Lyapunov exponents of fractional-order systems: a definition from the diffusive representation, the ageing of memory, and what memory truncation measures
이 논문은 리아푸노프 지수를 확산 표현을 통해 자율 동역학계로 재정식화함으로써 분수 차수 시스템에 대한 리아푸노프 지수의 엄밀한 정의를 확립하며, 양의 지수는 견고한 반면 비양의 지수는 어트랙터를 왜곡하고 카오스를 억제하는 메모리 절단의 결과물인 데 반해, 시스템의 본질적인 동역학은 지수적 수축을 보이지 않는다는 점을 밝힌다.
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복잡계 연구에서, 날씨의 소용돌이치는 패턴부터 뉴런의 불규칙한 발화에 이르기까지, 과학자들은 혼돈의 특정한 징후를 찾고자 한다: 거의 동일한 두 시작점이 얼마나 빨리 멀어지는지를 측정하는 척도이다. 리아푸노프 지수(Lyapunov exponent)라고 알려진 이 척도는 예측 불가능성을 측정하는 온도계와 같다. 만약 이 숫자가 양수라면, 그 시스템은 혼돈 상태이며, 이는 시작 상태에 대한 아주 미세한 오차조차 결국 모든 예측을 무용지물로 만들 것임을 의미한다. 수십 년 동안 연구자들은 배터리 화학에서 생물학적 리듬에 이르기까지 모든 것을 이해하기 위해 이 개념을 분수 차수 시스템(fractional-order systems)이라는 특별한 모델 클래스에 적용해 왔다. 이 모델들은 기억을 가지고 있다는 점에서 독특하다. 즉, 시스템의 미래 상태는 단순히 현재의 위치에만 의존하는 것이 아니라, 그것이 어떻게 그곳에 도달했는지에 대한 전체 이력에 의존한다. 이 기억은 결코 완전히 사라지지 않는 멱법칙(power law)에 의해 가중치가 부여된, 과거 전체를 되돌아보는 미분에 의해 수학적으로 기술된다. 과학자들이 분수 시스템의 리아푸노프 지수를 계산하며 다양한 분야를 이해하려 노력해 온 지 20년이 되었지만, 정작 이 숫자들이 정확히 무엇을 측정하고 있는지에 대한 근본적인 질문은 던져지지 않았다.
스테파노 파지노(Stefano Fazzino)라는 연구자는 이제 그 질문에 답하며, 이러한 지수를 계산하는 표준적인 방식이 기억을 가진 시스템에 대해서는 근본적으로 결함이 있음을 밝혀냈다. 문제의 핵심은 기억의 본질에 있다. 일반적인 시스템에서 임의의 순간에 상태는 공간상의 한 점이다. 그러나 분수 시스템에서 상태는 여정의 전체 이력이다. 이 때문에 시스템은 단순히 반복하거나 안착하는 기계처럼 작동하는 것이 아니라, '노화'한다. 시작점에 대한 기억은 결코 진정으로 사라지지 않으며, 시스템 내부 역사의 가장 느린 부분들에 축적되어 시간이 흐를수록 더 강해진다. 이는 시스템이 결코 안정적이거나 반복되는 상태에 도상할 수 없음을 의미한다. 혼돈을 정의하는 데 사용되는 표준 수학 도구들은 이러한 노화하는 시스템에는 존재하지 않는 '정상 상태(steady state)'를 가정한다. 결과적으로, 컴퓨터 코드가 '수축률'로서 보고하는 흔한 음수 값들은 시스템의 실제 특성이 아니다. 그것들은 시스템이 장기적으로 어떻게 행동하는지가 아니라, 인위적으로 짧게 설정된 특정 시간 창(window) 동안 시스템이 자신의 기억을 얼마나 빨리 잊는지를 측정하는 계산 방법의 부산물일 뿐이다.
