A Tannakian framework for prismatic $F$-crystals

Résumé technique : Un cadre tannique pour les $F$-cristaux prismatiques

Problème et contexte
La théorie de Hodge $p$-adique intégrale cherche à comprendre la variation des objets géométriques $p$-adiques dans des familles, particulièrement à travers le prisme des $\mathbb{Z}_p$-systèmes locaux cristallins sur un schéma formel lisse $X$ sur l'anneau des entiers $\mathcal{O}_K$ d'un corps à valeur discrète. Des travaux récents de Bhatt et Scholze ont établi la catégorie $\text{Vect}^\varphi(X^\Delta)$ des $F$-cristaux prismatiques comme un modèle robuste pour ces systèmes locaux. Cependant, les applications aux variétés de Shimura locales intégrales nécessitent un formalisme tannique : une théorie des objets $G$ (où $G$ est un schéma de groupes affine lisse sur $\mathbb{Z}_p$) au sein de ces catégories.

Une difficulté primaire réside dans le fait que le foncteur de réalisation étale $T_{\acute{e}t}$, qui relie les $F$-cristaux prismatiques aux systèmes locaux cristallins, est une équivalence de catégories, mais sa quasi-inverse n'est pas exacte en général. Spécifiquement, bien que $T_{\acute{e}t}$ projette la catégorie des $F$-cristaux prismatiques vers la sous-catégorie des systèmes locaux de « réduction prismatiquement bonne », l'inverse implique l'extension de fibrés vectoriels de sous-ensembles ouverts vers leurs clôtures, un processus qui ne préserve pas l'exactitude. Cette non-exactitude menace la construction d'une équivalence tannique pour les objets $G$, car la catégorie des objets $G$ repose sur l'exactitude de la catégorie tensorielle sous-jacente.

Méthodologie
Les auteurs développent un cadre tannique en analysant la structure des objets $G$ dans la catégorie des $F$-cristaux prismatiques, notée $G\text{-}\text{Vect}^\varphi(X^\Delta)$, et en les comparant aux objets $G$ dans la catégorie des systèmes locaux cristallins, $G\text{-}\text{Loc}^{\text{crys}}_{\mathbb{Z}_p}(X)$.

1. Formalisme tannique pour les objets prismatiques : L'article établit que la catégorie des $F$-cristaux prismatiques (et de leurs contreparties analytiques) possède les propriétés tanniques nécessaires. En utilisant la théorie des torsors munis d'une structure de Frobenius ($F$-structure), les auteurs montrent que les objets $G$ dans ces catégories correspondent à des torsors $G$ équipés d'isomorphismes de Frobenius.
2. Gestion de la non-exactitude : Le défi technique central est la non-exactitude de la quasi-inverse de $T_{\acute{e}t}$. Les auteurs abordent ce point en restreignant leur attention au cas où $G$ est un schéma de groupes réductif. Ils exploitent un résultat de Colliot-Thélène et Sansuc, qui stipule que pour un groupe réductif $G$, un torsor $G$ sur un sous-schéma ouvert $U$ (dont le complément possède une profondeur d'au moins 2) s'étend au schéma entier si le fibré vectoriel associé s'étend. Cela leur permet de contourner l'échec de l'exactitude pour les groupes généraux en utilisant les propriétés géométriques spécifiques des groupes réductifs et les propriétés de profondeur des anneaux sous-jacents (spécifiquement, le prisme de Breuil–Kisin).
3. Réalisation par shtukas : L'article construit un « foncteur de réalisation par shtukas » $T_{\text{sht}}$ qui envoie les $F$-cristaux prismatiques analytiques vers les shtukas $G$. Cette construction repose sur la relation entre la cohomologie prismatique et la théorie des $v$-schémas et des diamants développée par Scholze et d'autres.

