Hochschild cohomology of the second kind: Koszul duality and Morita invariance

1. Probleemstelling en Context

De auteurs adresseren een fundamenteel probleem in de homologische algebra van differentiaal-graded (dg) en gebogen (curved) algebra's: de beperkingen van de klassieke (eerste soort) Hochschild-cohomologie in geometrisch betekenisvolle contexten.

• De beperking van de eerste soort: De traditionele Hochschild-cohomologie $HH(A)$ van een dg-algebra $A$ is een Morita-invariant en is gerelateerd aan de afgeleide categorie $D(A)$. Echter, voor bepaalde algebra's die in de meetkunde voorkomen (zoals de singuliere cochain-algebra van een topologische ruimte, de de Rham-algebra van een gladde variëteit, of de Dolbeault-algebra van een complex manifold), faalt de eerste soort cohomologie om de volledige meetkundige informatie van de bijbehorende categorieën te vangen.
• De tweede soort: Er bestaat reeds een concept van "Hochschild-cohomologie van de tweede soort" (vaak geassocieerd met compact ondersteunde cohomologie, ontwikkeld door Positselski en Polishchuk). Deze wordt gedefinieerd via totale sommatie (directe som) in plaats van totale producten. Hoewel deze meer meetkundige informatie bevat, is de theorie minder goed begrepen, mist ze vaak een robuuste Morita-invariantie in de gebruikelijke zin, en is ze niet altijd compatibel met Koszul-dualiteit op een natuurlijke manier.
• Het doel: De auteurs willen een nieuwe, welgedefinieerde versie van Hochschild-cohomologie van de tweede soort construeren die:
  1. Invariant is onder geschikte Morita-equivalenties van de tweede soort.
  2. Compatibel is met Koszul-dualiteit (zowel conilpotent als niet-conilpotent).
  3. De gewone Hochschild-cohomologie van meetkundig relevante dg-categorieën (zoals de categorie van $\infty$-lokale systemen of matrix-factoren) berekent.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een geavanceerde aanpak binnen de homologische algebra van de tweede soort, waarbij ze de focus verschuiven van kwasi-isomorfismen naar fijnere equivalenties (zwakke equivalenties).

• Twisted Derived Categories: De kern van de methode is het gebruik van de twisted derived category $D^{\text{II}}_c(A)$. Dit is de homotopiecategorie van de modelstructuur van de tweede soort op de categorie van dg-modules over $A$. Deze categorie wordt gegenereerd door de subcategorie van "perfecte modules van de tweede soort" ($\text{Perf}^{\text{II}}(A)$), die corresponderen met eindig gegenereerde twisted complexe objecten.
• Definitie van de Invariant: De Hochschild-cohomologie van de tweede soort wordt gedefinieerd als de afgeleide endomorfismen van de algebra als bimodule binnen deze nieuwe categorie:
  $$HC^{\text{II}}_c(A) = \mathbb{R}\text{Hom}_{D^{\text{II}}_c(A \otimes A^{\text{op}})}(A, A)$$
• Koszul-dualiteit voor bimodules: Een cruciale technische stap is het uitbreiden van de Koszul-dualiteit (die normaal gesproken werkt voor éénzijdige modules) naar bimodules. De auteurs construeren Quillen-equivalenties tussen de categorie van bimodules over een algebra $A$ en de categorie van bicomodules over de Koszul-dual (de bar- of cobar-construction). Dit wordt gedaan voor zowel de standaard (eerste soort) als de tweede soort modelstructuren.
• Gebogen (Curved) Algebra's: De theorie wordt uitgebreid naar gebogen algebra's (waar $d^2 \neq 0$ maar $d^2 = [h, -]$), wat essentieel is voor toepassingen zoals matrix-factoren. Omdat een gebogen algebra niet als module over zichzelf fungeert (geen Yoneda-embeddings), gebruiken de auteurs een constructie om een equivalente dg-algebra $A'$ te vinden die de gewone module-structuur heeft, maar dezelfde twisted derived category.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Definitie en Morita-invariantie

De auteurs definiëren $HH^{\text{II}}_c(A)$ en bewijzen twee sterke invariantie-resultaten:

1. MC-equivalentie: Een Maurer-Cartan-equivalentie (een map die een equivalentie induceert op de moduli-ruimten van MC-elementen) tussen algebra's induceert een quasi-isomorfisme van hun Hochschild-cohomologie-algebra's.
2. Bimodule Morita-equivalentie: Als twee algebra's $A$ en $B$ "bimodule II-Morita equivalent" zijn (d.w.z. er bestaan bimodules die een inverse equivalenctie geven in de twisted derived category), dan zijn hun Hochschild-cohomologie-algebra's quasi-isomorf. Dit is een versterking van de klassieke Morita-invariantie.

