기술 요약: 처치 데이터가 누락되었을 때 누구를 치료할지 학습하기

문제 정의

본 논문은 예산 제약($\kappa$)이 있는 상황에서 처치 할당 정책($d: \mathcal{X} \to \{0, 1\}$)을 학습하는 과제를 다룬다. 이때 처치 할당 데이터($A$)가 인구의 일부에 대해 누락되어 있다. 목표는 조건부 평균 처치 효과(CATE), $\tau(X) = E[Y(1) - Y(0) | X]$가 가장 높은 개인을 식별함으로써 기대 효용 $V(d) = E[Y(d(X))]$를 극대화하는 것이다.

표준적인 정책 학습 방법들은 완전한 데이터를 가정한다. 그러나 관찰 연구(예: 의료, 사회 복지)에서는 불완전한 기록, 측정 오류 또는 데이터 통합 문제로 인해 처치 기록이 빈번하게 누락된다. 본 논문은 두 가지 누락 메커니즘을 구분한다:

1. 무작위 결측(Missing Completely Conditionally at Random, MCCAR): 결측($R=0$)이 관찰된 공변량 $X$에만 의존한다. 형식적으로 $R \perp\!\!\!\perp (A, Y) \mid X$이다.
2. 무작위 결측(Missing at Random, MAR): 결측이 관찰된 공변량 $X$와 관찰된 결과 $Y$에 의존한다. 형식적으로 $R \perp\!\!\!\perp A \mid (X, Y)$이다.

MCCAR 하에서는 표준적인 완전 사례 분석(complete-case analysis, 처치가 누락된 단위를 버리는 방식)이 유효하지만 잠재적으로 비효율적이다. MAR 하에서는 결측 메커니즘이 결과와 관련되어 있으므로, 결측이 공변량given 잠재적 결과와 독립적이라는 가정을 위반하여 완전 사례 분석 시 편향(bias)이 발생한다. 본 논문은 결측이 관찰되지 않은 요인에 의존하는 MNAR(Missing Not at Random) 시나리오는 제외하고, 이 두 가지 설정에 집중한다.

방법론

저자들은 평균 처치 효과(ATE) 추정을 위해 개발된 효율적 영향 함수(efficient influence function, IF) 방법론을 정책 가치(Policy Value) 추정과 CATE 추정 문제로 확장한다.

1. 식별 전략 (Identification Strategies)

본 논문은 누락 가정에 기반한 두 가지 식별 전략을 제안한다:

• 전략 1 (MAR 기반): MCCAR 및 MAR 모두에서 유효하다. 관찰된 결과를 재가중함으로써 모든 가용 데이터(부분적으로 관 observation된 단위 포함)를 활용한다. 정책 가치는 다음과 같이 식별된다:
  $$V(d) = E\left[\frac{\beta_d(X)}{\gamma_d(X)}\right]$$
  여기서 $\beta_d(X) = E[Y \lambda_d(X, Y) \mid X]$ 이고 $\gamma_d(X) = E[\lambda_d(X, Y) \mid X]$ 이다. $\lambda_d(X, Y) = P(A=d(X) \mid X, Y, R=1)$ 은 결과가 조건화된 성향 점수(propensity score)이며, $\pi(X, Y) = P(R=1 \mid X, Y)$ 는 처치를 관찰할 확률이다.
• 전략 2 (MCCAR 기반): MCCAR에서만 유효하다. 처치가 관찰된 단위만을 사용하는 완전 사례 추정량이다:
  $$V(d) = E[\nu_d(X)]$$
  여기서 $\nu_d(X) = E[Y \mid X, A=d(X), R=1]$ 이다.

2. 효율적 추정량 (Efficient Estimators)

저자들은 준파라미터 효율적 경계(semiparametric efficiency bounds)를 달성하기 위해 영향 함수(IF)를 사용하는 편향 교정 이중 강건(doubly robust) 추정량을 도출한다.

• MCCAR 추정량 ($\hat{\Phi}_{MCCAR}$): $\eta_d(X) = P(A=d(X), R=1 \mid X)$ 와 $\nu_d(X)$ 에 의존하는 IF $\phi_{MCCAR}$를 기반으로 한다. $\hat{\eta}_d$ 또는 $\hat{\nu}_d$ 중 하나가 올바르게 지정되면 일관성(consistent)을 갖는다.
• MAR 추정량 ($\hat{\Psi}_{MAR}$): 전체 샘플을 활용하는 IF $\phi_{MAR}$를 기반으로 한다. 이는 $\pi(X, Y)$, $\lambda_d(X, Y)$, $\beta_d(X)$, $\gamma_d(X)$ 라는 넌서스 함수(nuisance functions)의 일관된 추정을 요구한다. 결정적으로, $\lambda_d$ 또는 $\pi$ 중 하나와 더불어 $\gamma_d$(결과 조건화가 없는 성향 점수)의 일관된 추정이 필수적이다.

