Hochschild cohomology of the second kind: Koszul duality and Morita invariance

1. Problématique et Contexte

La cohomologie de Hochschild est un invariant fondamental pour les algèbres associatives, les algèbres différentielles graduées (dg) et les catégories dg. Elle est connue pour être invariante par équivalence de Morita et par dualité de Koszul (dans le cas conilpotent).

Cependant, une version alternative, appelée cohomologie de Hochschild de deuxième espèce (ou cohomologie à support compact), a été développée, notamment par Positselski et Polishchuk. Cette version diffère de la cohomologie classique (de première espèce) par la manière dont la totalisation du complexe double est effectuée :

• Première espèce : Totalisation par produits directs.
• Deuxième espèce : Totalisation par sommes directes.

Pour les algèbres non graduées, cela ne fait pas de différence, mais pour les algèbres dg, cela conduit à des théories distinctes. La cohomologie de deuxième espèce est liée à l'« algèbre homologique de deuxième espèce », où la notion de quasi-isomorphisme est remplacée par une notion d'équivalence faible plus fine (équivalence coacyclique ou contraacyclique).

Le problème central abordé par les auteurs est le suivant :

1. Définir rigoureusement la cohomologie de Hochschild de deuxième espèce pour les algèbres dg et courbées (curved) dans un cadre qui soit invariant par équivalence de Morita de deuxième espèce.
2. Établir une dualité de Koszul bimodulaire pour ces structures, reliant la cohomologie de deuxième espèce d'une algèbre à celle de sa duale de Koszul.
3. Montrer que cette cohomologie calcule la cohomologie de Hochschild classique de catégories géométriquement significatives (comme les catégories dérivées bornées de faisceaux cohérents ou les catégories de systèmes locaux infinis), là où la cohomologie classique de l'algèbre sous-jacente échoue souvent à le faire.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche basée sur la théorie des catégories dérivées de deuxième espèce et la dualité de Koszul non-conilpotente.

• Catégories dérivées de deuxième espèce : Ils utilisent la catégorie dérivée tordue $D^{\text{II}}_c(A)$, générée par les objets compacts (les modules parfaits de deuxième espèce, notés $\text{Perf}^{\text{II}}(A)$). Cette catégorie est équivalente à la catégorie dérivée codérivée de l'algèbre duale de Koszul.
• Définition de la cohomologie : Ils définissent la cohomologie de Hochschild de deuxième espèce $HC^{\text{II}}_c(A)$ comme le foncteur dérivé $\text{RHom}$ dans la catégorie des bimodules de deuxième espèce :
  $$HC^{\text{II}}_c(A) = \text{RHom}_{D^{\text{II}}_c(A \otimes A^{\text{op}})}(A, A)$$
• Dualité de Koszul Bimodulaire : Une contribution méthodologique majeure est l'extension de la dualité de Koszul (habituellement formulée pour les modules à gauche et comodules) au niveau des bimodules. Ils construisent des équivalences de Quillen entre les catégories de bimodules sur une algèbre dg et les catégories de bicomodules sur sa construction de cobar (ou bar) étendue.
• Cas Courbé : Pour traiter les algèbres courbées (où l'élément de courbure $h \neq 0$ empêche l'algèbre d'être un module sur elle-même), les auteurs utilisent une astuce technique (Lemme 6.7) : ils associent à toute algèbre courbée $A$ une algèbre dg ordinaire $A'$ telle que leurs catégories de modules parfaits de deuxième espèce soient quasi-équivalentes ($\text{Perf}^{\text{II}}(A) \simeq \text{Perf}^{\text{II}}(A')$). Cela permet de ramener les problèmes courbés au cas dg standard.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Invariance de Morita de Deuxième Espèce

Les auteurs prouvent que leur définition est invariante sous deux types d'équivalences :

1. Équivalence MC (Maurer-Cartan) : Si $F: A \to B$ est une équivalence MC (induisant une bijection sur les ensembles de modules de Maurer-Cartan), alors $HC^{\text{II}}_c(A) \simeq HC^{\text{II}}_c(B)$.
2. Équivalence de Morita Bimodulaire : Si deux algèbres $A$ et $B$ sont bimodule II-Morita équivalentes (via des bimodules $P$ et $Q$ tels que $P \otimes^L_B Q \simeq A$ et $Q \otimes^L_A P \simeq B$ dans la catégorie dérivée de deuxième espèce), alors leurs cohomologies de Hochschild de deuxième espèce sont quasi-isomorphes.

