Bulldozing an immersed granular material in a confined channel

Technische Samenvatting: Het bulldozen van een geïmmerseerd granulaat in een geconfineerd kanaal

Probleemstelling
Deze studie onderzoekt de mechanica van een geïmmerseerd granulaat dat wordt "gebulldoza" door een zuiger binnen een geconfineerd, horizontaal kanaal. Het systeem bestaat uit een dichte, door vloeistof verzadigde granulaire laag die aanvankelijk rust op de bodemplaat van een kanaal met een spleethoogte $b$. Een starre zuiger beweegt met een constante snelheid en verplaatst zowel de korrels als de interstitiële vloeistof. Het probleem wordt gekenmerkt door complexe interacties tussen korrel-korrel wrijving, korrel-vloeistof weerstand en korrel-wand wrijving. De specifieke focus ligt op de vorming van een "gebruid" gebied waar korrels zich ophopen om de kanaalspleet te vullen, een transitiezone waar de hoogte van de granulaire laag toeneemt van de initiële waarde naar de kanaalhoogte, en het onverstoorde verre veld. Dit werk generaliseert eerdere studies naar droog granulaar bulldozen (die de vloeistof negeerden) en capillaire-gestuurde granulaire verplaatsing (die vaak vertrouwden op regelgebaseerde simulaties) door een continuümmodel voor het gekoppelde vloeistof-korrel systeem te ontwikkelen.

Methodologie
De auteurs ontwikkelen een gereduceerd orde continuümmodel gebaseerd op een diepte-gemiddelde, twee-fase, twee-laag benadering. Het systeem wordt behandeld als een gekoppelde set dunne films: een bovenste laag van incompressibele Newtoniaanse vloeistof en een onderste laag van door vloeistof verzadigd granulaat.

• Governing Equations (Sturingsvergelijkingen): Behoud van massa en impuls worden toegepast onder een lubrificatie-benadering (ervan uitgaande dat het kanaal dun is en de zuigerm beweging traag is, zodanig dat macroscopische traagheid verwaarloosbaar is). De granulaire fase wordt gemodelleerd als een dicht, poreus, visco-plastisch materiaal.
• Rheologie: De interne mechanica van de granulaire fase wordt beschreven met behulp van $\mu(I)$-type rheologieën. De auteurs beschouwen twee regimes die worden onderscheiden door het Stokes-getal ($St$):
  • Droge limiet ($St \gg 1$): Traagheidseffecten domineren; de granulaire viscositeit wordt beschreven door het inertiële getal $I$.
  • Natte limiet ($St \ll 1$): Viskeuze effecten domineren; de granulaire viscositeit wordt beschreven door het viskeuze getal $I_v$.
• Randvoorwaarden: Het model incorporeert Coulomb-achtige wrijving bij de boven- en onderwanden. Korrels glijden alleen wanneer de lokale schuifspanning een drempel overschrijdt die wordt gedefinieerd door de lokale normale spanning en een wandwrijvingscoëfficiënt ($\mu_w$). Een belangrijke uitdaging die wordt aangepakt, is de overgang tussen ongebruid (vloeistof-schuif gedomineerd) en gebruid (wandwrijving gedomineerd) stadium.
• Regularisatie: Om de discontinue aard van yield-stress vloeistoffen en wandslip (waar regio's van glijden en plakken naast elkaar bestaan) te behandelen, introduceren de auteurs een nieuw regularisatieschema met behulp van hyperbooltangent-functies. Dit maakt een enkele, continue numerieke oplossing mogelijk zonder expliciet de vrije grenzen tussen bezonken en niet-bezonken regio's te volgen.
• Numerieke en Experimentele Validatie: Het model wordt numeriek opgelost in een frame dat meebeweegt met de zuiger. Resultaten worden vergeleken met een reeks laboratoriumexperimenten uitgevoerd in een vierkante glazen buis met glazen kralen en interstitiële vloeistoffen (water en glyceroloplossingen) bij variërende zuigersnelheden.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Droog Regime ($St \gg 1$):

