A complete curve of genus 105 in the moduli space of curves of genus 3

技术摘要：在亏格 3 的曲线模空间中构造一条亏格为 105 的完整曲线

问题陈述
对于 $g \geq 2$，令 $\mathcal{M}_g$ 表示复域上光滑射影曲线的亏格为 $g$ 的粗模空间。虽然 $\mathcal{M}_g$ 是一个维数为 $3g-3$ 的拟射影簇，但它永远不是完备的。一个由 Harris [Har84] 提出的核心问题是：在 $\mathcal{M}_g$ 中，射影子簇 $B \subset \mathcal{M}_g$ 的最大维数是多少。对于 $g=3$，已知该维数至多为 1，这意味着存在完整曲线。然而，尽管可以通过与 Satake 紧化边界的交截理论来证明这些曲线的存在性，但显式构造一直难以实现。正如 [Zaa05] 所指出的，尽管这些曲线在理论上普遍存在，但在本研究之前，尚未有人曾显式地写出 $\mathcal{M}_3$ 中的一条完整曲线。此外，现有的针对 $g=3$ 的几何构造被预期会产生“巨大”亏格的基曲线，使得此类曲线的最小亏格仍未知。

方法论
作者采用了一种基于 $\theta$ 函数和模形式的策略，偏离了以往直接处理 $\mathcal{A}_3 = \mathbb{H}_3/\Gamma_3(1)$ 模形式的方法。该构造是在覆盖空间 $\mathcal{A}_3(2, 4) = \mathbb{H}_3/\Gamma_3(2, 4)$ 上进行的，该空间拥有由同余子群 $\Gamma_3(2, 4)$ 定义的层结构。

该方法的核心步骤包括：

1. 通过 $\theta$ 常数进行嵌入： 利用二阶 $\theta$ 常数 $\theta_2[\sigma](\tau)$ 将 $\mathcal{A}_3(2, 4)$ 映射到 $\mathbb{P}^7$ 中。其在 $\mathbb{P}^7$ 中的像是 Satake 紧化的一个超曲面 $X \subset \mathbb{P}^7$，该超面由一个由 $\theta$ 常数构成的特定四次关系导出的 16 次不可约方程定义。
2. 与超平面相交： 为了构造一条曲线，作者将超曲面 $X$ 与 5 个随机选择的超平面 $H_1, \dots, H_5$ 相交。所得变型 $D = X \cap \bigcap H_i$ 是一个候选的完整曲线。
3. 雅可比簇集的验证： 一个关键步骤是确保 $D$ 位于雅可比簇集内（即对应于亏格 3 曲线的雅可比簇）。根据 [GDH91]，$\mathcal{A}_3(2, 4)$ 中的一个点对应于非超椭圆雅可比簇，当且仅当恰好有零个偶 $\theta$ 常数消失。作者通过将 $D$ 与表达一阶 $\theta$ 常数平方关于二阶 $\theta$ 常数的二次关系 $R_{\varepsilon, \varepsilon'} = 0$ 相交，验证了在 $D$ 上没有两个不同的 $\theta$ 常数同时消失。
4. 对伽罗瓦群求商： 曲线 $D$ 是在覆盖 $\mathcal{A}_3(2, 4)$ 上定义的。为了下降到模空间 $\mathcal{M}_3$，作者计算了在由阶数为 92,897,280 的群 $G = \Gamma_3(1)/\Gamma_3(2, 4)$ 诱导的伽罗瓦商映射 $\psi: \mathcal{A}_3(2, 4) \to \mathcal{A}_3$ 下的像。映射 $D \to C$ 的次数由平面 $P = \bigcap H_i$ 在 $G$ 作用下的稳定子决定。
5. 下降至 $\mathcal{M}_3$： 最后，作者利用 Torelli 映射扩展 $j: \overline{\mathcal{M}}_3 \to \overline{\mathcal{A}}_3$。由于 $C$ 位于雅可比簇集内，其原像 $B = j^{-1}(C)$ 是包含在 $\mathcal{M}_3$ 中的一条完整曲线。

关键结果

• 显式构造： 本文提供了一个 $\mathbb{P}^7$ 中完整曲线 $D$ 的显式模型。通过选择特定的线性形式 $h_1, \dots, h_5$（例如，$h_1 = T_1 - T_6 - T_7 + 2T_8$ 等），证明了相交得到的 $D$ 是一个非奇异、不可约的平面曲线。
• 亏格计算： 曲线 $D$ 是 $\mathbb{P}^7$ 中一个 16 次超曲面与 5 个超平面的完全相交。其亏格计算为 $(16-1)(16-2)/2 = 105$。
• 稳定子平凡性： 通过对 $\Gamma_3(1)$ 生成元（反转 $S$、对角平移 $D_k$ 和交叉平移 $D_{kl}$）在 $\theta$ 常数向量空间上的作用进行形式化计算，发现定义平面 $P$ 的稳定子是平凡的（阶数为 1）。因此，映射 $D \to C$ 是一个同构，且 $C$ 是 $\mathcal{A}_3$ 中一条亏格为 105 的完整曲线。
• 主定理： 在复数域 $\mathbb{C}$ 上，存在一条位于亏格 3 平滑射影曲线的粗模空间 $\mathcal{M}_3$ 中的亏格为 105 的完整曲线。

意义与主张
本工作的首要贡献在于首次给出了 $\mathcal{M}_3$ 中一条完整曲线的显式构造，填补了文献中提到的空白——即此类曲线在理论上已知存在，但从未被显式给出。

• 上界： 本文将 105 确立为 $\mathcal{M}_3$ 中完整曲线最小亏格的一个上界。作者明确指出目前尚不清楚该界是否是最紧的，仅注意到亏格必须大于 1。
• 显式性： 不同于以往针对 $g \geq 4$ 的构造（通常依赖于具有大量自同构的曲线或抽象几何论证），本构造是显式的，提供了一个 16 次的平滑平面曲线模型。
• 模解释： 该构造允许一种自然的模解释，从而能够在基曲线 $D$ 的每个点之上构造一条亏格为 3 的曲线。
• 特征： 虽然证明使用了经典的复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $\theta$ 常数，但作者指出这些关系在正特征下也成立，这表明该结果可能扩展到足够大的特征。

该工作依赖于计算代数（使用 Magma）来验证 $\theta$ 常数对的非消失性以及群稳定子的平凡性，弥合了理论存在性与显式几何实现之间的鸿沟。