Both directions of Fuglede's conjecture fail in dimension two

技术摘要：二维空间中 Fuglede 猜想的失效

问题陈述
Fuglede 猜想由 1974 年提出，该猜想认为，具有正有限测度的可测集 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 是谱集（即拥有指数函数的正交基）当且仅当它是平移镶嵌集（即可以通过平移对 $\mathbb{R}^d$ 进行镶嵌）。虽然该猜想在凸域以及各种几何或算术约束下成立，但已知在所有维度 $d \geq 3$ 的情况下，该猜想在两个方向上均失效。一维和二维情况下的猜想状态此前一直是一个悬而未决的问题。本文解决了尚未解决的二维情形。

方法论
作者采用了一种在有限阿贝尔群中构造反例，并通过“有限到无限”的转移原理将其转移到欧几里得空间的策略。核心方法论包括：

1. 有限群构造： 作者在秩为二的有限阿贝尔群 $G = \mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{12}$ 中进行研究。他们构造了两个特定的 60 点子集：
   • 集合 $A_-$ 是 $G$ 的一个镶嵌集，但它不具备谱。
   • 集合 $A_+$ 是一个谱集，但它不能镶嵌 $G$。
2. 层级放大（Layer-Amplification）： 为了实现这些性质，作者利用了一种“五层”放大技术。他们从一个“种子”集 $E \subset \mathbb{Z}_{12}^2$（一个 12 点图）开始。
   • 对于非谱镶嵌集，他们识别出三个不同的 $E$ 的镶嵌补集，这些补集之间没有共同的谱。通过将它们排列在五个层级中（使用辅助因子 $\mathbb{Z}_5$），创造出一个由于补集的互不兼容性从而导致不存在任何全局谱的集合。
   • 对于非镶嵌谱集，他们识别出三个不同的 $E$ 的谱，这些谱之间没有共同的镶嵌补集。一个平行的五层构造确保了生成的集合是谱集，但无法进行镶嵌。
3. 同构与转移： 构造过程是在 $H \times \mathbb{Z}_5$（其中 $H = \mathbb{Z}_{12}^2$）中进行的。中国剩余定理提供了一个同构 $\Phi: H \times \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{12}$，该同构在不增加秩的情况下保持了群结构。
4. 有限到无限的转移： 使用一种改进的转移原理（命题 2.1），将这些有限反例提升为 $\mathbb{R}^2$ 中的有界子集。具体而言，对于足够大的 $k$，集合 $A[k] = A + \{ (n_1 j_1, n_2 j_2) : 0 \leq j_1, j_2 < k \}$ 保留了原始有限集合 $A$ 的谱或镶嵌性质。这些离散集随后被扩展为 $\mathbb{R}^2$ 中单位正方形的并集。

主要贡献与结果
本文确立了其主要定理：

• 定理 1.1： 存在一个 $\mathbb{R}^2$ 中的有界平移镶嵌集且不是谱集，并且存在一个 $\mathbb{R}^2$ 中的有界谱集且不能通过平移进行镶嵌。

具体结果包括：

• 非谱镶嵌集的显式构造： 作者构造了一个集合 $A_- \subset \mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{12}$，它镶嵌该群但没有谱。通过转移，这产生了一个 $\mathbb{R}^2$ 中的有界平移镶嵌集（一个有限个单位正方形的并集），但它不是谱集。
• 非镶嵌谱集的显式构造： 作者构造了一个集合 $A_+ \subset \mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{12}$，它是谱集但不能镶嵌该群。通过转移，这产生了一个 $\mathbb{R}^2$ 中的有界谱集（具体为 564,540 个半开单位正方形的并集），但它不能通过平移进行镶嵌。
• 突破秩为二的障碍： 本文证明了即使在仅有两个循环因子的群（$\mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2}$）中，Fuglede 猜想也会失效，克服了此前在许多特定低秩阿贝尔族中已知猜想成立的限制性环境。

意义
该论文声称解决了二维情况下的 Fuglede 猜想，证明了该猜想在 $\mathbb{R}^2$ 中的两个蕴含关系均失效。这完成了对无限制可测集的完整描述，表明谱性与镶嵌性之间的等价关系在每个维度 $d \geq 2$ 下都失效。这项工作将已知的 $d \geq 3$ 的负面结果延伸到了平面，利用在秩为二的有限阿贝尔群中的新颖构造，绕过了此前在低秩设置下的正面结果。作者指出，他们的构造是显式的，并依赖于有限群中镶嵌补集与谱之间的相互作用，并将其提升到连续域。