A Tannakian framework for prismatic $F$-crystals

Technische Samenvatting: Een Tannakaanse Framework voor Prismatic F-kristallen

Probleem en Context
Integrale $p$-adische Hodge-theorie streeft ernaar de variatie van $p$-adische geometrische objecten in families te begrijpen, met name door de lens van kristallijne $\mathbb{Z}_p$-lokale systemen op een glad formeel schema $X$ over de ring van integers $\mathcal{O}_K$ van een discreet gewaardeerd veld. Recent werk van Bhatt en Scholze heeft de categorie $\text{Vect}^\varphi(X^\Delta)$ van prismatische $F$-kristallen gevestigd als een robuust model voor deze lokale systemen. Echter, toepassingen op integrale (lokale) Shimura-variëteiten vereisen een Tannakaanse formalisme: een theorie van $G$-objecten (waarbij $G$ een glad affien groepschema is over $\mathbb{Z}_p$) binnen deze categorieën.

Een primaire moeilijkheid ontstaat doordat de étale realisatiefunctor $T_{\acute{e}t}$, die de categorie van prismatische $F$-kristallen relateert aan kristallijne lokale systemen, een equivalentie van categorieën is, maar de quasi-inverse in het algemeen niet exact is. Specifiek, hoewel $T_{\acute{e}t}$ de categorie van prismatische $F$-kristallen afbeeldt op de subcategorie van "prismatisch goed reducerende" lokale systemen, omvat de inverse het uitbreiden van vectorbundels van open deelgebieden naar hun sluitingen, een proces dat exactheid niet behoudt. Deze niet-exactheid bedreigt de constructie van een Tannakaanse equivalentie voor $G$-objecten, aangezien de categorie van $G$-objecten rust op de exactheid van de onderliggende tensor-categorie.

Methodologie
De auteurs ontwikkelen een Tannakaans framework door de structuur van $G$-objecten in de categorie van prismatische $F$-kristallen, aangeduid als $G\text{-}\text{Vect}^\varphi(X^\Delta)$, te analyseren en deze te vergelijken met $G$-objecten in de categorie van kristallijne lokale systemen, $G\text{-}\text{Loc}^{\text{crys}}_{\mathbb{Z}_p}(X)$.

1. Tannakaans Formalisme voor Prismatische Objecten: Het artikel stelt vast dat de categorie van prismatische $F$-kristallen (en hun analytische tegenhangers) de noodzakelijke Tannakaanse eigenschappen bezit. Door gebruik te maken van de theorie van torsoren met Frobeniusstructuur ($F$-structuur), tonen de auteurs aan dat $G$-objecten in deze categorieën corresponderen met $G$-torsoren uitgerust met Frobenius-isomorfismen.
2. Omgaan met Niet-Exactheid: De kern van de technische uitdaging is de niet-exactheid van de quasi-inverse van $T_{\acute{e}t}$. De auteurs pakken dit aan door de aandacht te beperken tot het geval waarbij $G$ een reductief groepschema is. Zij maken gebruik van een resultaat van Colliot-Thélène en Sansuc, dat stelt dat voor een reductieve groep $G$, een $G$-torsor op een open deelschema $U$ (waarbij de complementaire verzameling een diepte van ten minste 2 heeft) uitbreidt naar het gehele schema indien de geassocieerde vectorbundel uitbreidt. Dit stelt hen in staat om de het falen van exactheid voor algemene groepen te omzeilen door gebruik te maken van de specifieke geometrische eigenschappen van reductieve groepen en de diepte-eigenschappen van de onderliggende ringen (specifiek, de Breuil–Kisin-prisma).
3. Shtuka Realisatie: Het artikel construeert een "shtuka realisatiefunctor" $T_{\text{sht}}$ die analytische prismatische $F$-kristallen afbeeldt op $G$-shtuka's. Deze constructie steunt op de relatie tussen prismatische cohomologie en de theorie van $v$-sheaves en diamonds ontwikkeld door Scholze en anderen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Tannakaanse Equivalentie voor Reductieve Groepen: Het centrale resultaat (Theorema 2.29) vestigt een equivalentie van categorieën:
  $$T_{\acute{e}t}: G\text{-}\text{Vect}^\varphi(X^\Delta) \xrightarrow{\sim} G\text{-}\text{Loc}^{\Delta\text{-gr}}_{\mathbb{Z}_p}(X)$$
  waarbij $G\text{-}\text{Loc}^{\Delta\text{-gr}}_{\mathbb{Z}_p}(X)$ de categorie van $G$-lokale systemen van "prismatisch goede reductie" is. Cruciaal is dat de auteurs bewijzen dat, ondanks dat de quasi-inverse van $T_{\acute{e}t}$ niet exact is op het niveau van vectorbundels, de geïnduceerde functor op $G$-objecten een equivalentie is wanneer $G$ reductief is. Dit wordt bereikt door aan te tonen dat de obstructie tot exactheid voor reductieve groepen verdwijnt vanwege de extensie-eigenschappen van hun torsoren.

