Groundwater Forecasting Under Missing Data Uncertainty: A Multi-Horizon Assessment Using Hyperbolic Deep Learning

기술 요약: 쌍곡 기하학 기반 딥러닝을 이용한 결측 데이터 불확실성 하의 지하수 수위 예측

문제 정의
지하수 수위(GWL) 예측은 적응형 대수층 관리를 위해 매우 중요하지만, 관측 공백으로 인한 불완전한 모니터링 기록과 장기 예측 시 발생하는 예측 불확실성 누적이라는 두 가지 지속적인 기술적 과제에 직면해 있다. ARIMA와 같은 전통적인 시계열 접근 방식은 지하수 시스템 특유의 비선형적, 다중 스케일 상호작용을 포착하는 데 한계가 있다. LSTM 및 GRU와 같은 딥러닝(DL) 모델이 성능을 개선해 왔으나, 이들은 대개 유클리드 공간에서 작동하며, 이는 수문학적 역동성에 내재된 계층적이고 척도 불변(scale-free)적인 구조를 효율적으로 표현하지 못할 수 있다. 또한, 기존 연구들은 데이터 결측 보충(imputation)을 단순히 루틴한 전처리 단계로 취급하며, 재구성 전략이 시계열의 구조적 무결성이나 다운스트림 다중 시점(multi-horizon) 예측 안정성에 미치는 영향을 체계적으로 평가하지 않는다.

방법론
본 연구는 최적의 결측 데이터 재구성과 쌍곡 딥 표현 학습(hyperbolic deep representation learning)을 결 결합한 통합 프레임워크를 제안한다. 방법론은 다음 네 단계로 진행된다:

1. 데이터 재구성 및 결측 보충:
   터키 엘라지(Elazig) 주에 위치한 세 곳의 관측정에서 수집된 월간 지하수 수위 데이터(1978–2015)를 분석하였다. 네 가지 결측 보충 전략을 평가하였다: 계절적 보간법(Seasonal Interpolation), 칼만 미관측 성분 모델(Kalman Unobserved Components Model, KalmanUCM), k-최근접 이웃(kNN), 그리고 랜덤 포레스트(RF). 단순히 점별 오차(pointwise error)에만 의존하는 표준 방식과 달리, 다기준 평가 프레임워크를 사용하여 재구성 품질을 평가하였다. 이는 오차 크기(RMSE, MAE)뿐만 아니라 분산 보존, 자기상관 왜곡(lag 1 및 12), 스펙트럼 일관성, 추세 편차를 기준으로 평가되었다. KalmanUCM 방식은 수치적 정확도와 시계열의 고유한 시간적 구조(분산 및 자기상관)를 모두 보존하는 능력이 가장 우수하여 최적의 방법으로 선택되었다.

2. 쌍곡 딥러닝 아키텍처:
   핵심 기여는 푸앵카레 볼 매니폴드(음의 곡률을 가진 쌍곡 기하학의 모델) 내에서 정식화된 예측 모델이다. 유클리드 네트워크와 달리, 이 아키텍처는 쌍곡 연산(Möbius addition, exponential 및 logarithmic map)을 활용하여 시간적 의존성을 임베딩한다. 이 모델은 유클리드 공간의 평면적 표현보다 지하수 역동성에 내재된 계층적 및 다중 스케일 관계를 더 효율적으로 포착하도록 설계되었다. 네트워크 구조는 입력 벡터를 쌍곡 매니폴드로 임베딩하고, 쌍곡 선형 변환 및 점별 비선형성을 적용한 후, 예측을 위해 출력을 다시 유클리드 공간으로 투영하는 과정을 포함한다.

