Some convolution identities for mock modular forms arising from the theory of holomorphic projection

Technische Samenvatting: Enkele Conjunctie-identiteiten voor Mock Modulaire Vormen voortvloeiend uit de Theorie van Holomorfe Projectie

Probleemstelling
Conjunctie-identiteiten en recursieve formules zijn fundamentele instrumenten in de theorie van holomorfe modulaire vormen en hun toepassingen in de combinatoriek. Hoewel klassieke voorbeelden (zoals die met divisor-sommen en de partitiefunctie) goed gevestigd zijn, is er een hernieuwde belangstelling voor identiteiten die voortvloeien uit niet-holomorfe modulaire vormen, specifiek harmonische Maass-vormen. Vorig werk door Imamoğlu, Raum en Richter (2014) vestigde een theorie van holomorfe projectie voor producten van harmonische Maass-vormen en holomorfe modulaire vormen, wat significante resultaten opleverde, zoals generalisaties van de Hurwitz-Kronecker klassenaantal-relaties en formules die essentieel zijn voor het bewijs van de Umbral Moonshine-conjectuur.

Echter, het bestaande kader van Imamoğlu, Raum en Richter is geoptimaliseerd voor gevallen waarbij de bijbehorende gegeneraliseerde Pell-vergelijking $m^2 - Dn^2 = N$ een kwadraatwaarde heeft voor $D$, wat resulteert in slechts eindig veel oplossingen voor een gegeven $N$. Veel natuurlijke gevallen met mock theta-functies, met name die gerelateerd aan de derde-orde mock theta-functies van Ramanujan, komen overeen met gevallen waarbij $D$ geen perfect kwadraat is, wat leidt tot oneindig veel oplossingen. Dit artikel adresseert de kloof in het ontwikkelen van een handzame en computationeel uitvoerbare theorie van holomorfe projectie voor deze algemene gevallen.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van de theorie van holomorfe projectie om conjunctie-identiteiten af te leiden. De kernmethodologie omvat de volgende stappen:

1. Tensorproduct-constructie: De auteurs vormen het tensorproduct van een specifieke vector-waardige harmonische Maass-vorm, $H^{(3)}$, met een vector-waardige holomorfe modulaire vorm, $N$. De vorm $H^{(3)}$ wordt geconstrueerd uit de mock theta-functies van Ramanujan ($\phi, \psi, \nu$) en hun niet-holomorfe complementen (gedefinieerd via unaire theta-functies en Eichler-integralen) zoals beschreven door Klein en Kupka. De vorm $N$ wordt geconstrueerd uit eta-quotienten.
2. Representatietheorie: Het tensorproduct $H^{(3)} \otimes N$ levert een vector op van dimensie 18. De auteurs deconstrueren de bijbehorende representatie $\rho^{(3)} \otimes \rho$ in irredeuceerbare componenten. Met behulp van dimensieformules voor ruimten van modulaire vormen, tonen zij aan dat de ruimte van quasimodulaire vormen van gewicht 2 voor deze representatie een dimensie 3 heeft.
3. Holomorfe Projectie: Door de holomorfe projectie-operator $\pi_{hol}$ toe te passen op het tensorproduct, relateren de auteurs de niet-holomorfe delen van de harmonische Maass-vorm aan holomorfe modulaire vormen. De projectie van het holomorfe deel ($F^{(3)} \otimes N$) levert de linkerzijden van de identiteiten op, terwijl de projectie van het niet-holomorfe deel ($G^{(3)} \otimes N$) de conjunctie-sommen op de rechterzijden oplevert.
4. Gegeneraliseerde Projectieformule: Een cruciale methodologische bijdrage is de ontwikkeling van Stelling 4.2, een algemene formule voor gewicht-2 holomorfe projecties. In tegen tegenstelling tot eerdere formuleringen die aannamen dat $D$ een kwadraat was, behandelt deze stelling het geval waarbij de gegeneraliseerde Pell-vergelijking $m^2 - Dn^2 = 1$ oneindig veel oplossingen heeft (niet-kwadraat $D$). Het bewijs omvat:
   • Het analyseren van de groeicondities van de functies.
   • Het gebruik van de fundamentele oplossing van de Pell-vergelijking om integer-oplossingen te classificeren in equivalentieklassen.
   • Het sommeren over deze klassen met behulp van Dirichlet-karakters en specifieke parameters ($\epsilon_1, \epsilon_2$) om de resulterende dubbele reeksen te vereenvoudigen.
   • Het toepassen van Lemma 4.3 om unimodulaire substituties uit te voeren die complexe dubbele sommen reduceren tot compactere vormen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het primaire resultaat van het artikel is Stelling A, die vijf verschillende conjunctie-type $q$-reeks-identiteiten vaststelt die betrokken zijn bij de derde-orde mock theta-functies $\phi(q)$, $\psi(q)$ en $\nu(q)$ van Ramanujan.