3. 정책 학습 (CATE 추정)

최적의 정책을 학습하기 위해 저자들은 DR-Learner 프레임워크를 사용한다. 이들은 처치($A=1$)와 대조($A=0$)에 대한 MAR 또는 MCCAR 가치 함수 추정량의 차이를 기반으로 의사 결과(pseudo-outcomes)를 구성한다:

• $\tilde{\phi}_{MAR} = \hat{\phi}_{MAR}(1) - \hat{\phi}_{MAR}(0)$
• $\tilde{\phi}_{MCCAR} = \hat{\phi}_{MCCAR}(1) - \hat{\phi}_{MCCAR}(0)$

이러한 의사 결과들을 일반적인 머신러닝 방법(예: 랜덤 포레스트)을 사용하여 공변량 $X$에 대해 회귀 분석함으로써 $\tau(X)$를 추정한다. 최적의 정책은 추정된 CATE가 예산 제약을 결정하는 임계값을 초과하는 개인을 처치하는 것으로 정의된다.

주요 기여

1. 효율적 추정량의 확장: 저자들은 효율적 영향 함수 방법론을 ATE 추정에서 정책 가치 및 Cability(CATE) 추정으로, MCCAR 및 MAR 가정 하에서 확장하였다.
2. 이론적 효율성 증명: 본 논문은 두 가지가 모두 유효한 경우(즉, MCCAR 가정 하에서) MAR 기반 추정량이 MCCAR(완전 사례) 추정량보다 점근적으로 더 효율적임을 증명한다. 이는 MAR 추정량이 부분적으로 관찰된 단위를 활용하여 분산을 줄이기 때문에, MCCAR 가정이 성립하더라도 MAR 기반 방법을 선호해야 한다는 정당성을 제공한다.
3. 오지정(Misspecification)에 대한 강건성: 제안된 추정량들은 이중 강건(double robustness) 특성을 가진다. MAR 추정량은 결과 모델($\lambda_d$) 또는 결측 모델($\pi$) 중 하나가 올바르게 지정되고, 성향 점수 모델($\gamma_d$)이 일관되게 추정된다면 일관성을 유지한다.
4. 실증적 검증: 합성 및 준합성 데이터셋(Voting 및 STAR)에 대한 종합적인 실험을 통해, 결측 메커니즘을 올바르게 지정하는 것이 매우 중요하다는 것을 보여준다. 오지정된 추정량은 샘플 크기에 관계없이 편향된 상태로 남는 반면, 제안된 MAR 추정량은 가정이 충족될 때 오라클(oracle) 성능에 근접한다.

결과

• 합성 실험:
  • 수렴성: MAR 설정에서 MCCAR 추정량은 샘플 크기가 커져도 지속적인 편향을 보이는 반면, MAR 추정량은 오라클로 수렴한다. MCCAR 설정에서는 두 추정량 모두 편향되지 않지만, MAR 추정량이 약간 더 빠른 수렴 속도를 보인다.
  • 강건성: MAR 추정량은 처치 성향 또는 결측 메커니즘 중 하나가 오지정되어도 강건하지만, 두 가지 모두 오지정되면 그렇지 않다.
  • 효율성 이득: 이론적 분석과 시뮬레이션은 MAR 추정량이 MCCAR 추정량에 비해 갖는 점근적 상대 효율(ARE)이 확장된 성향 점수, 결측률, 그리고 둘 사이의 상관관계에 따라 증가함을 확인시켜 준다.
• 준합성 실험:
  • 무작위 배정 시험(Voting 및 STAR)에서 인위적으로 유도된 결측을 사용하여, MAR 기반 추정량(DR-MAR)은 MAR 설정에서 완전 사례 방법 및 기타 베이스라인(IPW, Outcome Regression, MTRNET)보다 일관되게 우수한 성능을 보였으며, 특히 처치 데이터가 심각하게 제한된 경우(1로 관찰된 비율 10-30%)에 그러했다.
  • MCCAR 설정에서는 대부분의 방법이 유사한 성능을 보였으나, MAR 기반 접근법이 여전히 경쟁력이 있었다.
  • 결과는 결측이 결과에 의존할 때 데이터를 버리는 것(완전 사례 분석)이 하위의 정책(suboptimal policy)을 초래한다는 점을 강조한다.

의의 및 주장

본 논문은 완전 사례 가정이 성립하는 경우에도 완전 사례 분석이 효율적인 선택은 아니라고 주장한다. 저자들은 MAR 기반 추정량이 다음과 같은 이유로 이론적으로 우월하다고 주장한다:

1. 부분적으로 관찰된 단위를 활용함으로써 점근적 분산을 낮춘다.
2. MCCAR 추정량보다 적은 식별 가정을 요구한다(MCCAR는 MAR의 특수한 경우이므로).
3. 결측이 결과에 의존할 때 발생하는 편향을 피하는, 강건하고 비매개변수적인 정책 학습 프레임워크를 제공한다.

저자들은 실제 환경에서 결측 메커니즘이 불확실한 경우가 많으므로, MAR 기반 추정을 기본 전략으로 채택하는 것이 신중한 방법이라고 결론짓는다. MAR 가정 하에서 MCCAR 추정량을 사용하는 것은 지속적인 편향을 야기하는 반면, MCCAR 가정 하에서 MAR 추정량을 사용하는 것은 더 높은 효율성을 제공한다. 이러한 비대칭성은 처치 데이터가 누락된 상황에서 강건한 정책 학습을 위해 MAR 기반 방법을 채택하라는 권고를 강화한다.