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Lyapunov exponents of fractional-order systems: a definition from the diffusive representation, the ageing of memory, and what memory truncation measures

本文通过将分数阶系统通过扩散表示重构为自治动力系统，为分数阶系统的李雅普诺夫指数建立了一个严格的定义，并揭示了虽然正指数具有鲁棒性，但非正指数是记忆截断产生的伪影，会扭曲吸引子并抑制混沌，而系统的内在动力学并不表现出指数收缩。

原作者： Stefano Fazzino

发布于 2026-10-16

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原作者： Stefano Fazzino

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在复杂系统的研究中，从变幻莫测的天气模式到神经元的异常放电，科学家们都在寻找一种特定的混沌特征：一种衡量两个近乎相同的起始点如何相互偏离的度量。这种被称为李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）的度量，就像是衡量不可预测性的温度计。如果该数值为正，则意味着系统是混沌的，也就是说，即使是对初始状态认知的极微小误差，最终也会导致任何预测变得毫无意义。几十年来，研究人员一直将这一概念应用于一类特殊的模型，即分数阶系统（fractional-order systems）。这些模型的独特之处在于它们拥有“记忆”；系统的未来状态不仅取决于其当前的位置，还取决于它如何到达那里的整个历史过程。这种记忆在数学上由一个导数来描述，该导数会回顾整个过去，并由一个永不完全消逝的幂律进行加权。尽管科学家们在二十年来一直在计算这些分数阶系统的指数，以理解从电池化学到生物节律的一切事物，但一个基本问题却一直未被追问：这些数字究竟在衡量什么？

研究员斯特凡诺·法齐诺（Stefone Fazzino）现在回答了这个问题，他揭示了计算这些指数的标准方法对于具有记忆特性的系统而言，在根本上是存在缺陷的。问题的核心在于记忆的本质。在一个标准系统中，任何时刻的状态都是空间中的一个点。而在分数阶系统中，状态是整个旅程的历史。因此，系统并不像一台仅仅重复或趋于循环的机器；相反，它在“老化”。起始点的记忆永远不会真正消失；它会在系统内部历史中最缓慢的部分累积，并随着时间的推移而增强。这意味着系统永远不会处于真正的稳态或重复状态。用于定义混沌的标准数学工具假设存在一个并不存在的稳态。因此，计算机代码中经常报告为“收缩率”的负数，并不是系统的真实属性。它们是计算方法的产物，衡量的是系统在特定的人为设定的短时间内遗忘其历史的速度，而非其长期行为。

为了解决这个问题，法齐诺彻底重写了这一问题。他没有试图将分数阶系统强行塞入为普通系统设计的框架中，而是将其转化为另一种语言：一个庞大的、连续的一阶滤波器集合，每个滤波器都以自己的速度进行弛豫。通过将系统视为一组无限的此类记忆模式，他得以应用一个此前难以触及的严谨数学定理。这一新视角揭示了一个清晰的结构：指示混沌的正指数是真实的、定义明确的，且不随计算方式的变化而改变。然而，其余的谱系则完全不同。不存在向零的指数级收缩；相反，系统的记忆模式衰减得如此缓慢，以至于它们在零附近形成了一个连续的带状区域。现有软件中出现的负指数并非系统趋于稳定的迹象；它们仅仅是观测部分在计算机观察的特定时间窗口内缩减的速率。

这项研究还揭示了模拟这些系统时的一个关键危险。为了加快计算速度，研究人员经常使用“短记忆原则”，即切断超出一定范围的历史。法齐ino发现，如果将这种快捷方式应用于数学导数，它是完美的，能够保持混沌行为和系统吸引子的形状不变。然而，如果将同样的快捷方式应用于积分形式的方程——这是许多广泛使用的代码中的常见做法——它会从根本上破坏系统。在这种情况下，记忆截断就像一只沉重的手，会使吸引子发生形变，减少混沌的度量，甚至在某些情况下完全摧毁混沌行为，导致系统陷入平静的平衡状态或飞向无穷大。其中的区别在于你切割的是数学方程的哪一部分：一种方法保留了系统的灵魂，而另一种则改变了它的本质。

对于任何建模这些系统的研究者来说，其影响是直接且具有实践意义的。如果研究人员想要知道一个分数阶模型是否具有混沌性，他们必须确保其计算尊重系统的完整历史，或者使用那种能保持物理特性的基于导数的截断法。目前许多代码产生的负数不应被解释为系统的真实稳定性；它们仅仅是仍在“老化”的系统的快照。此外，这项研究证实，分数阶系统永远不会真正忘记其初始条件。它起始位置的记忆会在系统最缓慢的模式中持续增长，贯穿模型的整个生命周期。这意味着，两个从略微不同状态开始的样本将永远保持可区分性，这一事实挑战了“瞬态效应最终会消失”的标准假设。这项工作为具有丰富记忆的系统提供了一个新的、严谨的混沌定义，将真正的不可预测性信号与数值近似的噪声分离开来，并为那些依赖这些模型来理解这个充满记忆的复杂世界的科学家们提供了一条清晰的前行之路。

技术摘要：分数阶系统的李雅普诺夫指数

问题陈述
在计算分数阶系统（特别是使用 Caputo 导数的系统）的李雅普诺夫指数以检测混沌时，其数学定义一直处于不适定状态。标准定义依赖于 Oseledets 多重乘法遍历定理，该定理要求动力系统是有限维空间上的流，且具有不变测度和构成拟环（cocycle）的线性化演化。分数阶系统违反了这些条件，因为：

