Wheeler-De Witt equation and the Canonical Construction of the Glauber-Sudarshan States in Quantum Gravity

In het uitgestrekte landschap van de moderne natuurkunde staan twee reuzen apart van elkaar: kwantummechanica, die het gedrag van de kleinste deeltjes beheerst, en algemene relativiteitstheorie, die de kromming van ruimte en tijd beschrijft als gevolg van massieve objecten. Decennialang hebben wetenschappers geprobeerd deze twee kaders te versmelten tot één enkele theorie van de kwantumbestrijding van de zwaartekracht (quantum gravity). Een centrale moeilijkheid ontstaat omdat in de kwantumwereld van de zwaartekracht de gebruikelijke regels voor hoe dingen in de loop van de tijd veranderen, niet meer standhouden. In de standaardfysica volgen we de evolutie van een systeem door te kijken naar de beweging vooruit in de tijd, gedreven door een grootheid genaamd energie. In een universum dat wordt beheerst door de vergelijkingen van de kwantumzwaartekracht is de totale energie van het systeem echter vaak beperkt tot nul. Dit creëert een diepgaand raadsel: als de energie nul is, worden de wiskundige operatoren die de tijd normaal gesproken vooruit drijven ineffectief, waardoor het universum ogenschijnlijk bevroren blijft in een staat waarin niets gebeurt. Dit staat bekend als het "probleem van de tijd" (problem of time), en het heeft natuurkundigen lang belemmerd om te beschrijven hoe een kwantumuniversum zich zou kunnen ontwikkelen van een statisch begin naar het dynamische, expanderende kosmos dat wij vandaag de dag observeren.

Een team onderzoekers aan de McGill University heeft een nieuwe manier voorgesteld om door dit bevroren landschap te navigeren. Ze proberen niet de oude regels van de tijd te dwingen om te werken op een plek waar ze niet passen. In plaats daarvan hebben ze een specifiek type kwantumtoestand geconstrueerd, bekend als een Glauber-Sudarshan-toestand, die het universum in staat stelt te evolueren zonder te vertrouwen op het traditionele, gebroken concept van een globale klok. Hun werk suggereert dat door zorgvuldig rekening te houden met de subtiele, onzichtbare fluctuaties die optreden in het weefsel van de ruimtetijd, zij een overgang kunnen beschrijven van een stille, supersymmetrische achtergrond naar een tijdelijke, expanderende fase die lijkt op ons eigen universum. Deze benadering biedt niet alleen een wiskundige truc; het biedt een mechanisme om de waarde van de kosmologische constante te berekenen — de energiedichtheid van de lege ruimte die de expansie van het universum aandrijft — en laat zien hoe een positieve waarde kan voortkomen uit een systeem dat op het eerste gezicht statisch lijkt.

De onderzoekers begonnen door de beperkingen van de standaardinstrumenten die worden gebruikt in de kwantumveldentheorie onder de loep te nemen. In de gewone fysica berekenen wetenschappers hoe deeltjes interageren door te kijken naar hoe ze veranderen in de loop van de tijd, waarbij ze een wiskundig instrument genaamd een Hamiltoniaan gebruiken om hun voortgang te volgen. In de kwantumzwaartekracht verdwijnt deze Hamiltoniaan echter, waardoor de standaardmethode om de tijd te volgen nutteloos wordt. Om dit te omzeilen, introduceerde het team een nieuwe manier van denken over de toestand van het universum. In plaats van te proberen het universum stap voor stap te laten evolueren met een klok die niet bestaat, definieerden ze de toestand van het universum door het te "verplaatsen" (displacing) van een stabiel, rustig minimum. Stel je een bal voor die helemaal onderaan een vallei ligt; in de standaardvisie, als de bal geen energie heeft, blijft hij daar voor altijd liggen. De onderzoekers stelden voor dat door een specifieke, zorgvuldig afgestemde verstoring op deze bal toe te passen, ze deze in een nieuwe configuratie konden verschuiven. Deze verstoring is geen willekeurige duw, maar een gestructureerde operatie die de diepe beperkingen van de theorie respecteert, waardoor effectief een nieuwe toestand wordt gecreëerd die niet langer bevroren is.

Een cruciaal onderdeel van hun ontdekking betreft de rol van "geesten" (ghosts). In de natuurkunde verwijst de term 'ghost' niet naar een geest, maar naar wiskundige entiteiten die zijn geïntroduceerd om de redundanties in de vergelijkingen van de zwaartekracht te behandelen. In de meeste theorieën kunnen deze geesten worden genegeerd of verwijderd zodra de berekeningen zijn voltooid. De auteurs ontdekten echter dat deze geesten in hun constructie essentieel zijn en niet kunnen worden weggelaten. Ze fungeren als een noodzakelijke steiger die de structuur van de theorie bij elkaar houdt. Sterker nog, de onderzoekers toonden aan dat deze geesten een dubbelrol spelen: ze zijn vereist om de initiële toestand van het universum te definiëren, maar ze verdwijnen ook uit de uiteindelijke beschrijving van de expanderende fase. Dit verdwijnen is geen verlies van informatie, maar een teken dat het systeem zichzelf heeft georganiseerd. De geesten helpen de initiële, statische supersymmetrische achtergrond om te zetten in een dynamische, niet-supersymmetrische toestand die kan expanderen.

