Groundwater Forecasting Under Missing Data Uncertainty: A Multi-Horizon Assessment Using Hyperbolic Deep Learning

技術要約：双曲型ディープラーニングを用いた欠損データ不確実性下における地下水位予測

問題提起
地下水位（GWL）の予測は、適応的な帯水層管理において極めて重要であるが、観測データの欠落による不完全なモニタリング記録と、長期予測における予測不確実性の蓄積という、2つの持続的な技術的課題に直面している。ARIMAなどの伝統的な時系列手法は、地下水システムに固有の非線形かつマルチスケールな相互作用を捉えることに失敗することが多い。LSTMやGRUといったディープラーニング（DL）モデルは性能を向上させてきたが、これらは通常、ユークリッド空間内で動作しており、水文学的ダイナミクスに内在する階層的かつスケールフリーな構造を効率的に表現できない可能性がある。さらに、既存の研究の多くは、データ補完を単なるルーチンとしての前処理として扱っており、再構築戦略が時系列の構造的完全性や、その後のマルチホライゾン予測の安定性にどのように影響するかを体系的に評価していない。

手法
本研究は、最適な欠損データ再構築と双曲型ディープ表現学習を組み合わせた統合フレームワークを提案する。手法は以下の4つの段階で構成される。

1. データ再構築と補完：
   トルコ、エラズィ県（Elazig Province）の3つの観測井から得られた月次GWLデータ（1978年〜2015年）を分析した。4つの補完戦略（季節補間、カルマン未観測成分モデル（KalmanUCM）、k近傍法（kNN）、ランダムフォレスト（RF））を評価した。点推定誤差のみに依存する標準的なアプローチとは異なり、多基準評価フレームを適用した。これにより、誤差の大きさ（RMSE, MAE）だけでなく、分散の保持、自己相関の歪み（ラグ1および12）、スペクトルの一貫性、およびトレンドの偏差に基づいて、再構築の質を評価した。結果として、数値的な正確性と時系列の固有の構造（分散および自己相関）の両方を保持する能力に優れたKalmanUCMが最適として選定された。

2. 双曲型ディープラーニング・アーキテクチャ：
   核心となる貢献は、ポアンカレ球多様体（負の曲率を持つ双曲幾何学のモデル）内で定式化された予測モデルである。ユークリッド型ネットワークとは異なり、このアーキテクチャは双曲演算（メビウス加算、指数写像および対数写像）を活用して、時間的依存関係を埋め込む。このモデルは、地下水ダイナミクスに内在する階層的かつマルチスケールな関係を、平坦な空間の表現よりも効率的に捉えるように設計されている。ネットワーク構造は、入力ベクトルを双曲多様体へ埋め込み、双曲線形変換と点ごとの非線形性を適用し、予測のために出力をユークリッド空間へと投影するプロセスを含む。

3. ベンチマークと実験設計：
   提案する双曲型ディープラーニング（HDL）モデルを、確立された2つのユークリッド型アーキテクチャ（ハイブリッドCNN-BiLSTM-GRUおよびTimesNet）と比較検証した。すべてのモデルは、スライディングウィンドウ方式を用いたマルチホライゾン予測（リードタイム $t+1$ から $t+5$）のために、同一の再構築データセットを用いて訓練された。ハイパーパラメータはk-分割交差検証を通じて最適化された。

4. 統計的検証：
   性能は、標準的な水文学的指標（RMSE, MAE, NSE, KGE, PBIAS）および厳格な統計テストによって評価された。モデル間の誤差の違いの統計的有意性を評価するためにウィルコクソンの符号付順位検定を用い、ピアソン相関係数と残差診断によって一致度とバイアスを評価した。

主な結果

• 補完性能： KalmanUCM法は他の補完手法を一貫して上回り、最小のRMSEとMAEを達成すると同時に、ほぼ完全な分散保持（VarRatio $\approx$ 1.0）と自己相関構造の歪みの最小化を実現した。対照的に、kNN補完は負のNSE値を示し、本データセットへの適合性が低いことが示された。
• 予測精度： HDLモデルは、3つの観測井すべて、およびすべての予測ホライゾンにおいて一貫して最高の予測精度を達成した。
  • $t+1$ において、HDLモデルはKuyuluで0.989、Yurtbaşıで0.988、Gözebaşıで0.972のNSE値を達成した。
  • 極めて重要な点として、HDLモデルは長期ホライゾン（$t+4$ および $t+5$）において優れた安定性を示した。ベンチマークモデル（CNN-BiLSTM-GRUおよびTimesNet）は、$t+5$ において顕著な誤差の蓄積と性能低下を示したが、HDLモデルはより高いNSE値と低いRMSEを維持した。例えば、Kuyulu井の $t+5$ において、HDLは0、CNN-BiLSTM-GRUの0.677に対し、0.838のNSEを達成した。
• 統計的有意性： ウィルコクソンの符号付順位検定により、HDLモデルによる誤差の減少がベンチマークと比較して統計的に有意であることが確認された。ピアソン相関係数は多くのホライゾンで高い値（しばしば0.90超）を維持し、残差分析は制御されたバイアスと分散を示した。

意義と主張
本論文は、地下水位予測に双曲型ディープラーニングを適用した最初期の事例の一つであると主張している。その主要な意義は、双曲型表現学習が、地下水システムの特徴である階層的な時間的依存関係や遅延応答を捉えるための、構造的に効率的なメカニズムを提供することを実証した点にある。

著者らは、性能の向上は単なるパラメータ調整によるものではなく、双曲空間の幾何学的特性に由来するものであると論じている。この空間は、複雑でマルチスケールな時間構造を、歪みの少ない形で埋め込むことを可能にする。構造的に一貫したデータ再構築と、幾何学を考慮したディープラーニングを統合することで、提案されたフレームワークは、データが限定的または不完全な観測条件下におけるマルチステップ予測の信頼性を向上させるための強固な経路を提供する。本研究は、長距離の依存関係や欠損データが重要な制約となる水文学的モデリングにおいて、このアプローチが有望かつ概念的に革新的な方向性を示すものであると結論付けている。