• Analytische Prismatische $F$-kristallen: Het artikel verfijnt de theorie door te werken met analytische prismatische $F$-kristallen ($\text{Vect}^{\text{an},\varphi}(X^\Delta)$), welke noodzakelijk zijn om alle kristallijne $\mathbb{Z}_p$-lokale systemen te vatten. Er wordt aangetoond dat de étale realisatiefunctor een bi-exacte equivalentie induceert tussen analytische prismatische $F$-kristallen en kristallijne lokale systemen (Propositie 2.23).

• Shtuka Realisatie en Compatibiliteit: De auteurs definiëren een shtuka realisatiefunctor $T_{\text{sht}}: G\text{-}\text{Vect}^{\text{an},\varphi}(X^\Delta) \to G\text{-}\text{Sht}(X)$ (Theorema 3.21). Zij bewijzen een vergelijkingsisomorfisme $\varrho$ dat aantoont dat deze functor samenwerkt met de étale realisatiefunctor $T_{\acute{e}t}$ en de eerder gevestigde functor $U_{\text{sht}}$ van de de Rham lokale systemen naar shtuka's (zoals gedefinieerd in [PR24]).
  $$\varrho: (T_{\text{sht}})_\eta \xrightarrow{\sim} U_{\text{sht}} \circ T_{\acute{e}t}$$
  Dit resultaat maakt het mogelijk om de shtuka realisatiefunctor uit te breiden naar gladde $\mathcal{O}_K$-schema's (niet alleen formele schema's) door gegevens te lijmen van de generieke vezel en de formele voltooiing.

• Karakterisering van Goede Reductie: Het artikel biedt een criterium voor een $G$-lokaal systeem om van prismatisch goede reductie te zijn: het volstaat dat het systeem geassocieerd met een enkele getrouwe representatie van $G$ van prismatisch goede reductie is (Corollary 2.31).

Betekenis
Het artikel biedt de fundamentele Tannakaanse theorie die vereist is om de prismatische cohomologie rigoureus toe te passen op de studie van integrale Shimura-variëteiten. Door de equivalentie tussen $G$-objecten in prismatische $F$-kristallen en $G$-lokale systemen van prismatisch goede reductie te vestigen, stellen de auteurs het mogelijk om prismatische methoden te gebruiken om motiverende objecten over integrale modellen van Shimura-variëteiten te parametriseren.

Het werk is expliciet gepositioneerd als een begeleidend en fundamenteel onderdeel van [IKY23] en [IKY25]. In die werken worden de resultaten van dit artikel gebruikt om prismatische realisatiefunctoren op integrale Shimura-variëteiten op hyperspeciaal niveau te construeren, wat leidt tot consequenties zoals een analoog van de Serre–Tate stelling. Bovendien is de compatibiliteit met de shtuka-theorie (Theorema 3) essentieel voor het relateren van prismatische realisaties aan de Pappas–Rapoport conjectuur betreffende de shtuka-realisaties voor Shimura-variëteiten van abelian type.

De auteurs merken op dat hoewel de hoofdtheorema's vereisen dat $G$ reductief is, het framework flexibel genoeg is om potentieel parahorische groepschemata te accommoderen, een geval van groot belang voor Shimura-variëteiten, hoewel dit verdere onderzoek vereist buiten de reikwijdte van de huidige resultaten.