Lyapunov exponents of fractional-order systems: a definition from the diffusive representation, the ageing of memory, and what memory truncation measures

技術要約：分数階システムのリアプノフ指数

問題提起
カプート（Caputo）微分を用いる分数階システムにおいて、カオスを検出するためにリアプノフ指数が日常的に計算されているが、その数学的定義は依然として未定義（ill-posed）な状態にある。標準的な定義は、有限次元空間上のフローであり、不変測度と、コサイクルを形成する線形化された進化を持つ動的システムを必要とする、オゼレディツ（Oseledets）の乗法的エルゴード理論に依存している。しかし、分数階システムは以下の理由により、これらの条件に違反している：

1. 非局所性： 状態 $t$ における値は、点 $\mathbb{R}^n$ だけでなく、全履歴に依存する。
2. 時間並進不変性の欠如： システムは「加齢（aging）」する。すなわち、解を時間に沿ってシフトさせると、積分の下限が変化し、結果として異なる方程式となる。
3. コサイクル特性の崩壊： 摂動の線形化された進化は、摂動の履歴に依存するため、標準的なコサイクルを形成することができない。

その結果、既存の数値コード（QR再正規化を用いた予測子・修正子スキームなど）が計算している量は、その物理的意味が不明確である。ゼロ指数が存在しないことや、推定値が積分ホライゾンに依存するといった経験的な観察結果は、これまで説明されてこなかった。

手法
本論文は、カプート演算子の**拡散表現（diffusive representation）**を利用することで、これらの問題を解決する。

1. 拡張システム定式化： カプート微分のべき乗カーネルを、正の測量のラプラス変換として表現する。これにより、分数階システムを、ヒルベルト空間 $X = \mathbb{R}^n \times H$ 上の自律的な半線形進化方程式として書き換えることができる。ここで $H$ は、緩和率 $\omega$ で減衰する連続的なメモリモード $z(\omega, t)$ の空間である。
2. コサイクルの構築： この無限次元ヒルベルト空間上で、拡張システムの線形化された進化はコサイクル特性を満たすため、乗法的エルゴード理論（特に、漸近的にコンパクトなコサイクルに関する Ruelle、Mañé、Thieullen によるもの）の適用が可能となる。
3. 数値実装： 離散化された拡張システムに対してベネチン（Benettin）アルゴリズムを実装する。メモリの連続体は、指数和の求積法（$\omega=0$ での特異点に対しては Gauss-Jacobi、より高いレートに対しては Gauss-Legendre）を用いて近似される。アルゴリズムは、部分空間 $\{\delta a = 0\}$（初期の「年齢」のシフトを除いた、不変集合に接する摂動）における接ベクトルを追跡する。
4. 検証： ミッターグ・レフラー（Mittag-Leffler）関数を含む線形システムの厳密解に対して検証を行い、さらにカオス的な分数階 Chen および Rössler システムに適用する。

主要な貢献および理論的結果

1. 指数の定義： 著者は、分数階システムのリアプノフ指数を、定常解の不変集合に制限された自律拡張システムの指数として定義する。カプートの軌跡は、この定常力学に対する代数的に減衰する摂動（$O(t^{-\nu})$）として扱われる。
2. システムの加齢（Aging）： 可観測な軌跡 $x(t)$ が有界であっても、メモリ状態 $z(\cdot, t)$ は $t^{(1-\nu)/2}$ として無制限に増大することが証明されている。システムは初期条件を忘れることはなく、「年齢」はメモリのノルムにおけるべき乗則のドリフトとして現れる。
3. スペクトルの構造：
   • 正の指数： 正の指数は、明確に定義され、離散的であり、メモリの切り捨てに依存しない。これらはシステムの真のカオス性を特徴付ける。
   • 非正のスペクトル： 残りのスペクトルは、**ゼロにおける本質的バンド（essential band at zero）**である。$\nu < 1$ の場合、分数階システムにおいて指数関数的な収縮は存在しない。摂動は代数的に減衰する（$t^{-\nu}$）。
   • ゼロ指数： 拡張システムの時間並進方向に相当するゼロ指数が存在するが、これは本質的バンドの中に埋め込まれており、数値計算において値によって分離することはできない。
4. 切り捨て（Truncation）の分析： 本論文では、2種類のメモリ切り捨てを区別している：
   • 微分の切り捨て（Grünwald-Letnikov）： 微分に対して短メモリ原理を適用することは、和縮的なカーネルを切ることになる。これは、最大指数とアトラクタの幾何学的構造を本質的に変えない。
   • 積分の切り捨て（Volterra/固定メモリ）： 積分の形式を切り捨てる、あるいは有限モードの実現において遅いモードを除去することは、非和的なカーネルを切ることになる。これは、アトラクタを根本的に変容させ、最大指数を25〜50%減少させ、潜在的にカオスを完全に抑制する。有限モードの実現においては、$-1/\tau_m$（メモリ窓の逆数）に等しい偽の負の指数が導入される。

数値結果

• 分数階 Chen および Rössler システム： 最大リアプノフ指数は再現可能であり、メモリバンドの解像度（$\omega_{min}$）に対して鈍感である。$\nu=0.9$ の Chen システムにおいて、最大指数は 2.25 付近で安定する。
• 消失する負の指数： すべての非正の指数は、メモリ解像度が増すにつれてゼロに収束する。有限時間計算で観察される残留した負の値は、離散化によるアーティファクトであり、代数的に減衰するものであって、指数関数的に減衰するものではない。
• 既存のコードとの比較： メモリをリセットするコード（例：QR再正規化による）は、再正規化間隔における収縮率、すなわち「メモリ・リセット指数」を測定しており、真のシステム指数ではない。これらの値は、間隔が大きくなるにつれてゼロへとドリフトする。
• 切り捨ての影響： 数値実験により、固定メモリの Volterra コードや短い窓（$\tau_m \approx 100$）を持つ有限モードの実現は、意図したカオス的アトラクタを破壊する一方で、微分に対して短メモリ原理を適用することは、アトラクタを保持することが確認された。

意義および主張
本論文は、数値的な切り捨てに依存しない、分数階システムのための初の厳密なリアプノフ指数の定義を提供すると主張している。以下を明確にしている：

• 分数階システムの「カオス」は、その正の指数によって定義され、それらは堅牢である。
• 標準的なコードで報告される負の指数は、システムの特性ではなく、メモリの扱い（再正規化間隔またはメモリ窓）によるアーティファクトである。
• システムの「加齢」は根本的な特徴である。初期条件のメモリは無限に増大するため、システムは決して真に定常ではない。
• 実務上の示唆は重要である。積分の形式を切り捨てる（固定メモリコードで一般的）ことで得られる結果は、本来のモデルとは異なる、よりカオス性の低いシステムを記述している。信頼できる結果を得るには、微分に対して短メモリ原理を使用するか、十分に解像されたメモリバンドを持つ拡張システムのアプローチを採用する必要がある。

著者は、カオス的な分数階システムにおけるコンパクト不変集合の存在は仮説（ただし数値的には支持されている）であることを述べている。また、有限時間推定の収束速度は、$t^{-\nu}$ に比例するメモリ項を含むと推測されるが、$\nu > 0.5$ の場合にこれを数値的に分離することは困難であるとしている。