Equivariant Elliptic Cohomology and Mapping Stacks

Technische Samenvatting: Equivariante Elliptische Cohomologie en Mapping Stacks

Probleemstelling
Het artikel behandelt de constructie van equivariante elliptische cohomologie voor complexe algebraïsche variëteiten uitgerust met de actie van een algebraïsche groep $G$. Terwijl de rationale equivariante elliptische cohomologie eerder door Grojnowski [26] werd geconstrueerd als coherente schoven over de elliptische curve (of een product daarvan), zoeken de auteurs naar een nieuwe geometrische interpretatie geworteld in de afgeleide algebraïsche meetkunde. Specifiek beogen zij deze cohomologietheorie te beschrijven in termen van functies op een specifieke substack van de mapping stack $\text{Map}(E, [X/G])$, waarbij $E$ een elliptische curve is en $[X/G]$ de quotient stack is. De uitdaging ligt in het feit dat de volledige mapping stack over het algemeen te groot is vanwege topologisch niet-triviale afbeeldingen; de theorie moet de "quasi-constante" afbeeldingen isoleren die bijdragen aan de cohomologie.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van de taal van $\infty$-categorieën en afgeleide algebraïsche meetkunde, werkend over een vaste grondveld $k$ van karakter nul. Hun aanpak verloopt via verschillende cruciale technische stappen:

1. Quasi-constante Afbeeldingen: Zij introduceren de afgeleide stack van quasi-constante afbeeldingen, aangeduid als $\text{Map}_0(E, [X/G])$. Deze wordt gedefinieerd als de vereniging van verbonden componenten van de mapping stack die de triviale afbeeldingen bevatten (de afbeeldingen die factoriseren door $\text{Spec}(k)$). Cruciaal is dat zij vaststellen dat deze stack een vorm van Zariski-codescent op de doelvariëteit $X$ vervult (Theorema 3.14), een eigenschap die faalt voor de volledige mapping stack.
2. Elliptische Hochschild Homologie: Gebruikmakend van de structuurmorfisme $p: \text{Map}_0(E, [X/T]) \to E_T$ (waarbij $E_T$ de coarse moduli ruimte is van graad 0 $T$-bundels op $E$), definiëren zij de $T$-equivariante elliptische Hochschild homologie van $X$ als de pushforward van de structuur-schove:
   $$\text{HHE}([X/T]) := p_* \mathcal{O}_{\text{Map}_0(E, [X/T])} \in \text{QCoh}(E_T)$$
3. Lokale Structuur en Lokalisatie: De auteurs analyseren het lokale gedrag van deze theorie. Met behulp van Luna's slice theorem en de lokalisatie van quasi-constante afbeeldingen, bewijzen zij dat de stack van quasi-constante afbeeldingen nabij een punt $e \in E_T$ equivalent is aan de stack van afbeeldingen van de afgeleide vaste locus $X^{T(e)}$ (Theorema 5.2). Bijgevolg is de voltooiing van $\text{HHE}([X/T])$ in een punt $e$ equivalent aan de voltooiing van de gewone Hochschild homologie van de vaste locus (Theorema 5.13).
4. Periodieke Cyclische Variant en Tate-constructie: Omdat zij inzien dat elliptische Hochschild homologie niet homotopie-invariant is, introduceren de auteurs een periodieke cyclische versie, $\text{HPE}([X/T])$. Dit wordt geconstrueerd door over te gaan naar de Tate-fixed points van de natuurlijke $E$-actie op de mapping stack. In karakter nul is de formele cohomologie van $E$ equivalent aan die van $S^1$, waardoor de $E$-actie kan worden geherinterpreteerd als een verborgen $S^1$-actie. De Tate-constructie periodiseert de theorie effectief, waardoor de $\mathbb{Z}$-graduering instort tot een $\mathbb{Z}_2$-graduering.
5. Adelische Descent: Om een globale vergelijking tussen hun constructie en de theorie van Grojnowski te vestigen, maken de auteurs gebruik van adelische descent-theorie (volgens Parshin, Beilinson en Groechenig). Zij tonen aan dat de equivalentie van de twee theorieën kan worden vastgesteld door de equivalentie te verifiëren op de adelische decompositie van de schoven, wat het controleren van compatibiliteit bij gesloten punten (via lokalisatie) en generieke punten (via de HKR-stelling) omvat.

