A complete curve of genus 105 in the moduli space of curves of genus 3

기술 요약: $\mathcal{M}_3$ 내의 종수 105인 완전 곡선(Complete Curve)

문제 정의
$g \geq 2$에 대하여, $\mathcal{M}_g$를 복소체 위에서 종수가 $g$인 매끄러운 사영 곡선들의 코스 모듈리 공간(coarse moduli space)이라 하자. $\mathcal{M}_g$는 $3g-3$ 차원의 준사영 다양체(quasi-projective variety)이지만, 결코 완전(complete)하지 않다. Harris [Har84]가 제기한 핵심 질문은 $\mathcal{M}_g$ 내의 사영 부분 다양체 $B \subset \mathcal{M}_g$의 최대 차원에 관한 것이다. $g=3$의 경우, 이 차원은 최대 1임이 알려져 있으며, 이는 완전 곡선의 존재를 함의한다. 그러나 이러한 곡선의 존재는 사타케 컴팩티피케이션(Satake compactification)의 경계와의 교차 이론을 통해 증명될 수 있는 반면, 명시적인 구성은 매우 어려웠다. [Zaa05]에서 언급되었듯이, 이러한 곡선들의 이론적 편재성에도 불구하고, 이 논문 이전까지 $\mathcal{M}_3$ 내의 완전 곡선을 명시적으로 써 내려간 사례는 없었다. 또한, $g=3$을 위한 기존의 기하학적 구성들은 "거대한" 종수를 가진 기저 곡선을 산출할 것으로 예상되었기에, 이러한 곡선의 최소 종수는 알려지지 않은 상태였다.

방법론
저자는 $\mathcal{A}_3 = \mathbb{H}_3/\Gamma_3(1)$에 대한 모듈러 형식(modular forms)을 직접 다루는 기존의 접근 방식에서 벗어나, 합동 부분군 $\Gamma_3(2, 4)$에 의해 정의되는 층 구조(level structure)를 가진 피복 공간 $\mathcal{A}_3(2, 4) = \mathbb{H}_3/\Gamma_3(2, 4)$ 상에서의 테타 함수와 모듈러 형식을 이용한 전략을 채택한다.

본 방법론의 핵심 단계는 다음과 같다:

1. 테타 상수(Theta Constants)를 통한 임베딩: $\mathcal{A}_3(2, 4)$는 2차 테타 상수 $\theta_2[\sigma](\tau)$를 사용하여 $\mathbb{P}^7$로 사상된다. 사타케 컴팩티피케이션의 상(image)은 테타 상수들 사이의 특정 4차 관계식으로부터 유도된, 차수가 16인 기약 방정식에 의해 정의되는 초곡면 $X \subset \mathbb{P}^7$이다.
2. 초평면과의 교차: 곡선을 구성하기 위해, 저자는 $X$를 $\mathbb{P}^7$ 내에서 무작위로 선택된 5개의 초평면 $H_1, \dots, H_5$와 교차시킨다. 그 결과로 나타나는 다양체 $D = X \cap \bigcap H_i$는 완전 곡선의 후보가 된다.
3. 자코비안 로커스(Jacobian Locus) 검증: $D$가 자코비안 로커스 내에 위치하도록(즉, 종수 3인 곡선의 자코비안에 대응하도록) 하는 것이 결정적인 단계이다. [GDH91]에 따르면, $\mathcal{A}_3(2, 4)$의 한 점이 비쌍곡선(non-hyperelliptic) 자코비안에 대응할 필요충분조건은 짝수 테타 상수가 정확히 0개가 소멸하는 것이다. 저자는 선택된 초평면들에 대해 두 개의 서로 다른 테타 상수가 동시에 소멸하지 않음을 검증한다. 이는 1차 테타 상수의 제곱을 2차 테타 상수로 표현하는 이차 관계식 $R_{\varepsilon, \varepsilon'} = 0$과 $D$를 교차시킴으로써 달성된다.
4. 갈로아 군에 의한 몫(Quotient): 곡선 $D$는 피복 $\mathcal{A}_3(2, 4)$ 위에 정의된다. $\mathcal{M}_3$로 하강하기 위해, 저자는 차수가 92,897,280인 군 $G = \Gamma_3(1)/\Gamma_3(2, 4)$에 의해 유도되는 갈로아 몫 사상 $\psi: \mathcal{A}_3(2, 4) \to \mathcal{A}_3$를 통해 $\mathcal{A}_3$ 내의 상 $C$를 계산한다. 곡선 $D \to C$의 차수는 평면 $P = \bigcap H_i$의 $G$ 작용에 의한 안정자(stabilizer)에 의해 결정된다.
5. $\mathcal{M}_3$로의 하강: 마지막으로, 저자는 토렐리 사상 확장 $j: \overline{\mathcal{M}}_3 \to \overline{\mathcal{A}}_3$를 활용한다. $C$가 자코비안 로커스에 있으므로, 그 전사(preimage) $B = j^{-1}(C)$는 $\mathcal{M}_3$에 포함된 완전 곡선이다.