B. Dualité de Koszul et Calcul

Le résultat central relie la cohomologie de deuxième espèce d'une algèbre à la cohomologie de première espèce de sa duale de Koszul :

• Théorème : Pour toute algèbre dg $A$, il existe un quasi-isomorphisme d'algèbres :
  $$HC^{\text{II}}_c(A) \simeq HC(qBA)$$
  où $qBA$ est la construction de bar étendue (extended bar construction) de $A$.
• Cela signifie que la cohomologie de deuxième espèce de $A$ est isomorphe à la cohomologie de Hochschild classique de l'algèbre duale de Koszul (qui est souvent une algèbre de coalgèbres ou une algèbre de type pseudocompact).
• Ils établissent également des équivalences de Quillen entre les catégories de bimodules sur $A$ et les catégories de bicomodules sur $qBA$ (ou $\Omega C$ pour le cas cobar).

C. Comparaison avec les Définitions Existantes

Les auteurs positionnent leur définition par rapport à celle de Positselski-Polishchuk ($HH^{\text{II}}_{PP}$) et à la cohomologie classique ($HH$). Ils montrent que leur complexe est une complétion intermédiaire :
$$HH^{\text{II}}_{PP}(A) \to HC^{\text{II}}_c(A) \to HH(A)$$
Contrairement à la définition de Positselski-Polishchuk, leur définition est compatible avec la dualité de Koszul et l'invariance de Morita dans le cadre non-conilpotent.

D. Applications Géométriques (Section 7)

L'article démontre que $HH^{\text{II}}_c(A)$ calcule la cohomologie de Hochschild classique de catégories géométriques importantes :

1. Variétés Algébriques Complexes : Si $A(X)$ est l'algèbre de Dolbeault d'une variété projective lisse $X$, alors $HH^{\text{II}}_c(A(X)) \cong HH(\text{Perf}(X))$, où $\text{Perf}(X)$ est la catégorie dérivée bornée des faisceaux cohérents.
2. Espaces Topologiques : Si $C^*(X)$ est l'algèbre des chaînes singulières d'un espace $X$, alors $HH^{\text{II}}_c(C^*(X)) \cong HH(\text{LC}(X))$, où $\text{LC}(X)$ est la catégorie des systèmes locaux infinis ($\infty$-local systems) sur $X$.
3. Facteurs de Matrice : Pour une algèbre commutative régulière $R$ et un élément de courbure $w$, la cohomologie de deuxième espèce de l'algèbre courbée $R_w$ est isomorphe à la cohomologie de Hochschild de la catégorie des facteurs de matrice $\text{MF}(R, w)$, qui encode la structure des singularités hypersurfaces.

4. Signification et Impact

• Unification Théorique : Ce travail fournit un cadre unifié pour la cohomologie de Hochschild de deuxième espèce, résolvant les problèmes d'invariance de Morita qui étaient obscurs dans les définitions précédentes.
• Outil de Calcul Puissant : En reliant la cohomologie de deuxième espèce d'une algèbre complexe à la cohomologie classique de son duale de Koszul (souvent plus simple ou mieux comprise), les auteurs offrent une méthode puissante pour calculer des invariants géométriques.
• Géométrie et Topologie : Les résultats établissent un pont rigoureux entre l'algèbre homologique des algèbres dg/courbées et la géométrie algébrique (faisceaux cohérents) et la topologie (systèmes locaux). Cela valide l'intuition selon laquelle les catégories dérivées de deuxième espèce capturent plus d'information géométrique que les catégories dérivées ordinaires.
• Extension aux Cas Courbés : La capacité à traiter les algèbres courbées (essentielles pour les facteurs de matrice et la théorie des singularités) tout en conservant des propriétés de dualité solides est une avancée technique majeure.

En résumé, cet article redéfinit la cohomologie de Hochschild de deuxième espèce comme un invariant robuste, invarient par Morita et compatible avec la dualité de Koszul, servant ainsi d'outil central pour l'étude des catégories dérivées en géométrie et en topologie.