• Resolutie van een Conjectuur: Identiteit (a) in Stelling A lost een recente conjectuur op die door de tweede auteur (Garvan) werd geponeerd betreffende een specifieke conjunctie-identiteit voor $\psi(q)$.
• Reductie van Identiteiten: De holomorfe projectie van de 18-componenten tensorproduct levert aanvankelijk 18 identiteiten op. Door klassieke relaties tussen mock theta-functies (specifiek identiteiten die $\phi, \psi, \nu$ en $\omega$ relateren), tonen de auteurs aan dat deze 18 identiteiten reduceren tot de vijf verschillende relaties vermeld in Stelling A.
• Expliciete Formules: De identiteiten nemen de vorm aan van een product van een modulaire vorm (involvende oneindige producten zoals $(q;q)_\infty$) en een mock theta-functie gelijk aan een lineaire combinatie van een modulaire vorm en een dubbele som met Kronecker-symbolen en kwadratische exponenten. Bijvoorbeeld, identiteit (a) relateert $(q;q)_\infty^3 \psi(q)$ aan een dubbele som die $\binom{-4}{m}\binom{n}{6}$ bevat.
• Alternatieve Bewijzen: De bijlagen bieden directe $q$-reeks-bewijzen voor verschillende identiteiten, waarmee de resultaten verkregen via de meer abstracte methode van holomorfe projectie worden bevestigd.

Betekenis
Het artikel claimt betekenis in enkele specifieke gebieden:

1. Uitbreiding van Holomorfe Projectie: Het breidt de theorie van holomorfe projectie uit naar gevallen waarbij de onderliggende Pell-vergelijking oneindig veel oplossingen heeft, een scenario dat voorheen moeilijk te behandelen was computationeel vanwege de divergentie van integralen en de complexiteit van de oplossingsverzamelingen.
2. Geautomatiseerde Ontdekking: De auteurs benadrukken dat het nut van de holomorfe projectieformules ligt in hun vermogen om te dienen als een instrument voor de "automatische ontdekking en verificatie" van dergelijke formules. De methode biedt een systematische manier om identiteiten te genereren die wellicht moeilijk te vinden zijn via directe $q$-reeks-manipulatie alleen.
3. Unificatie: Het werk unificeert de afleiding van 18 identiteiten voortvloeiend uit één enkele tensorproduct, waardoor deze reduceren tot een kernset van vijf, wat de structurele relaties tussen verschillende mock theta-functie-identiteiten verheldert.
4. Fundament voor Toekomstig Werk: De auteurs merken op dat de ontwikkelde methoden zijn ontworpen om zich uit te breiden naar $p$-orde mock theta-functies en de Dyson-rank functie modulo $p$, wat een pad suggereert voor verdere exploratie van Mock Theta-conjecturen, hoewel het huidige artikel zich strikt richt op de derde-orde casus.

Het artikel concludeert dat hoewel de computationele details van vector-waardige harmonische Maass-vormen tijdrovend zijn, de vaststelling van Stelling 4.2 en de daaropvolgende afleiding van Stelling A een robuust kader bieden voor het genereren van nieuwe conjunctie-identiteiten in de theorie van mock modulaire vormen.