   • In het gebruide gebied is het snelheidsprofiel van de korrels niet-monotoon, met een centraal "plugged" gebied (waar korrels als een star lichaam bewegen) dat wordt ingesloten door bezonken regio's nabij de wanden.
   • De normale spanning bij de zuiger groeit exponentieel met de lengte van het gebruide gebied, consistent met het klassieke Janssen-effect en eerdere discrete-element methode (DEM) simulaties.
   • De vorm van de transitiezone (de wig van stijgende korrels) hangt af van het Froude-getal ($Fr$). Naarmig $Fr$ toeneemt, verkort de transitiezone en wordt de helling van de korrelstap steiler, waarbij deze de wandwrijvingshoek nadert.

2. Nat Regime ($St \ll 1$):

   • De aanwezigheid van de vloeistof introduceert een niet-monotoon gedrag in de lengte van de transitiezone ($\lambda$) als functie van de gemodificeerde Shields-parameter ($\theta$), die de vloeistofschuifspanning meet ten opzichte van het gewicht van de korrels.
   • Bij een lage $\theta$ heeft de vloeistof een verwaarloosbare impact en gedraagt het systeem zich vergelijkbaar met het droge geval.
   • Naarmig $\theta$ toeneemt, verlengt de viskeuze weerstand van de bovenliggende vloeistoflaag de transitiezone.
   • Voorbij een kritische $\theta$ voorspelt het model dat een stationaire travelling-wave oplossing voor de transitiezone niet langer bestaat; de zone verlengt zich voortdurend, en bij een voldoende hoge $\theta$ slagen de korrels er niet in om de spleet volledig te bruggen.

3. Experimentele Vergelijking:

   • Het model vertoont brede kwalitatieve overeenstemming met experimenten wat betreft de vorm van de korrelstap en de niet-monotone variatie van de transitiezone-lengte met $\theta$.
   • Kwantitatieve discrepanties in de lengte van de transitiezone werden waargenomen. De auteurs schrijven dit toe aan het weglaten van zijwandwrijving in het basismodel. Wanneer zijwandwrijving in het model wordt opgenomen, verbetert de overeenstemming met de experimentele gegevens aanzienlijk.
   • Snelheidsprofielen gemeten via Particle Image Velocimetry (PIV) komen over het algemeen overeen met de voorspelling van het model van een monotoon toenemende snelheid met de hoogte in de transitiezone, hoewel het model een convexe kromming ($\partial^2_z u_s < 0$) voorspelt die niet volledig wordt gevangen in de experimenten.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt het eerste quasi-1D/2D continuümmodel te zijn dat is afgeleid van fundamentele mechanica voor het bulldozen van geïmmerseerd granulaat in geconfineerde geometrieën. Het slaagt erin de kloof te overbruggen tussen droge granulaire stromingstheorieën en vloeistof-korrel interactieproblemen.

De auteurs stellen bescheiden dat hun model de essentiële fysica van de interacties tussen wandwrijving, interne viskeuze-achtige spanningen en vloeistofstroom vastlegt. Ze benadrukken dat de regularisatietechniek een efficiënte simulatie van complexe wrijvingsstromingspatronen mogelijk maakt zonder de noodzaak van free-boundary tracking. Hoewel het model de belangrijkste experimentele trends reproduceert, erkennen de auteurs beperkingen, waaronder de aanname van een constante vaste fractie (het negeren van compactie/dilatatie), de verwaarlozing van macroscopische traagheid, en de vereenvoudigde behandeling van zijwandeffecten. Ze suggereren dat toekomstig werk dit kader kan uitbreiden om niet-bevochtigende vloeistoffen te incorporeren om capillaire-gestuurde granulaire verplaatsing in Hele-Shaw cellen en capillaire buizen beter te modelleren.