Decompositions into a direct sum of projective and stable submodules

Titel: Decomposities in een Directe Som van Projectieve en Stabiele Submodules

1. Probleemstelling

Het centrale probleem in dit artikel is het onderzoeken van de decompositie van modules over een willekeurige ring $R$. Een module $M$ wordt stabiel genoemd als deze geen niet-nul projectieve directe somfactor heeft. De auteurs onderzoeken onder welke voorwaarden een module $M$ kan worden ontbonden in een directe som van een projectieve submodule $P$ en een stabiele submodule $N$ (d.w.z. $M = P \oplus N$).

Hoewel dergelijke decomposities bekend zijn voor specifieke klassen van ringen en modules (zoals over semiperfecte ringen of Noetherse ringen), is de vraag wanneer dit niet mogelijk is, minder goed onderzocht. Het doel van het artikel is tweeledig:

1. De voorwaarden bevestigen waarvoor deze decompositie wel geldt (voor modules met eindige uniforme of holle dimensie, en over semihereditaire ringen).
2. Het leveren van expliciete contra-exemplen van modules (zowel oneindig gegenereerd als eindig gegenereerd en zelfs eindig gepresenteerd) waarvoor deze decompositie faalt. Een belangrijk subdoel is het vinden van een module die niet alleen geen dergelijke decompositie heeft, maar ook niet "projectief equivalent" is aan een stabiele module.

2. Methodologie

De auteurs combineren klassieke module-theoretische concepten met geavanceerde homologische algebra:

• Dimensietheorie: Gebruik van uniforme dimensie (Goldie-dimensie) en holle dimensie om decomposities te bewijzen voor modules met eindige dimensies.
• Auslander-Bridger Transpose: Voor eindig gepresenteerde modules wordt de functor $Tr$ (transpose) gebruikt. Dit is een dualiteit in de stabiele categorie van modules. De auteurs analyseren de projectieve dimensie van $Tr(M)$ en de relatie met de dual $M^* = \text{Hom}_R(M, R)$.
• Ringtheoretische Eigenschappen: Er wordt diep ingegaan op eigenschappen van de onderliggende ringen, zoals:
  • Hereditair en semihereditair (links/rechts).
  • Perfect, semi-perfect, en coherent.
  • Baer- en Rickart-ringen.
  • V-ringen en semi-artinse ringen.
• Constructie van Contra-exemplen: De auteurs construeren specifieke ringen en modules (vaak via matrixringen, idealisatie of onbeperkte producten) om te demonstreren dat de decompositie faalt. Ze gebruiken eigenschappen van torsieloze modules en annihilatoren om te tonen dat een stabiele factor niet kan bestaan.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Positieve Resultaten (Wanneer decompositie wel geldt)

1. Eindige Dimensies: Over elke ring $R$ kan elke module met eindige uniforme dimensie ($u.\dim(M) < \infty$) of eindige holle dimensie ($h.\dim(M) < \infty$) worden ontbonden in $M = P \oplus N$.
   • Gevolg: Dit geldt voor alle Noetherse en Artinse modules, en voor eindig gegenereerde modules over semilokale ringen (en dus over semiperfecte ringen).
2. Semihereditaire Ringen: Als $R$ een links semihereditaire ring is, heeft elke eindig gepresenteerde (rechter) $R$-module $M$ een decompositie $M = P \oplus N$, waarbij $P$ projectief is en $N$ stabiel.
   • Methode: Dit wordt bewezen met behulp van de Auslander-Bridger transpose. Als $R$ links semihereditair is, heeft $Tr(M)$ projectieve dimensie $\leq 1$. Dit leidt tot de decompositie $M \cong M^{**} \oplus \text{Ext}^1_R(Tr(M), R)$, waarbij $M^{**}$ projectief is en de Ext-term stabiel.

B. Negatieve Resultaten (Wanneer decompositie faalt)

De kern van het artikel ligt in het leveren van voorbeelden waar de decompositie faalt:

1. Torsieloze, niet-projectieve modules: Als $R$ een hereditaire ring is die niet perfect is (of semihereditair maar niet Baer), bestaat er een torsieloze module die niet projectief is. Dergelijke modules hebben geen decompositie in een projectieve en stabiele factor.
   • Voorbeeld: De ring $\mathbb{Z}$ (geen perfecte ring) en de module $\prod_{i=1}^\infty \mathbb{Z}$.
2. Eindig gegenereerde modules: De auteurs construeren cyclische modules over ringen die rechts semihereditair zijn maar niet rechts Baer, die niet decomponeren.
   • Voorbeeld: Een driehoeksmatrixring gebaseerd op een von Neumann-regular ring.
3. Modules over semi-artinse V-ringen: Er wordt een cyclus module geconstrueerd over een rechts semi-artinse V-ring (die niet semisimpel is) die niet decomponeert.
4. Het Hoofdvoorbeeld (Eindig Gepresenteerd):
   • De auteurs presenteren een eindig gepresenteerde (specifiek cyclisch gepresenteerde) module $M$ over een commutatieve ring die geen decompositie $M = P \oplus N$ toelaat.
   • Constructie: De ring $A$ is een idealisatie van een product van velden ($R = \prod \mathbb{Z}_2$) en een ideaal $D$. De module is $M = A/J$ waarbij $J$ de Jacobson-radicaal is.
   • Resultaat: $M$ is niet projectief en heeft geen enkele niet-nul stabiele submodule.
   • Conclusie: Omdat $M$ geen stabiele factor heeft, kan het niet worden geschreven als $P \oplus N$ (tenzij $N=0$, wat impliceert dat $M$ projectief is, wat niet zo is).
   • Sterkere Conclusie: Volgens Lemma 4.7 is $M$ zelfs niet projectief equivalent aan enige stabiele module. Dit betekent dat er geen projectieve modules $P, Q$ bestaan zodat $M \oplus P \cong N' \oplus Q$ met $N'$ stabiel.

4. Betekenis en Impact

• Verduidelijking van Bestaande Theorie: Het artikel verduidelijkt de grenzen van decompositiestellingen. Het toont aan dat de eigenschap "elke module decomponeert in projectief en stabiel" niet universeel is, zelfs niet voor goed gedragende klassen zoals eindig gepresenteerde modules over commutatieve ringen.
• Gegenereerde Contra-exemplen: De meest significante bijdrage is het leveren van een voorbeeld van een eindig gepresenteerde module over een commutatieve ring die niet decomponeert. Dit weerlegt de intuïtie dat dergelijke decomposities voor "goede" modules (eindig gepresenteerd) altijd mogelijk zouden moeten zijn, tenzij de ring zeer specifieke eigenschappen heeft (zoals links semihereditair).
• Stabiele Categorie: De resultaten hebben implicaties voor de studie van de stabiele categorie van modules. Het feit dat een module niet projectief equivalent is aan een stabiele module (zoals in Voorbeeld 4.8) betekent dat deze module in de stabiele categorie geen "stabiel object" vertegenwoordigt dat als representant kan dienen voor zijn klasse. Dit heeft relevantie voor de representatietheorie van algebra's.
• Rol van de Transpose: Het artikel benadrukt de kracht van de Auslander-Bridger transpose als hulpmiddel om decomposities te analyseren en voorwaarden te stellen aan de projectieve dimensie van de transpose om decomposities te garanderen.

Samenvattend biedt dit artikel een scherp onderscheid tussen ringen en modules waar decompositie mogelijk is en die waar het faalt, met een sterke focus op het construeren van pathologische maar wiskundig rigoureuze voorbeelden die de beperkingen van de huidige theorie blootleggen.