非局部性： 状态 $t$ 时刻取决于整个历史，而非仅仅取决于 $\mathbb{R}^n$ 中的一个点。
缺乏时间平移不变性： 系统在“老化”；平移解的时间会改变积分的下限，从而导致不同的方程。
拟环性质失效： 微扰的线性化演化取决于历史，这阻碍了标准拟环的形成。

因此，现有的数值代码（例如使用预测器-校正器方案结合 QR 重正化方案的代码）所计算的量其物理意义尚不明确。经验观察到的现象，如自治流中零指数的缺失以及估计值对积分时界的依赖性，至今仍未得到解释。

方法论
本文通过利用 Caputo 算子的**扩散表示（diffusive representation）**解决了这些问题。

增广系统构建： Caputo 导数的幂律核被表示为正测度的拉普拉斯变换。这允许将分数阶系统改写为一个在希尔伯特空间 $X = \mathbb{R}^n \times H$ 上的自治半线性演化方程，其中 $H$ 是由在速率 $\omega$ 下弛豫的连续记忆模式 $z(\omega, t)$ 组成的空间。
拟环构建： 在这个无限维希尔伯特空间上，增广系统的线性化演化满足拟环性质，从而可以应用多重乘法遍历定理（特别是针对渐近紧拟环的 Ruelle、Mañé 和 Thieullen 版本）。
数值实现： 在离散化的增广系统上实现了 Benettin 算法。通过求和指数法（针对 $\omega=0$ 处的奇异性使用 Gauss-Jacobi 法，针对高速率使用 Gauss-Legendre 法）对记忆连续体进行近似。该算法追踪位于子空间 $\{\delta a = 0\}$ 中的切向量（即平行于不变集而非初始年龄偏移的微扰）。
验证： 通过涉及 Mittag-Leffler 函数的线性系统精确解对该方法进行了验证，并将其应用于混沌分数阶 Chen 系统和 Rössler 系统。

核心贡献与理论结果

指数的定义： 作者将分数阶系统的李雅普诺夫指数定义为增广系统在平稳解不变集上的指数。Caputo 轨迹被视为该平稳动力学的代数衰减微扰（ $O(t^{-\nu})$ ）。
系统老化： 文中证明，即使可观测轨迹 $x(t)$ 是有界的，记忆状态 $z(\cdot, t)$ 也会随 $t^{(1-\nu)/2}$ 无限增长。系统永远不会忘记其初始条件；系统的“年龄”体现为记忆范数的幂律漂移。
谱结构：
- 正指数： 正指数是定义良好的、离散的，且与记忆截断无关。它们表征了系统的真实混沌本质。
- 非正谱： 其余谱由一个**零处的本质带（essential band at zero）**组成。对于任何 $\nu < 1$ 的分数阶系统，都不存在指数收缩；微扰呈代数衰减（ $t^{-\nu}$ ）。
- 零指数： 存在一个零指数，对应于增广系统的时移方向，但它嵌入在本质带中，在数值计算中无法通过数值分离。
截断分析： 本文区分了两种类型的记忆截断：
- 截断导数（Grünwald-Letnikov）： 对导数应用短记忆原理会截断一个可求和的核。这使得最大指数和吸引子几何结构基本保持不变。
- 截断积分（Volterra/固定记忆）： 截断积分形式或移除有限模态实现中的慢模式会截断一个不可求和的核。这从根本上改变了系统，使吸引子变形，使最大指数降低 25–50%，并可能完全抑制混沌。在有限模态实现中，这会引入等于 $-1/\tau_m$ （记忆窗口的倒数）的伪负指数。

数值结果

分数阶 Chen 和 Rössler 系统： 最大李雅普诺夫指数是可重现的，且对记忆带的分辨率（ $\omega_{min}$ ）不敏感。对于 $\nu=0.9$ 的 Chen 系统，最大指数稳定在 2.25 左右。
消失的负指数： 所有非正指数都随着记忆分辨率的增加而趋于零。在有限时间计算中观察到的残余负值是离散化产生的伪影，并呈代数衰减而非指数衰减。
与现有代码的比较： 通过重置记忆（例如通过 QR 重正化）的代码测量的是“记忆重置指数”，即在重正化间隔内的可观测量的收缩率，而非真实的系统指数。这些值会随着间隔的增加而向零漂移。
截断的影响： 数值实验证实，使用固定记忆的 Volterra 代码和具有短窗口（ $\tau_m \approx 100$ ）的有限模态实现会破坏混沌吸引子，而对导数应用短记忆原理则能保留吸引子。

意义与主张
本文声称提供了第一个独立于数值截断的分数阶系统李雅普诺夫指数的严谨定义。它阐明了：

分数阶系统的“混沌”由其正指数定义，这些指数是稳健的。
标准代码报告的负指数并非系统的属性，而是记忆处理方式（无论是重正化间隔还是记忆窗口）产生的伪影。
系统的“老化”是一个基本特征：初始条件的记忆会无限增长，这意味着系统从未真正达到平稳。
对该领域的实际意义重大：通过截断积分形式（常见于固定记忆代码）获得的结果描述的是一个不同且混沌程度较低的系统，而非预期的模型。为了获得可靠结果，必须要么对导数使用短记忆原理，要么采用增广系统方法并配备足够解析的记忆带。

作者指出，尽管有数值支持，但混沌分数阶系统是否存在紧致不变集仍是一个假设。此外，文中推测有限时间估计的收敛速率包含一个与 $t^{-\nu}$ 成比例的记忆项，这在 $\nu > 0.5$ 时在数值上很难分离。

技术摘要：分数阶系统的李雅普诺夫指数

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