Belangrijkste Resultaten

• Theorema A (Codescent): De stack van quasi-constante afbeeldingen $\text{Map}_0(E, [X/T])$ vervult $T$-equivariante Zariski-codescent. Dit maakt de berekening van elliptische Hochschild homologie mogelijk via lokale data op affiene covers.
• Theorema D (Torische Casus): Voor een gladde torische variëteit $X$ met een maximale torus-actie over $\mathbb{C}$, is de elliptische Hochschild homologie $\text{HHE}([X/T])$ isomorf aan het graad 0 deel van de gecomplexeerde equivariante elliptische cohomologie van de analytificatie $X^{\text{an}}$.
• Theorema G (Vergelijking voor Tori): Voor een gladde quasi-projectieve variëteit $X$ met een torus-actie over $\mathbb{C}$, is de elliptische periodieke cyclische homologie $\text{HPE}([X/T])$ isomorf aan de gecomplexeerde equivariante elliptische cohomologie $\text{Ell}_T^{\text{an}}(X^{\text{an}})$ van Grojnowski als $\mathbb{Z}_2$-periodieke perfecte complexen op $E$.
• Theorema H (Vergelijking voor Reductieve Groepen): Door de resultaten uit te breiden naar een algemene reductieve groep $G$, definiëren de auteurs $\text{HPE}([X/G])$ via de Weyl-groep invarianten van de torus-casus en bewijzen zij dat deze isomorf is aan $\text{Ell}_G^{\text{an}}(X^{\text{an}})$.
• Intrinsieke Definitie: Het artikel stelt een intrinsieke definitie voor van $G$-equivante elliptische Hochschild homologie voor reductieve groepen, gebaseerd op semi-stabiele quasi-constante afbeeldingen naar $[X/G]$, onafhankelijk van de keuze van een maximale torus.

Betekenis en Claims
De auteurs beweren dat hun werk een geometrische verklaring biedt voor de constructie van Grojnowski door middel van de deformatie-theorie van quasi-constante afbeeldingen van elliptische curves. Door equivariante elliptische cohomologie te kaderen als een variant van Hochschild homologie (specifiek, functies op een afgeleide loopruimte-analoog), overbruggen zij de kloof tussen de algebraïsche meetkunde van mapping stacks en de topologische oorsprong van elliptische cohomologie.

Het artikel benadrukt dat hoewel de constructie geldig is over elk veld van karakter nul, de vergelijking met de theorie van Grojnowski (die steunt op complexe analytische meetkunde) het instellen van $k = \mathbb{C}$ en het passeren naar Tate-fixed points vereist. De auteurs merken op dat hun definitie van elliptische Hochschild homologie compatibel is met de eerdere definitie door Moulinos-Robalo-Toën [48] in de niet-equivariante setting, wat hun terminologie rechtvaardigt.

Het werk wordt gepresenteerd als een stap naar een breder project dat ernaar streeft geometrische representanten voor elliptische cocycli te bieden. De auteurs stellen bescheiden dat, hoewel zij de vergelijking met de theorie van Grojnowski hebben vastgesteld en een intrinsieke definitie voor reductieve groepen voorstellen, een volledig bewijs van de equivalentie tussen de intrinsieke en de Weyl-invariante definities voor algemene reductieve groepen is voorbehouden aan toekomstig werk. Zij wijzen er ook op dat, in tegenstelling tot de gewone Hochschild homologie, hun theorie geen invariant is van de afgeleide categorie van perfecte complexen $\text{Perf}([X/G])$, wat suggereert dat het hogere categorische informatie codeert.