Some convolution identities for mock modular forms arising from the theory of holomorphic projection

기술 요약: 호로모픽 투영 이론으로부터 발생하는 모크 모듈러 형식에 관한 일부 컨볼루션 항등식

문제 제기
컨볼루션 항등식과 재귀 공식은 정수론적 모듈러 형식 및 그 조합론적 응용 이론의 근본적인 도구이다. 분할 함수(partition function)나 약수 합(divisor sums)과 관련된 고전적인 사례들은 잘 확립되어 있으나, 최근에는 비-홀로모픽 모듈러 형식, 특히 하모닉 마스 형식(harmonic Maass forms)에서 발생하는 항등식에 대한 관심이 높아지고 있다. Imamoğlu, Raum, 그리고 Richter(2014)의 선행 연구는 하모닉 마스 형식과 홀로모픽 모듈러 형식의 곱에 대한 홀로모픽 투영 이론을 확립하였으며, 이를 통해 허위츠-크로네커(Hurwitz-Kronecker) 클래스 넘버 관계의 일반화와 움브럴 문샤인(Umbral Moonshine) 추측 증명에 필수적인 공식들을 도출해 냈다.

그러나 Imamoğlu, Raum, 그리고 Richter의 기존 프레임워크는 연관된 일반화된 펠 방정식(generalized Pell equation) $m^2 - Dn^2 = N$에서 $D$가 제곱수인 경우에 최적화되어 있으며, 이 경우 주어진 $N$에 대해 유한한 해만을 갖는다. 라마누잔의 3차 모크 세타 함수(mock theta functions)와 관련된 많은 자연스러운 사례들은 $D$가 제곱수가 아닌 경우에 해당하며, 이는 무한히 많은 해를 갖게 된다. 본 논문은 이러한 일반적인 경우에 대해 편리하고 계산 가능한 홀로모픽 투영 이론을 개발하는 데 있어 존재하는 공백을 다룬다.

방법론
저자들은 컨볼루션 항등식을 도출하기 위해 홀로모픽 투영 이론을 채택한다. 핵심 방법론은 다음과 같은 단계로 구성된다:

1. 텐서 곱 구성: 저자들은 특정 벡터 값 하모닉 마스 형식 $H^{(3)}$와 벡터 값 홀로모픽 모듈러 형식 $N$의 텐서 곱을 형성한다. $H^{(3)}$는 Klein과 Kupka가 기술한 바와 같이 라마누잔의 모크 세타 함수($\phi, \psi, \nu$)와 그들의 비-홀로모픽 완결(unary theta functions 및 Eichler integral을 통해 정의됨)로부터 구성된다. $N$은 에타 곱(eta-quotients)으로부터 구성된다.
2. 표현론: 텐서 곱 $H^{(3)} \otimes N$은 18차원의 벡터를 생성한다. 저자들은 연관된 표현 $\rho^{(3)} \otimes \rho$를 기약 성분으로 분해한다. 모듈러 형식 공간의 차원 공식을 사용하여, 이 표현에 대한 무게 2의 준-모듈러 형식(quasimodular forms) 공간의 차원이 3임을 입증한다.
3. 홀로모픽 투영: 텐서 곱에 홀로모픽 투영 연산자 $\pi_{hol}$을 적용함으로써, 하모닉 마스 형식의 비-홀로모픽 부분과 홀로모픽 모듈러 형식을 연결한다. 홀로모픽 부분($F^{(3)} \otimes N$)의 투영은 항등식의 좌변을 생성하며, 비-홀로모픽 부분($G^{(3)} \otimes N$)의 투영은 우변의 컨볼루션 합을 생성한다.
4. 일반화된 투영 공식: 핵심적인 방법론적 기여는 무게 2 홀로모픽 투영에 대한 일반 공식인 정리 4.2의 개발이다. $D$가 제곱수라고 가정했던 이전의 공식들과 달리, 이 정리는 일반화된 펠 방정식 $m^2 - Dn^2 = 1$이 무한히 많은 해를 갖는 경우(비-제곱수 $D$)를 처리한다. 증명 과정은 다음과 같다:
   • 함수의 성장 조건 분석.
   • 펠 방정식의 기본해(fundamental solution)를 활용하여 정수 해를 동치류(equivalence classes)로 분류.
   • 결과적인 이중 급수를 단순화하기 위해 디리클레 캐릭터(Dirichlet characters)와 특정 파라미터($\epsilon_1, \epsilon_2$)를 사용하여 이들 클래스를 합산.
   • 복잡한 이중 합을 더 간결한 형태로 축소하기 위해 보조정리 4.3을 사용하여 유니모듈러 치환(unimodular substitutions) 수행.