이를 해결하기 위해, 파지노는 문제를 완전히 새로 썼다. 그는 분수 시스템을 일반적인 시스템을 위해 설계된 틀에 억지로 끼워 맞추는 대신, 각기 다른 속도로 이완되는 단순한 1차 필터들의 거대한 연속 집합이라는 다른 언어로 번역했다. 시스템을 이러한 기억 모드들의 무한한 집합으로 바라봄으로써, 그는 이전에 도달할 수 없었던 엄밀한 수학적 정리를 적용할 수 있었다. 이 새로운 관점은 명확한 구조를 드러냈다. 혼돈을 나타내는 양의 지수는 실재하며 잘 정의되어 있고, 계산 방식에 관계없이 변하지 않는다. 그러나 나머지 스펙트럼은 다르다. 지수적인 수축(exponential contraction)은 존재하지 않으며, 대신 시스템의 기억 모드들이 너무 느리게 쇠퇴하여 0 근처에 머무는 연속적인 띠를 형성한다. 기존 소프트웨어에 나타나는 음의 지수들은 시스템이 안정화되고 있다는 신호가 아니라, 컴퓨터가 바라보고 있는 특정 시간 창 동안 관측 가능한 부분이 줄어드는 속도일 뿐이다.
이 연구는 또한 이러한 시스템을 시뮬레이션할 때 발생하는 치명적인 위험을 폭로했다. 계산 속도를 높이기 위해 연구자들은 종종 특정 지점 너머의 이력을 끊어버리는 '단기 기억 원리(short-memory principle)'를 사용한다. 파지노는 이 지름길이 수학적 미분에 적용될 경우 혼돈스러운 행동과 시스템의 어트랙터(attractor) 형상을 그대로 유지한다는 점에서는 완벽하게 작동한다는 것을 발견했다. 그러나 만약 동일한 지름길이 적분 형태의 방정식에 적용된다면—이는 많은 널리 쓰이는 코드에서 흔히 행해지는 관행이다—시스템을 근본적으로 망가뜨린다. 이 경우, 기억의 차단은 어트랙터를 변형시켜 혼돈의 척도를 4분의 1 또는 절반까지 줄이거나, 심지어 어떤 경우에는 혼돈스러운 행동을 완전히 파괴하여 시스템을 평온한 평형 상태로 가라-앉히거나 무한대로 날아가 버리게 만든다. 차이는 수학적 방정식의 어느 부분을 자르느냐에 달려 있다. 한 방법은 시스템의 영혼을 보존하지만, 다른 방법은 그 본질 자체를 바꾼다.
이 연구의 함의는 모델링을 수행하는 모든 이들에게 즉각적이고 실용적이다. 만약 연구자가 분수 차수 모델이 혼돈 상태인지 알고 싶다면, 계산이 시스템의 전체 이력을 존중하거나 물리적 특성을 보존하는 특정 미분 기반 절단을 사용하는지 확인해야 한다. 현재 많은 코드에서 생성되는 음수 값들을 시스템의 진정한 안정성으로 해석해서는 안 된다. 그것들은 단지 여전히 노화 중인 시스템의 스냅샷일 뿐이다. 나아가, 이 연구는 분수 시스템이 초기 조건에 대한 기억을 결코 잊지 않는다는 점을 확인해 준다. 시작점에 대한 기억은 모델의 전 생애 동안 시스템의 가장 느린 모드들 속에서 계속 성장한다. 이는 약간 다른 상태에서 시작한 두 표본이 영원히 구별 가능한 상태로 남을 것임을 의미하며, 이는 과도 현상(transient effects)이 결국 사라진다는 표준적인 가정에 도전하는 사실이다. 이 작업은 기억이 풍부한 이러한 시스템에서의 혼돈에 대한 새로운 엄밀한 정의를 제공함으로써, 예측 불가능성이라는 진정한 신호와 수치적 근사라는 노이즈를 분리하고, 기억을 가진 복잡한 세상을 이해하기 위해 이러한 모델에 의존하는 과학자들에게 명확한 길을 제시한다.
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