Het artikel demonstreert dat deze overgang niet slechts een theoretische mogelijkheid is, maar met precisie gekwantificeerd kan worden. Door gebruik te maken van een geavanceerde wiskundige techniek genaamd Borel-Écalle ressommatie, was het team in staat om een oneindige reeks complexe interacties op te tellen die anders onmogelijk te berekenen zouden zijn. Deze methode stelde hen in staat om verder te gaan dan eenvoudige benaderingen en een gesloten vormige expressie te vinden voor het gedrag van het universum. Het resultaat was opmerkelijk: de terugkoppeling (back-reaction) van de kwantumfluctuaties — de manier waarop het universum reageert op zijn eigen interne verstoringen — genereert op natuurlijke wijze een positieve kosmologische constante. Dit is de energiedichtheid die de expansie van de ruimte veroorzaakt. De onderzoekers ontdekten dat deze waarde alleen verschijnt wanneer alle niet-perturbatieve effecten, de subtiele kwantumcorrecties die gewoonlijk worden genegeerd, in de berekening worden opgenomen. Zonder deze volledige sommatie zou de kosmologische constante nul of negatief lijken, wat niet overeenkomt met onze waarnemingen.

De studie verheldert ook de relatie tussen deze nieuwe toestanden en de traditionele beschrijvingen van de snaartheorie (string theory). In de snaartheorie worden deeltjes vaak beschreven als trillingen van minuscule snaren, en hun interacties worden gedefinieerd door "vertex-operatoren". De onderzoekers toonden aan dat hun Glauber-Sudarshan-toestanden een structurele gelijkenis vertonen met deze vertex-operatoren, maar fundamenteel verschillen in hun oorsprong en gedrag. Terwijl standaard vertex-operatoren kleine perturbaties rond een vaste achtergrond beschrijven, zijn de nieuwe toestanden ontworpen om een achtergrond te beschrijven die op zichzelf veranderend en evoluerend is. Ze zijn geconstrueerd uit de onderliggende vrijheidsgraden van de M-theorie, een fundamenteler kader dat verschillende versies van de snaartheorie verenigt. Deze constructie stelt het team in staat om een universum te beschrijven dat begint in een supersymmetrische toestand en evolueert naar een tijdelijke de Sitter-fase, een periode van versnelde expansie die consistent is met de huidige staat van ons universum.

Een van de meest significante bevindingen is de verklaring voor waarom de kosmologische constante klein maar positief is. De onderzoekers betogen dat deze waarde een emergent fenomeen is, wat betekent dat het voortkomt uit het collectieve gedrag van het systeem in plaats van een vaste parameter te zijn die in de natuurwetten is geschreven. Op het niveau van eenvoudige, stap-voor-stap berekeningen is de kosmologische constante onzichtbaar. Het wordt pas duidelijk wanneer de volledige, complexe web van kwantuminteracties in rekening wordt genomen. De berekeningen van het team suggereren dat de waarde van deze constante wordt bepaald door de specifieke manier waarop de kwantumtoestanden zijn geconstrueerd en hoe de geesten en andere wiskundige componenten met elkaar interageren. Dit biedt een potentieel pad naar het begrijpen van waarom het universum uitdijt met de snelheid die het doet, zonder dat daarvoor de initiële condities van het kosmos fijn afgesteld hoeven te worden.

Het werk behandelt ook het "probleem van de tijd" door aan te tonen dat tijd relationeel gedefinieerd kan worden. In plaats van een externe klok die op de achtergrond tikt, ontstaat tijd uit de relatie tussen verschillende delen van het systeem. De onderzoekers lieten zien dat door een specifieke interne variabele als klok te kiezen, de evolutie van de rest van het universum consistent kan worden beschreven. Deze relationele tijd is geen illusie, maar een fysieke realiteit die voortvloeit uit de beperkingen van de theorie. De studie bevestigt dat de Wheeler-DeWitt-vergelijking, die de kwantumtoestand van het universum beheerst, op twee verschillende niveaus kan worden vervuld: de initiële supersymmetrische toestand en de uiteindelijke expanderende toestand. De overgang tussen deze twee niveaus wordt gedreven door de terugkoppeling van de kwantumfluctuaties, die zorgvuldig in hun model zijn meegenomen.

Concluderend biedt dit onderzoek een fris perspectief op een van de moeilijkste problemen in de theoretische natuurkunde. Door een specifieke kwantumtoestand te construeren die de fundamentele wetten van de zwaartekracht respecteert, hebben de auteurs aangetoond hoe een universum kan evolueren van een statisch begin naar een expanderend universum. Ze hebben aangetoond dat de kosmologische constante geen willekeurig getal is, maar een gevolg is van de diepe kwantumstructuur van de ruimtetijd. Het gebruik van geesten, de ressommatie van oneindige reeksen en de definitie van relationele tijd zijn niet slechts wiskundige curiositeiten, maar essentiële ingrediënten in een coherent beeld van de kwantumzwaartekracht. Hoewel het model momenteel een vereenvoudigde versie van de volledige theorie is, biedt het een concreet kader voor het begrijpen van hoe het universum zou kunnen zijn voortgekomen uit een toestand waarin de tijd stil leek te staan. De bevindingen suggereren dat de dynamische aard van ons universum een natuurlijk gevolg is van de kwantumwetten die het beheersen, wachtend op een volledige begrip naarmate de theorie wordt uitgebreid naar complexere scenario's.