Contributions clés et résultats

• Équivalence tannique pour les groupes réductifs : Le résultat central (Théorème 2.29) établit une équivalence de catégories :
  $$T_{\acute{e}t}: G\text{-}\text{Vect}^\varphi(X^\Delta) \xrightarrow{\sim} G\text{-}\text{Loc}^{\Delta\text{-gr}}_{\mathbb{Z}_p}(X)$$
  où $G\text{-}\text{Loc}^{\Delta\text{-gr}}_{\mathbb{Z}_p}(X)$ est la catégorie des systèmes locaux $G$ de « réduction prismatiquement bonne ». Crucialement, les auteurs prouvent qu'en dépit du fait que la quasi-inverse de $T_{\acute{e}t}$ ne soit pas exacte au niveau des fibrés vectoriels, le foncteur induit sur les objets $G$ est une équivalence lorsque $G$ est réductif. Ceci est réalisé en montrant que l'obstacle à l'exactitude s'annule pour les groupes réductifs grâce aux propriétés d'extension de leurs torsors.

• $F$-cristaux prismatiques analytiques : L'article affine la théorie en travaillant avec des $F$-cristaux prismatiques analytiques ($\text{Vect}^{\text{an},\varphi}(X^\Delta)$), qui sont nécessaires pour capturer tous les systèmes locaux $\mathbb{Z}_p$-cristallins. Il est démontré que le foncteur de réalisation étale induit une équivalence bi-exacte entre les $F$-cristaux prismatiques analytiques et les systèmes locaux cristallins (Proposition 2.23).

• Réalisation par shtukas et compatibilité : Les auteurs définissent un foncteur de réalisation par shtukas $T_{\text{sht}}: G\text{-}\text{Vect}^{\text{an},\varphi}(X^\Delta) \to G\text{-}\text{Sht}(X)$ (Théorème 3.21). Ils prouvent un isomorphisme de comparaison $\varrho$ montrant que ce foncteur s'entrelace avec le foncteur de réalisation étale $T_{\acute{e}t}$ et le foncteur précédemment établi $U_{\text{sht}}$ des systèmes locaux de de Rham vers les shtukas (tel que défini dans [PR24]).
  $$\varrho: (T_{\text{sht}})_\eta \xrightarrow{\sim} U_{\text{sht}} \circ T_{\acute{e}t}$$
  Ce résultat permet l'extension du foncteur de réalisation par shtukas aux schémas $\mathcal{O}_K$ lisses (et non seulement aux schémas formels) par collage de données issues de la fibre générique et de la complétion formelle.

• Caractérisation de la bonne réduction : L'article fournit un critère pour qu'un système local $G$ soit de réduction prismatiquement bonne : il suffit que le système associé à une représentation fidèle unique de $G$ soit de réduction prismatiquement bonne (Corollaire 2.31).

Signification
L'article fournit la théorie tannique fondamentale requise pour appliquer rigoureusement la cohomologie prismatique à l'étude des variétés de Shimura intégrales. En établissant l'équivalence entre les objets $G$ des $F$-cristaux prismatiques et les systèmes locaux $G$ de réduction prismatiquement bonne, les auteurs permettent l'utilisation des méthodes prismatiques pour paramétrer des objets motiviques sur des modèles intégraux de variétés de Shimura.

Le travail est explicitement positionné comme un compagnon et une composante fondamentale de [IKY23] et [IKY25]. Dans ces travaux, les résultats de cet article sont utilisés pour construire des foncteurs de réalisation prismatique sur les variétés de Shimura intégrales au niveau hyperspécifique, menant à des conséquences telles qu'un analogue du théorème de Serre–Tate. De plus, la compatibilité avec la théorie des shtukas (Théorème 3) est cruciale pour relier les réalisations prismatiques à la conjecture de Pappas–Rapoport concernant les réalisations par shtukas pour les variétés de Shimura de type abélien.

Les auteurs notent que bien que les principaux théorèmes exigent que $G$ soit réductif, le cadre est suffisamment flexible pour potentiellement accommoder les schémas de groupes parahoriques, un cas d'intérêt majeur pour les variétés de Shimura, bien que cela nécessite des investigations supplémentaires au-delà de la portée des résultats actuels.