Both directions of Fuglede's conjecture fail in dimension two

기술 요약: 2차원에서의 푸게데 추측(Fuglede's Conjecture)의 실패

문제 정의
1974년에 제안된 푸게데의 추측은, 양의 유한 측도를 가진 가측 집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$가 스펙트럴(spectral) (지수 함수의 직교 기저를 가짐)할 필요충분조건은 그것이 평행이동 타일(translational tile) (평행이동에 의해 $\mathbb{R}^d$를 타일링할 수 있음)인 것이라는 가설을 담고 있다. 이 추측은 볼록 영역이나 다양한 기하학적 또는 산술적 제약 하에서는 성립하지만, 모든 차원 $d \geq 3$에서 양방향 모두로 실패하는 것으로 알려져 있다. 1차원과 2차원에서의 추측의 상태는 미해결 문제로 남아 있었다. 본 논문은 해결되지 않았던 2차원 사례를 다룬다.

방법론
저자들은 유한 아벨 군(finite Abelian group)에서 반례를 구성하고, 이를 유한-무한 전이 원리(finite-to-infinite transference principle)를 통해 유클리드 공간으로 전달하는 전략을 사용한다. 핵심 방법론은 다음과 같다:

1. 유한 군 구성: 저자들은 계수(rank)가 2인 유한 아벨 군 $G = \mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{12}$ 내에서 작업한다. 저자들은 이 군의 두 가지 특정 60-점 부분집합을 구성한다:
   • $G$를 타일링하지만 스펙트럼을 갖지 않는 집합 $A_-$
   • 스펙트럴하지만 $G$를 타일링하지 않는 집합 $A_+$
2. 레이어 증폭(Layer-Amplification): 이러한 성질을 달성하기 위해, 저자들은 "5-레이어" 증폭 기법을 활용한다. 저자들은 "시드(seed)" 집합 $E \subset \mathbb{Z}_{12}^2$ (12-점 그래프)로부터 시작한다.
   • 비스펙트럴 타일의 경우, 공통의 스펙트럼을 공유하지 않는 세 개의 서로 다른 $E$의 타일링 보집합(tiling complements)을 식별한다. 이들은 다섯 개의 레이어(보조 인자 $\mathbb{Z}_5$ 사용)로 배치되어, 보집합들의 불호환성이 전역적인 스펙트럼의 존재를 방해하는 집합을 생성한다.
   • 비타일링 스펙트럴 집합의 경우, $E$의 세 가지 서로 다른 스펙트럼을 식별하며, 이들은 공통의 타일링 보집합을 공유하지 않는다. 평행한 5-레이어 구성을 통해 결과 집합은 스펙트럴하지만 타일링할 수는 없게 된다.
3. 동형 사상 및 전달: 구성은 $H \times \mathbb{Z}_5$ (여기서 $H = \mathbb{Z}_{12}^2$)에서 수행된다. 중국인의 나머지 정리(Chinese Remainder Theorem)는 계수를 증가시키지 않으면서 군 구조를 보존하는 동형 사상 $\Phi: H \times \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{12}$를 제공한다.
4. 유한-무한 전이: 정교화된 전이 원리(Proposition 2.1)를 사용하여, 유한 반례들을 $\mathbb{R}^2$의 유계 부분집합으로 들어 올린다. 구체적으로, 충분히 큰 $k$에 대하여, 집합 $A[k] = A + \{ (n_1 j_1, n_2 j_2) : 0 \leq j_1, j_2 < k \}$는 원래의 유한 집합 $A$의 스펙트럴 또는 타일링 성질을 유지한다. 이러한 이산 집합들은 $\mathbb{R}^2$ 내의 단위 정사각형들의 합집합으로 확장된다.

주요 기여 및 결과
본 논문은 다음의 주요 정리를 확립한다:

• 정리 1.1: $\mathbb{R}^2$에는 스펙트럴하지 않은 유계 평행이동 타일이 존재하며, $\mathbb{R}^2$에는 평행이동에 의해 타일링되지 않는 유계 스펙트럴 집합이 존재한다.

구체적인 결과는 다음과 같다:

• 비스펙트럴 타일의 명시적 구성: 저자들은 $G$를 타일링하지만 스펙트럼을 갖지 않는 집합 $A_- \subset \mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{12}$를 구성한다. 전이를 통해, 이는 스펙트럴하지 않은 $\mathbb{R}^2$ 내의 유계 평행이동 타일(단위 정사각형의 유한 합집합)을 생성한다.
• 비타일링 스펙트럴 집합의 명시적 구성: 저자들은 스펙트럴하지만 $G$를 타일링하지 않는 집합 $A_+ \subset \mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{12}$를 구성한다. 전이를 통해, 이는 평행이동에 의해 타일링되지 않는 $\mathbb{R}^2$ 내의 유계 스펙트럴 집합(구체적으로, 564,540개의 반개구간 단위 정사각형의 불연속 합집합)을 생성한다.
• 계수 2의 장벽 해소: 본 논문은 푸게데의 추측이 단 두 개의 순환 인자($\mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2}$)만을 가진 군에서도 실패함을 입증함으로써, 많은 특정 유한 아벨 가족에서 추측이 성립했던 제한적인 설정을 극복했다.

의의
본 논문은 $\mathbb{R}^2$에서 푸게데의 추측의 양방향 모두가 실패함을 증명함으로써 2차원 사례를 해결했다고 주장한다. 이는 제한 없는 가측 집합에 대한 그림을 완성하며, 스펙트럼성과 타일링 사이의 동치성이 $d \geq 2$인 모든 차원에서 실패함을 보여준다. 이 연구는 $d \geq 3$에서의 알려진 부정적 결과들을 평면으로 확장하였으며, 저계수 설정에서의 이전의 긍정적 결과들을 우회하기 위해 계수가 2인 유한 아벨 군에서의 새로운 구성을 활용하였다. 저자들은 자신들의 구성이 명시적이며, 연속 도메인으로 들어 올려진 유한 군에서의 타일링 보집합과 스펙트럼 사이의 상호작용에 의존한다고 언급하였다.