Decompositions into a direct sum of projective and stable submodules

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à la décomposition des modules sur un anneau associatif unitaire $R$. Un module $M$ est dit stable s'il ne possède aucun facteur direct projectif non nul. Le problème central étudié est de déterminer sous quelles conditions un module $M$ (ou une classe de modules) peut être décomposé en une somme directe :
$$M = P \oplus N$$
où $P$ est un sous-module projectif et $N$ est un sous-module stable.

Ce problème est la version duale de la décomposition d'un module en une somme directe d'un sous-module injectif et d'un sous-module « costable » (sans sous-module injectif non nul), un sujet qui a été caractérisé pour les anneaux noethériens par He.

L'objectif de l'article est double :

1. Établir des conditions suffisantes garantissant l'existence de cette décomposition pour certaines classes de modules.
2. Fournir des contre-exemples explicites montrant que cette décomposition échoue pour des modules finiment engendrés, finiment présentés, ou même cycliques, sur des anneaux commutatifs ou non.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche combinant la théorie des dimensions (dimension uniforme et dimension creuse) et la théorie des foncteurs de transpose (transpose d'Auslander-Bridger).

• Approche par la dimension : Ils exploitent les propriétés des modules de dimension uniforme finie ($u.\dim(M) < \infty$) ou de dimension creuse finie ($h.\dim(M) < \infty$). Ils utilisent des arguments de récurrence sur les décompositions pour montrer que l'absence de décomposition $P \oplus N$ impliquerait l'existence d'une somme directe infinie de sous-modules projectifs non nuls, ce qui contredit la finitude de la dimension.
• Approche par la Transpose d'Auslander-Bridger : Pour les modules finiment présentés, les auteurs utilisent le foncteur de transpose $\text{Tr}$. En étudiant le projetif dimension de $\text{Tr}(M)$ et les propriétés du dual $M^* = \text{Hom}_R(M, R)$, ils établissent des liens entre la stabilité de $M$ et la structure de son transpose.
• Construction de Contre-exemples : Pour les cas d'échec, les auteurs construisent des anneaux spécifiques (anneaux semi-artiniens, anneaux de matrices triangulaires, idéalisation d'anneaux) et des modules associés (modules cycliques, quotients d'idéaux maximaux) pour lesquels la décomposition est impossible.

3. Contributions et Résultats Clés

A. Résultats Positifs (Existence de la décomposition)

1. Modules de dimension finie (Section 2) :

   • Théorème 2.2 : Tout module $M$ ayant une dimension uniforme finie ou une dimension creuse finie admet une décomposition $M = P \oplus N$ avec $P$ projectif et $N$ stable.
   • Corollaires : Cela implique que les modules noethériens, artiniens, et tout module finiment engendré sur un anneau semi-local (ou un anneau noethérien à droite) possèdent cette décomposition. Cela généralise un résultat connu de Warfield pour les anneaux semi-parfaits.

2. Modules finiment présentés sur des anneaux semi-heréditaires (Section 3) :

   • Théorème 3.10 : Si $R$ est un anneau semi-heréditaire à gauche, alors tout module finiment présenté à droite $M$ admet une décomposition $M = P \oplus N$, où $P \cong M^{**}$ (le bidual) et $N \cong \text{Ext}^1_R(\text{Tr}(M), R)$.
   • La preuve repose sur le fait que pour un anneau semi-heréditaire à gauche, tout module finiment présenté à gauche a une dimension projective $\le 1$, ce qui permet d'appliquer des propriétés spécifiques de la transpose d'Auslander-Bridger.

B. Résultats Négatifs (Échec de la décomposition)

La partie principale de l'article (Section 4) se concentre sur l'échec de cette décomposition, démontrant que les conditions suffisantes trouvées précédemment ne sont pas universelles.