주요 결과

• 명시적 구성: 본 논문은 $\mathbb{P}^7$ 내의 완전 곡선 $D$에 대한 명시적인 모델을 제공한다. 특정 선형 형식 $h_1, \dots, h_5$ (예: $h_1 = T_1 - T_6 - T_7 + 2T_8$ 등)를 선택함으로써, 교차 $D$가 비특이(non-singular)이고 기약인 평면 곡선임을 보인다.
• 종수 계산: 곡선 $D$는 $\mathbb{P}^7$ 내에서 차수 16인 초곡면과 5개의 초평면의 완전 교차(complete intersection)이다. 그 종수는 $(16-1)(16-2)/2 = 105$로 계산된다.
• 안정자의 자명성: 테타 상수들의 벡터 공간에 대한 $\Gamma_3(1)$의 생성원들(반전 $S$, 대각 이동 $D_k$, 교차 이동 $D_{kl}$)의 작용을 공식적으로 계산한 결과, 평면 $P$의 안정자가 자명함(차수 1)이 밝혀졌다. 결과적으로, 사상 $D \to C$는 동형 사상이며, $C$는 $\mathcal{A}_3$ 내의 종수 105인 완전 곡선이다.
• 주 정리: $\mathbb{C}$ 위에서 종수가 3인 매끄러운 사영 곡선들의 코스 모듈리 공간 $\mathcal{M}_3$ 내에 종수 105인 완전 곡선이 존재한다.

의의 및 주장
본 연구의 주요 기여는 $\mathcal{M}_3$ 내의 완전 곡선에 대한 최초의 명시적 구성이며, 이는 이론적으로는 존재하지만 명시적으로는 알 수 없었던 문헌상의 공백을 메우는 것이다.

• 상한(Upper Bound): 본 논문은 105를 $\mathcal{M}_3$ 내의 완전 곡선의 최소 종수에 대한 상한으로 설정한다. 저자는 이 상한이 엄밀한지(sharp)는 알려지지 않았으며, 단지 종수가 1보다 커야 한다는 점만을 언급한다.
• 명시성: 많은 자기동형사상(automorphisms)에 의존하거나 추상적인 기하학적 논증을 사용하는 $g \geq 4$에 대한 기존 구성들과 달리, 이 구성은 차수가 16인 매끄러운 평면 곡선 모델을 제공하는 명시적인 방식이다.
• 모듈러 해석: 이 구성은 자연스러운 모듈러 해석을 허용하여, 기저 곡선 $D$의 각 점 위에 종수 3인 곡선을 구성할 수 있게 한다.
• 표수(Characteristic): 본 증명은 $\mathbb{C}$ 상의 고전적인 테타 상수를 사용하지만, 저자는 이 관계식들이 양의 표수에서도 성립함을 언급하며, 따라서 결과가 충분히 큰 표수에서도 확장될 가능성을 시사한다.

이 작업은 Magma를 이용한 계산 대수학에 의존하여 테타 상수 쌍의 비소멸성과 군의 안정자를 검증함으로써, 이론적 존재성과 명시적 기하학적 실현 사이의 간극을 메운다.