素鎖のポテンシャルエネルギー曲面 (PES) に関するタスクにおいて、VarSI-OR-ICS 初期化は、SI-ICS と比較して、1 mEh の精度に達するために必要な総測定回数を数百万回削減した。N$_2$ 解離曲線において、これは VarSI-OR-ICS メソッドによる 約1時間の QPU 実行時間の短縮 に相当した。
• 堅牢性: 418 個のテストインスタンスにおいて、標準的な SI 初期化が提案された VarSI 初期化よりも優れていたケースはわずか5例（すべて近似 CISD 分散を使用）であり、改善の整合性が示された。

意義
本論文は、最終的なエスティメータがオーバーラップする断片を利用する場合であっても、初期の非オーバーラップなグルーピングが「重要な設計ステップ」であり続けることを確立している。すでにオーバーラップ手法に必要な共分散辞書を活用することで、VarSI は低オーバーヘッドな経路で測定コストを削減する手段を提供する。著者らは、これらの改良された初期化を用いることで、計算コストの高いフレームワークである SPP と、より安価な ICS メソッドを競わせることが可能であると主張している。さらに、結果は、一般的な量子化学アプリケーションにおいて最大1時間の QPU 時間の節約が可能であることを示唆しており、測定割り当てプロセスの「シード」を最適化することの実用的な価値を強調している。なお、共分散辞書の生成に伴う古典的なオーバーヘッドは、機械学習技術や学習済み波動関数を用いて軽減できる可能性があるが、この拡張は現在の範囲外である。