1. Modules torsionnels non projectifs (Théorème 4.1) :

   • Si un anneau $R$ n'est pas à la fois parfait à droite et cohérent à gauche, il existe un module torsionnel (sous-module d'un produit direct de copies de $R$) qui n'est pas projectif.
   • Sur un anneau heréditaire à droite (ou semi-heréditaire à droite pour les modules finiment engendrés), un tel module ne peut pas être décomposé en $P \oplus N$.
   • Exemple 4.2 : Le produit infini $\prod_{i=1}^\infty \mathbb{Z}$ sur l'anneau des entiers $\mathbb{Z}$ est torsionnel mais non projectif, et ne possède pas de telle décomposition.

2. Modules cycliques sur des anneaux semi-heréditaires non Baer (Théorème 4.3) :

   • Si $R$ est semi-heréditaire à droite mais pas un anneau de Baer à droite, il existe un module cyclique torsionnel non projectif qui ne se décompose pas.

3. Modules sur les anneaux semi-artiniens de type V (Théorème 4.6) :

   • Sur un anneau semi-artiniens à droite qui est un anneau $V$ (tous les modules simples sont injectifs) mais non semi-simple, il existe un module cyclique $M$ qui ne se décompose pas en somme directe d'un projectif et d'un stable.
   • La preuve utilise la structure des socles et l'existence de sous-modules simples non finiment engendrés.

4. Le contre-exemple majeur : Module cycliquement présenté (Exemple 4.8) :

   • C'est le résultat le plus fort de l'article. Les auteurs construisent un anneau commutatif $A$ (une idéalisation d'un produit infini de corps $\mathbb{Z}_2$) et un module $M = A/J$ (où $J$ est l'idéal radical).
   • Propriétés de $M$ :
     • $M$ est finiment présenté (en fait, cycliquement présenté).
     • $M$ n'est pas projectif.
     • $M$ ne possède aucun sous-module stable non nul.
   • Conséquence : Puisque $M$ n'a pas de sous-module stable non nul, toute décomposition $M = P \oplus N$ impliquerait $N=0$, donc $M=P$, ce qui contredit le fait que $M$ n'est pas projectif.
   • De plus, grâce au Lemme 4.7, ils prouvent que $M$ n'est pas projectivement équivalent à un module stable (c'est-à-dire qu'il n'existe pas de modules projectifs $P, Q$ tels que $M \oplus P \cong N \oplus Q$ avec $N$ stable). Cela signifie que dans la catégorie stable des modules, ce module ne possède pas de représentant stable.

4. Signification et Impact

• Limites de la théorie de la décomposition : L'article démontre que la décomposition $M = P \oplus N$ n'est pas une propriété universelle, même pour des classes de modules bien comportées comme les modules finiment présentés sur des anneaux commutatifs.
• Nuance sur les anneaux semi-heréditaires : Bien que la décomposition soit garantie pour les modules finiment présentés sur les anneaux semi-heréditaires à gauche (Théorème 3.10), l'exemple 4.8 montre qu'elle échoue sur des anneaux commutatifs (qui sont donc semi-heréditaires à gauche et à droite dans certains contextes, mais ici la structure spécifique de l'anneau $A$ et du module $M$ brise la propriété). Cela souligne la subtilité des conditions nécessaires sur l'anneau et le module.
• Catégorie Stable : Le résultat sur l'Exemple 4.8 est crucial pour la théorie de la représentation. Il montre l'existence de modules qui ne peuvent pas être "stabilisés" par l'ajout de projectifs pour devenir isomorphes à un module stable. Cela enrichit la compréhension de la catégorie stable des modules au-delà des cas classiques (algèbres d'Artin, anneaux semi-parfaits).
• Outils méthodologiques : L'utilisation combinée de la dimension creuse/uniforme et de la transpose d'Auslander-Bridger offre un cadre robuste pour analyser la structure des modules au-delà des cas finiment engendrés classiques.

En résumé, cet article établit des frontières précises entre les anneaux et les modules où la décomposition projective-stable est possible, et fournit des contre-exemples sophistiqués qui défient l'intuition selon laquelle les modules finiment présentés sur des anneaux commutatifs devraient toujours admettre une telle décomposition.