주요 기여 및 결과
본 논문의 주요 결과는 라마누잔의 3차 모크 세타 함수 $\phi(q), \psi(q), \nu(q)$를 포함하는 다섯 가지 구별된 컨볼루션 유형의 $q$-급수 항등식을 확립하는 정리 A이다.

• 추측의 해결: 정리 A의 항등식 (a)는 $\psi(q)$에 관한 특정 컨볼루션 항등식에 대해 두 번째 저자(Garvan)가 제기했던 최근의 추측을 해결한다.
• 항등식의 축소: 18-성분 텐서 곱의 홀로모픽 투영은 처음에 18개의 항등식을 생성한다. 저자들은 모크 세타 함수 사이의 고전적 관계(특히 $\phi, \psi, \nu$와 $\omega$ 사이의 관계)를 통해, 이 18개의 항등식이 정리 A에 명시된 다섯 가지 구별된 관계로 축소됨을 보여준다.
• 명시적 공식: 항등식들은 모듈러 형식(무한 곱 $(q;q)_\infty$를 포함하는)과 모크 세타 함수의 곱이 모듈러 형식과 크로네커 기호 및 이차 지수를 포함하는 이중 합의 선형 결합과 같다는 형태를 취한다. 예를 들어, 항등식 (a)는 $(q;q)_\infty^3 \psi(q)$를 $\binom{-4}{m}\binom{n}{6}$을 포함하는 이중 합과 연관시킨다.
• 대안적 증명: 부록에서는 추상적인 홀로모픽 투영법을 통해 얻은 결과들을 확인하기 위해 여러 항등식에 대한 직접적인 $q$-급수 증명을 제공한다.

의의
본 논문은 다음과 같은 특정 분야에서 의의를 갖는다:

1. 홀로모픽 투영의 확장: 기저가 되는 펠 방정식이 무한한 해를 갖는 경우(적분의 발산과 해 집합의 복잡성으로 인해 이전에 계산적으로 다루기 어려웠던 시나리오)로 홀로모픽 투영 이론을 확장한다.
2. 자동 발견: 저자들은 홀로모픽 투영 공식의 효용성이 이러한 공식의 "자동 발견 및 검증"을 위한 도구로서의 능력에 있다고 강조한다. 이 방법은 직접적인 $q$-급수 조작만으로는 찾기 어려운 항등식을 체계적으로 생성하는 방법을 제공한다.
3. 통합: 이 연구는 단일 텐서 곱에서 발생하는 18개의 항등식을 핵심적인 다섯 가지 관계로 축소함으로써, 서로 다른 모크 세타 함수 항등식들 사이의 구조적 관계를 명확히 한다.
4. 향후 연구를 위한 토대: 저자들은 여기서 개발된 방법들이 $p$-차 모크 함수와 $p$에 대한 다이슨 랭크 함수(Dyson rank function)로 확장되도록 설계되었음을 언급하며, 이는 모크 세타 추측(Mock Theta Conjectures)에 대한 추가 탐구의 경로를 제시한다. 다만 현재의 논문은 엄격하게 3차 케이스에 집중한다.

논문은 벡터 값 하모닉 마스 형식의 계산적 세부 사항은 번거로울 수 있으나, 정리 4.2의 확립과 그에 따른 정리 A의 도출이 새로운 컨볼루션 항등식을 생성하기 위한 견고한 프레임워크를 제공한다고 결론짓는다.