3. 벤치마킹 및 실험 설계:
   제안된 쌍곡 딥러닝(HDL) 모델을 두 가지 확립된 유클리드 아키텍처인 하이브리드 CNN-BiLSTM-GRU 및 TimesNet과 벤치마킹하였다. 모든 모델은 슬라이딩 윈도우 방식을 사용하여 다중 시점 예측($t+1$부터 $t+5$까지)을 수행하며 동일하게 재구성된 데이터셋으로 학습되었다. 하이퍼파라미터는 k-겹 교차 검증(k-fold cross-validation)을 통해 최적화되었다.

4. 통계적 검증:
   성능은 표준 수문학적 지표(RMSE, MAE, NSE, KGE, PBIAS)와 엄격한 통계 테스트를 통해 평가되었다. 모델 간 오차 차이의 통계적 유의성을 평가하기 위해 **윌콕슨 부호 순위 검정(Wilcoxon signed-rank test)**을 사용하였으며, 피어슨 상관계수와 잔차 진단을 통해 일치도와 편향을 평가하였다.

주요 결과

• 결측 보충 성능: KalmanUCM 방식은 다른 결측 보충 기법들을 일관되게 능가하며, 가장 낮은 RMSE와 MAE를 달sel하는 동시에 거의 완벽한 분산 보존(VarRatio $\approx$ 1.0)과 최소한의 자기상관 구조 왜곡을 달성하였다. 반면, kNN 보충은 음의 NSE 값을 나타내어 본 데이터셋에 부적합함을 보여주었다.
• 예측 정확도: HDL 모델은 세 곳의 관측정 모두에서 모든 예측 시점에 대해 일관되게 가장 높은 예측 정확도를 달성하였다.
  • $t+1$ 시점에서 HDL 모델은 Kuyulu에서 0.989, Yurtbaşı에서 0.988, Gözebaşı에서 0.972의 NSE 값을 달성하였다.
  • 결정적으로, HDL 모델은 확장된 시점($t+4$ 및 $t+5$)에서 탁월한 안정성을 입증하였다. 벤치마크 모델(CNN-BiLSTM-GRU 및 TimesNet)은 $t+5$에서 상당한 오차 누적과 성능 저하를 보인 반면, HDL 모델은 더 높은 NSE 값과 낮은 RMSE를 유지하였다. 예를 들어, Kuyulu 관측정의 $t+5$ 시점에서 HDL은 NSE 0.838을 달성하여 CNN-BiLSTM-GRU의 0.677보다 높은 성능을 보였다.
• 통계적 유의성: 윌콕슨 부호 순위 검정 결과, HDL 모델이 달성한 오차 감소는 벤치마크 모델들과 비교했을 때 통계적으로 유의미함이 확인되었다. 피어슨 상관계수는 모든 시점에서 높게 유지되었으며(흔히 >0.90), 잔차 분석은 제어된 편향과 분산을 나타냈다.

의의 및 주장
본 논문은 지하수 수위 예측에 쌍곡 딥러닝을 적용한 최초의 사례 중 하나라고 주장한다. 본 연구의 주요 의의는 **쌍곡 표현 학습(hyperbolic representation learning)**이 지하수 시스템의 특징인 계층적 시간 의존성과 지연 반응을 포착하는 구조적으로 효율적인 메커니즘을 제공한다는 점을 입증한 데 있다.

저자들은 향상된 성능이 단순히 파라미터 튜닝의 결과가 아니라, 복잡한 다중 스케일 시간 구조를 왜곡 없이 임베딩할 수 있게 해주는 쌍곡 공간의 기하학적 특성에서 기인한다고 주장한다. 구조적으로 일관된 데이터 재구성과 기하학을 고려한 딥러닝을 통합함으로써, 제안된 프레임워크는 데이터가 제한적이거나 관측이 불완전한 조건에서도 다단계 예측의 신뢰성을 높일 수 있는 강력한 경로를 제시한다. 본 연구는 이 접근 방식이 특히 장기 의존성과 결측 데이터가 중요한 제약 요인인 수문 모델링 분야에서 유망하고 개념적으로 혁신적인 방향임을 결론짓는다.