Informed Trading model with quantum walks

금융의 세계에서 주가의 움직임은 종종 미스터리, 즉 단 한 명의 트레이더도 미래를 확실하게 예측할 수 없는 불확실성의 안개로 취급되곤 합니다. 하지만 일부 트레이더들은 우위를 점합니다. 그들은 다른 이들이 모르는 자산의 미래 가치에 대해 무언가를 알고 있습니다. 이것이 바로 정보 거래(informed trading)의 영역이며, 경제학자들은 사적 정보가 어떻게 공적 가격에 스며드는지 이해하기 위해 이를 모델링하려고 오랫동안 노력해 왔습니다. 이를 위한 표준 프레框架는 카일 모델(Kyle model)로 알려져 있는데, 이는 영리한 내부자, 무작위 노이즈 트레이더 무리, 그리고 가격을 설정하는 마켓 메이커가 모두 상호작용하는 이론적 설정입니다. 이 고전적인 시나리오에서 마켓 메이커는 총 주문량을 보고 자산의 진정한 가치를 추측하려 노력하며, 내부자는 이익을 극대화하기 위해 그 물량 속에 자신의 지식을 숨기려 합니다. 수십 년 동안 이러한 모델들은 자산의 미래 가치가 마치 길을 정처 없이 걷는 사람처럼 왼쪽이나 오른쪽으로 동일한 확률로 발걸음을 옮기는 무작위 행보(random walk)를 따른다고 가정해 왔습니다.

하지만 만약 그 걸음의 규칙이 다르다면 어떨까요? 만약 시장의 근저에 깔린 불확실성이 고전 물리학의 예측 가능한 법칙이 아니라 양자 역학의 기묘하고 직관에 반하는 법칙을 따른다면 어떨까요? 이것이 싱가포르 국립대학교의 퀀텀 테크놀로지 센터와 컴퓨터 학부 연구진이 답을 찾고자 했던 질문입니다. 그들은 확립된 카일 모델을 가져와 표준적인 무작위 행보를 연속 시간 양자 워크(continuous-time quantum walk)로 대체했습니다. 양자 워크에서 '보행자'는 단순히 방향을 선택하는 것이 아니라, 하나의 위치에 정착하기 전까지 여러 경로를 동시에 탐색하는 중첩 상태로 존재합니다. 연구진은 이러한 양자적 행동을 자산의 미래 가치에 적용함으로써, 불확지성의 본질 자체가 근본적으로 다른 시장을 시뮬레이션했습니다. 그들의 연구는 실제 시장이 현재 양자적이라고 주장하는 것이 아니라, 자산의 미래 가치가 양자 역학에 의해 지배된다면 시장이 어떻게 행동할지를 탐구하며, 가격 형성 방식과 내부자가 얻을 수 있는 이익의 규모에서 나타나는 놀라운 차이를 밝혀냈습니다.

연구진은 이 양자 시장의 디지털 시뮬레이션을 구축하는 것으로 시작했습니다. 그들은 특정 시간이 지난 후 양자 보행자의 위치에 의해 결정되는, 선 위의 어떤 지점도 될 수 있는 미래 가격을 가진 자산을 상상했습니다. 이 모델에서 내부자는 보행자가 정확히 어디에 도달할지 알고 있는 반면, 마켓 메이커는 내부자의 주문과 다른 트레이더들의 무작위 노이즈가 섞인 총 거래량만을 봅니다. 목표는 내부자의 이익 극대화 전략과 마켓 메이커의 공정 가격 설정 전략이 완벽하게 균형을 이루는 안정적인 상태, 즉 평형 상태를 찾는 것이었습니다. 자산 가치가 표준 무작위 행보를 따르는 고전적 버전의 모델에서 결과는 익숙했습니다. 내부자는 단순한 직선 전략을 채택했습니다. 즉, 미래 가격이 높으면 비례해서 매수하고, 낮으면 매도하는 방식입니다. 마켓 메이커의 가격 결정 규칙 또한 유사하게 부드러웠으며, 주문량에 따라 가격을 조정하는 완만한 곡선의 형태를 띠었습니다. 이 고전적인 세계에서 내부자의 이익은 시간과 함께 증가했지만, 시간의 흐름에 비해 느리게 증가하는 하위 선형(sub-linear) 양상을 보였습니다.

