A complete curve of genus 105 in the moduli space of curves of genus 3

技術的要約：モジュライ空間 $\mathcal{M}_3$ における種数 105 の完全な曲線

問題の定義
$g \geq 2$ に対し、$\mathcal{M}_g$ を複素体上の種数 $g$ の滑らかな射影曲線の粗モジュライ空間とする。$\mathcal{M}_g$ は $3g-3$ 次元の準射影多様体であるが、決して完備ではない。Harris [Har84] によって提起された中心的な問いは、射影部分多様体 $B \subset \mathcal{M}_g$ の最大の次元に関するものである。$g=3$ の場合、この次元は高々 1 であることが知られており、これは完全な曲線が存在することを意味している。しかし、このような曲線の存在はサタケ・コンパクト化の境界との交差理論を通じて証明できるものの、明示的な構成は困難であった。[Zaa05] で指摘されているように、これらの曲線の理論的な普遍性にもかかわらず、本研究以前には $\mathcal{M}_3$ における完全な曲線を明示的に書き下した者は存在しなかった。さらに、$g=3$ に対する既存の幾何学的構成は、基底曲線の種数が「極めて巨大」になることが予想されており、そのような曲線の最小の種数は未知であった。

手法
著者は、$\mathcal{A}_3 = \mathbb{H}_3/\Gamma_3(1)$ に対するモジュラー形式を直接扱う従来のプローチとは異なり、テータ関数とモジュラー形式に基づいた戦略を採用している。具体的には、合同部分群 $\Gamma_3(2, 4)$ によって定義されるレヴェル構造を持つ被覆空間 $\mathcal{A}_3(2, 4) = \mathbb{H}_3/\Gamma_3(2, 4)$ 上で構成を行う。

本手法の核心となるステップは以下の通りである：

1. テータ定数による埋め込み： $\mathcal{A}_3(2, 4)$ は、第2次テータ定数 $\theta_2[\sigma](\tau)$ を用いて $\mathbb{P}^7$ へ写像される。そのサタケ・コンパクト化の像は、テータ定数間の特定の4次関係式から導かれる、次数16の既約方程式によって定義される超曲面 $X \subset \mathbb{P}^7$ である。
2. 超平面による切断： 曲線を構成するために、著者らは $\mathbb{P}^7$ 内のランダムに選ばれた5つの超平面 $H_1, \dots, H_5$ によって $X$ を切断する。得られる多様体 $D = X \cap \bigcap H_i$ が、完全な曲線の候補となる。
3. ヤコビ・束の検証： $D$ がヤコビ・束（すなわち、種数3の曲線のヤコビアンに対応するもの）の中に存在することを保証することが極めて重要なステップである。[GDH91] によれば、$\mathcal{A}_3(2, 4)$ の点は、偶テータ定数がちょうど0個消滅する場合にのみ、非ハイパーエリプティックなヤコビアンに対応する。著者は、選択された超平面上で、異なる2つのテータ定数が同時に消滅しないことを検証する。これは、第1次テータ定数の平方を第2次テラー定数を用いて表す二次関係式 $R_{\varepsilon, \varepsilon'} = 0$ と $D$ との交わりを調べることで達成される。
4. ガロア群による商： 曲線 $D$ は被覆 $\mathcal{A}_3(2, 4)$ 上で定義されている。これを $\mathcal{M}_3$ へ降下させるために、著者は、位数 92,897,280 の群 $G = \Gamma_3(1)/\Gamma_3(2, 4)$ によって誘導されるガロア商写像 $\psi: \mathcal{A}_3(2, 4) \to \mathcal{A}_3$ を用いて、その像を計算する。写像 $D \to C$ の次数は、平面 $P = \bigcap H_i$ の $G$ の下でのスタビライザーによって決定される。
5. $\mathcal{M}_3$ への降下： 最後に、著者はトーリ写像の拡張 $j: \overline{\mathcal{M}}_3 \to \overline{\mathcal{A}}_3$ を利用する。$C$ がヤコビ・束内にあるため、その前像 $B = j^{-1}(C)$ は $\mathcal{M}_3$ に含まれる完全な曲線となる。

主要な結果

• 明示的な構成： 本論文は、$\mathbb{P}^7$ における完全な曲線 $D$ の明示的なモデルを提供する。特定の線形形式 $h_1, \dots, h_5$（例：$h_1 = T_1 - T_6 - T_7 + 2T_8$ など）を選択することで、交わり $D$ が非特異かつ既約な平面曲線であることが示される。
• 種数の計算： 曲線 $D$ は、$\mathbb{P}^7$ における次数16の超曲面と5つの超平面の完全交差である。その種数は $(16-1)(16-2)/2 = 105$ と計算される。
• スタビライザーの自明性： $\Gamma_3(1)$ の生成元（反転 $S$、対角移動 $D_k$、および交差移動 $D_{kl}$）のテータ定数のベクトル空間への作用の形式的な計算により、平面 $P$ のスタビライザーが自明（位数1）であることが明らかになった。したがって、写像 $D \to C$ は同型であり、$C$ は $\mathcal{A}_3$ における種数 105 の完全な曲線である。
• 主定理： $\mathbb{C}$ 上の種数 3 の滑らかな射影曲線の粗モジュライ空間 $\mathcal{M}_3$ には、種数 105 の完全な曲線が存在する。

意義と主張
本研究の主要な貢献は、$\mathcal{M}_3$ における完全な曲線の最初の明示的な構成であり、これらが理論的には存在するものの明示的には示されていなかったという文献上の空白を埋めるものである。

• 上界： 本論文は、$\mathcal{M}_3$ における完全な曲線の最小の種数の上界として 105 を確立している。著者は、この上界が鋭いかどうかは不明であり、種数は 1 より大きい必要があるとだけ述べている。
• 明示性： 多くの自己同型を持つ曲線や抽象的な幾何学的議論に依存することが多い $g \geq 4$ の既存の構成とは異なり、この構成は明示的であり、次数16の滑らかな平面曲線のモデルを提供している。
• モジュラー的解釈： この構成は自然なモジュラー的解釈を可能にし、基底曲線 $D$ の各点に対して種数 3 の曲線を構成することを可能にする。
• 標数： 証明には古典的な複素数体 $\mathbb{C}$ 上のテータ定数が用いられているが、著者はこれらの関係式が正の標数においても成立することに触れており、この結果が十分大きな標数においても拡張可能であることを示唆している。

本研究は、テータ定数のペアの非消滅性と群のスタビライザーの自明性を検証するために、計算代数（Magmaを使用）に依拠しており、理論的な存在と明示的な幾何学的実現の間の溝を埋めている。