B. Compatibiliteit met Koszul-dualiteit

De auteurs bewijzen dat hun definitie perfect compatibel is met Koszul-dualiteit.

• Hoofdstelling (Corollary 5.8): Voor elke dg-algebra $A$ is er een quasi-isomorfisme:
  $$HC^{\text{II}}_c(A) \simeq HC(qBA)$$
  waarbij $qBA$ de uitgebreide bar-construction van $A$ is.
• Dit betekent dat de Hochschild-cohomologie van de tweede soort van een algebra in feite de gewone Hochschild-cohomologie is van de Koszul-dual (in de vorm van de bar-construction). Dit verbindt de "mysterieuze" tweede soort cohomologie met de goed begrepen eerste soort cohomologie van de dual.

C. Relatie met Positselski-Polishchuk

De auteurs positioneren hun definitie tussen de gewone Hochschild-cohomologie en die van Positselski-Polishchuk ($HH^{\text{II}}_{PP}$).

• Er bestaat een keten van algebra-morfismen: $HH^{\text{II}}_{PP}(A) \to HH^{\text{II}}_c(A) \to HH(A)$.
• $HH^{\text{II}}_c(A)$ fungeert als een "halve weg" constructie: het is de pseudocompacte voltooiing van de Positselski-definitie, maar nog niet de volledige voltooiing naar de gewone cohomologie. In gunstige gevallen (zoals matrix-factoren) vallen deze definities samen.

D. Meetkundige Toepassingen (Hoofdstuk 7)

De auteurs tonen aan dat hun theorie concrete meetkundige resultaten oplevert. In specifieke gevallen reduceert $HH^{\text{II}}_c(A)$ tot de gewone Hochschild-cohomologie van een meetkundig betekenisvolle dg-categorie:

1. Complexe Algebraïsche Variëteiten: Als $A$ de Dolbeault-algebra is van een glad projectief complex manifold $X$, dan is $HH^{\text{II}}_c(A)$ isomorf met de Hochschild-cohomologie van de begrenste afgeleide categorie van coherentie schoven op $X$ ($D^b_{coh}(X)$).
2. Topologische Ruimten: Als $A$ de singuliere cochain-algebra $C^*(X)$ is van een topologische ruimte $X$, dan is $HH^{\text{II}}_c(A)$ de Hochschild-cohomologie van de categorie van $\infty$-lokale systemen op $X$.
3. Matrix Factoren: Voor een gebogen algebra $R_w$ (gerelateerd aan een hypersurface singulariteit $w=0$), is $HH^{\text{II}}_c(R_w)$ isomorf met de Hochschild-cohomologie van de categorie van matrix-factoren $MF(R, w)$. Dit bevestigt en generaliseert eerdere resultaten.

4. Significatie

De bijdrage van dit werk is fundamenteel voor de moderne homologische algebra en meetkunde:

• Unificatie: Het biedt een unificerend raamwerk dat de "tweede soort" homologische algebra (vaak gebruikt in de context van niet-conilpotente coalgebra's en gebogen structuren) verbindt met de klassieke Koszul-dualiteit en Morita-theorie.
• Rekenkracht: Het maakt het mogelijk om complexe meetkundige invarianten (zoals Hochschild-cohomologie van afgeleide categorieën van schoven of matrix-factoren) te berekenen via algebraïsche middelen (de Koszul-dual van de onderliggende algebra), wat vaak veel eenvoudiger is.
• Robuustheid: Door de definitie te baseren op de twisted derived category en bimodule Morita-equivalenties, krijgen de auteurs een theorie die robuust is onder algebraïsche transformaties die de meetkunde niet veranderen, maar waar de klassieke theorie faalt.
• Nieuwe inzichten in gebogen algebra's: De constructie van de "acyclische" algebra $A'$ die equivalent is aan een gebogen algebra $A$ in de twisted context, opent nieuwe wegen voor het bestuderen van gebogen structuren zonder de beperkingen van de Yoneda-embeddings.

Kortom, het artikel levert een rigoureuze en krachtige definitie van Hochschild-cohomologie van de tweede soort die niet alleen theoretisch consistent is, maar ook direct toepasbaar is op centrale objecten in de algebraïsche meetkunde en de topologie.