하지만 연구진이 시뮬레이션을 양자 워크로 전환했을 때, 결과는 훨씬 더 복잡하고 예상치 못한 방향으로 흘러갔습니다. 고전 세계의 매끄러운 직선 전략은 사라졌습니다. 대신, 내부자의 최적 전략은 뚜렷한 클러스터(군집)로 파편화되었습니다. 모든 가능한 미래 가격에 대해 조금씩 사고파는 대신, 내부자의 주문은 특정 영역에 모여 그룹을 형성했고 그 사이에는 큰 간극이 생겼습니다. 이에 상응하여, 부드러운 곡선이었던 마켓 메이커의 가격 결정 규칙은 날카롭고 갑작스러운 도약을 보였습니다. 이러한 도약은 내부자 전략의 간극과 완벽하게 일치했으며, 가격 지형을 경사로가 아닌 일련의 계단 형태로 만들었습니다. 이러한 비선형성은 자산의 미래 가치가 단순한 종 모양의 곡선이 아니라 복잡한 피크와 밸리의 패턴을 가진다는 양자적 특성의 직접적인 결과였습니다.

아마도 가장 놀라운 발견은 내부자의 수익성에 관한 것이었습니다. 고전 시뮬레이션에서 내부자의 이익은 하위 선형적으로 성장하여, 시간이 흐를수록 이익 축적 속도가 둔화되었습니다. 그러나 양자 시뮬레이션에서 내부자의 이익은 시간과 선형적으로 성장했습니다. 이는 매 단위 시간마다 내부자가 일정한, 꾸준한 양의 이익을 얻었음을 의미하며, 이는 고전적인 경우보다 훨씬 더 효율적인 축적을 보여줍니다. 연구진은 주문량에 대한 시장 가격의 민감도인 카일 람다(Kyle lambda) 또한 다르게 작동한다는 것을 발견했습니다. 고전적 환경에서 이 민감도는 시간이 지남에 따라 평탄해지는 곡선을 그리며 천천히 증가했습니다. 반면 양자 환경에서는 시간이 경과함에 따라 직접적으로 비례하여 훨씬 더 빠르게 증가했습니다. 이는 양자 역학에 의해 지배되는 시장에서는 거래의 가격 충격이 훨씬 더 두드러지며, 내부자가 훨씬 더 빠른 속도로 가치를 추출할 수 있음을 시사합니다.

연구는 이러한 결론에 도달하기 위해 수치적 방법에 크게 의존했습니다. 양자 평형을 설명하는 방정식이 단순한 공식으로 풀기에는 너무 복패잡했기 때문에, 연구진은 컴퓨터 알고리즘을 사용하여 내부자와 마켓 메이커의 전략을 반복적으로 조정하여 안정적인 해를 찾았습니다. 그들은 1단계부터 23단계까지의 시간 단계를 사용하여 시뮬레이션을 실행함으로써, 양자 모델의 결과를 동일한 기간 동안의 고전 모델과 직접 비교할 수 있도록 했습니다. 시뮬레이션 결과, 고전 시장은 상대적으로 안정적이고 예측 가능한 상태를 유지한 반면, 양자 시장은 내부자의 전략이 여러 개의 뚜렷한 그룹을 형성하고 마켓 메이커의 가격이 단계별로 급격히 변하는 높은 수준의 비선형성을 보였습니다. 연구진은 시간 단계가 증가함에 따라 양자 평형을 계산하는 것이 점점 더 어려워졌으며, 결과가 수렴하도록 하기 위해 시뮬레이션 매개변수를 세밀하게 조정해야 했다고 언급했습니다.

이러한 발견의 함의는 이론적이지만 심오합니다. 이는 불확실성의 근본적인 성격—즉, 그것이 고전적 무작위 행보의 확산적 확산을 따르는지, 아니면 양자 워크의 탄도적이고 파동적인 확산을 따르는지에 따라 시장 역학이 극적으로 변화한다는 것을 입증합니다. 양자 시나리오에서 내부자는 단순히 우위를 점하는 것에 그치지 않고, 시장의 구조 자체가 그들이 그 우위를 더 효율적으로 이용할 수 있도록 만들어 선형적 이익 성장과 급격한 불연속성을 보이는 가격 규칙을 이끌어냅니다. 연구진은 이 작업이 양자 환경 내에서의 금융 내부 정보를 이해하기 위한 첫걸음이라고 결론지었습니다. 실제 시장이 현재 양자 역학의 지배를 받는 것은 아니지만, 이 연구는 양자 개념을 경제 모델에 도입하는 것이 고전적 틀에서는 불가능한 결과를 낳을 수 있음을 강조합니다. 이는 물리 법칙이 언젠가 경제 법칙과 교차할 수 있는 새로운 문을 열어주며, 금융 모델링의 미래가 양자 이론과의 더 깊은 통합을 포함할 수 있음을 시사합니다.