Equivariant Elliptic Cohomology and Mapping Stacks

技術要約：等変楕円コホモロジーと写像スタック

問題設定
本論文は、代数群 $G$ の作用を持つ複素代数多様体に対する等変楕円コホモロジーの構成に取り組んでいる。有理化された等変楕円コホモロジーは、以前に Grojnowski [26] によって、楕円曲線（またはその積）上の連接層として構成されているが、著者らは、派生代数幾何学に根ざした新しい幾何学的解釈を求めている。具体的には、このコホモロジー理論を、楕円曲線 $E$ と商スタック $[X/G]$ の間の写像スタック $\text{Map}(E, [X/G])$ の特定の部分スタック上の関数として記述することを目指している。課題は、完全な写像スタックは、位相的に非自明な写像のために一般に大きすぎるという点にある。したがって、理論はコホモロジーに寄与する「準定数（quasi-constant）」な写像を孤立させなければならない。

手法
著者らは $\infty$-圏および派生代数幾何学の言語を用い、固定された標数 0 の基礎体 $k$ 上で作業を進める。彼らのアプローチは、以下の主要な技術的ステップを通じて進行する：

1. 準定数写像： 彼らは、準定数写像の派生スタック $\text{Map}_0(E, [X/G])$ を導入する。これは、写像スタックの中で自明な写像（$\text{Spec}(k)$ を経由する写像）を含む連結成分の和集合として定義される。決定的なことに、彼らはこのスタックがターゲット $X$ 上でザリスキー・コードセント（Zariski codescent）の形式を満たすことを確立している（定理 3.14）。この性質は、完全な写像スタックでは成立しない。
2. 楕円ホッチホルト・ホモロジー： 構造射 $p: \text{Map}_0(E, [X/T]) \to E_T$ （ここで $E_T$ は $E$ 上の次数 0 の $T$ バンドルの粗いモジュライ空間である）を用いて、$X$ の $T$-等変楕円ホッチホルト・ホモロジー を定義する：
   $$\text{HHE}([X/T]) := p_* \mathcal{O}_{\text{Map}_0(E, [X/T])} \in \text{QCoh}(E_T)$$
3. 局所構造と局在化： 著者らはこの理論の局所的な挙動を分析する。ルナの切断定理（Luna's slice theorem）と準定数写像の局在化を用いることで、点 $e \in E_T$ の近傍において、準定数写像のスタックが派生固定点集合 $X^{T(e)}$ からの写像のスタックと等価であることを証明する（定理 5.2）。その結果、$\text{HHE}([X/T])$ の点 $e$ における完備化は、固定点集合の通常のホッチホルト・ホモロジーの完備化と等価になる（定理 5.13）。
4. 周期的な循環版とテイト構成： 楕円ホッチホルト・ホモロジーはホモトピー不変ではないことを認識し、著者らは周期的な循環版 $\text{HPE}([X/T])$ を導入する。これは、写像スタック上の自然な $E$ 作用の テイト固定点（Tate fixed points） へと移行することによって構成される。標数 0 において、$E$ の形式的コホモロジーは $S^1$ のそれと等価であるため、$E$ 作用は隠れた $S^1$ 作用として再解釈できる。テイト構成は、この理論を周期化し、$\mathbb{Z}$ 階層を $\mathbb{Z}_2$ 階層へと崩壊させる。
5. アデール的降下： 彼らの構成と Grojnowski の理論との間の大域的な比較を確立するために、著者らはアデール降下理論（Parshin, Beilinson, Groechenig に倣う）を利用する。彼らは、層のアデール分解における二つの理論の同値性が、閉点での適合性（局在化による）および汎用点での適合性（HKR 定理による）をチェックすることによって確立できることを示す。

主要な結果

• 定理 A (コードセント)： 準定数写像のスタック $\text{Map}_0(E, [X/T])$ は $T$-等変ザリスキー・コードセントを満たす。これにより、アフィン被覆上の局所データを通じて楕円ホッチホルト・ホモロジーを計算することが可能になる。
• 定理 D (トーリックの場合)： $\mathbb{C}$ 上の極大トーラス作用を持つ滑らかなトーリック多様体 $X$ に対して、楕円ホッチホルト・ホモロジー $\text{HHE}([X/T])$ は、解析化 $X^{\text{an}}$ の複素化された等変楕円コホモロジーの次数 0 部分と同型である。
• 定理 G (トーラスの比較)： $\mathbb{C}$ 上の滑らかな準射影多様体 $X$ のトーラス作用に対して、楕円周期循環ホモロジー $\text{HPE}([X/T])$ は、$E$ 上の $\mathbb{Z}_2$-周期的な完全複体として、Grojnowski の複素化された等変楕円コホモロジー $\text{Ell}_T^{\text{an}}(X^{\text{an}})$ と同型である。
• 定理 H (簡約群の比較)： 一般的な簡約群 $G$ へと結果を拡張するために、著者らはトーラスの場合の Weyl 群 不変量を通じて $\text{HPE}([X/G])$ を定義し、それが $\text{Ell}_G^{\text{an}}(X^{\text{an}})$ と同型であることを証明する。
• 内的な定義： 本論文は、極大トーラスの選択に依存しない、$[X/G]$ への半安定な準定数写像に基づく $G$-等変楕円ホッチホルト・ホモロジーの内的な定義を提案している。

意義と主張
著者らは、自らの研究が、準定数写像からの楕円曲線による変形理論を通じて、Grojnewksi の構成に対する幾何学的な説明を提供すると主張している。等変楕円コホモロジーを（具体的には、派生ループ空間の類似体上の関数の変種としての）ホッチホルト・ホモロジーとして枠付けることにより、彼らは写像スタックの代数幾何学と、楕円コホモロジーの位相的な起源との間の架け橋を築いている。

本論文は、構成が標数 0 の任意の体上で有効である一方で、Grojnowski の理論（複素解析幾何学に依存する）との比較には、$k = \mathbb{C}$ とし、テイト固定点へ移行する必要があることを強調している。著者らは、彼らの楕円ホッチホルト・ホモロジーの定義が、非等変の設定における Moulinos-Robalo-Toën [48] による先行する定義と互換性があることを指摘し、その用語の妥当性を正当化している。

この研究は、楕円コサイクルに対する幾何学的表現を提供することを目指す、より広範なプロジェクトへの一歩として提示されている。著者らは、一般の簡約群に対する内的な定義と Weyl 不変な定義の間の同値性の完全な証明は今後の課題として残していると控えめに述べている。また、通常のホッチホルト・ホモロジーとは異なり、彼らの理論は完全複体の派生圏 $\text{Perf}([X/G])$ の不変量ではないことを強調しており、これはこの理論がより高次の圏論的情報をエンコードしていることを示唆している。