A Normality Conjecture on Rational Base Number Systems

Titel: Een Normaliteitsvermoen over Rationale Basis Nummersystemen

Auteurs: Mélodie Andrieu, Shalom Eliahou, en Léo Vivion

1. Probleemstelling en Achtergrond

Het artikel onderzoekt het rationele basesysteem voor getallen, geïntroduceerd door Akiyama, Frougny en Sakarovitch (2008). In tegenstelling tot de klassieke gehele basesystemen (zoals decimaal of binair), waarbij de basis een geheel getal $b$ is, wordt hier een rationale basis $p/q$ gebruikt, waarbij $p$ en $q$ onderling ondeelbare positieve gehele getallen zijn met $p > q$.

In dit systeem wordt een niet-negatief geheel getal $n$ uniek voorgesteld als een eindige woord $a_k \dots a_0$ met letters uit het alfabet $\{0, 1, \dots, p-1\}$, zodanig dat:
$$n = \frac{1}{q} \sum_{i=0}^k a_i \left(\frac{p}{q}\right)^i$$

Wanneer $q \neq 1$, vertoont dit systeem complex gedrag. Uit dit systeem ontstaan twee interessante families van oneindige woorden: minimale woorden ($w_{min}$) en maximale woorden ($w_{max}$). Deze worden gedefinieerd als de oneindige paden in de boom van gehele getallen die respectievelijk lexicografisch minimaal of maximaal zijn, gegeven een zadenwoord (een eindige expansie van een geheel getal).

Het centrale probleem:
Hoewel bekend is dat deze woorden niet periodiek zijn, is hun statistische structuur onbekend. De auteurs formuleren het vermoeden dat deze woorden normaal zijn over een specifiek subalfabet. Een oneindig woord is normaal over een alfabet van grootte $d$ als elke mogelijke subwoord van lengte $l$ voorkomt met dezelfde limietfrequentie $1/d^l$.

2. Kernvermoens (Conjectures)

De auteurs stellen twee hoofdvermoens op:

• Conjecture 1.2 (Normaliteitsvermoen):

  • Voor elke rationale basis $p/q$ en elke zadenwoord $u$ (behalve de lege woord $\epsilon$), is het oneindige minimale woord $w_{min}^{p/q}(u)$ normaal over het subalfabet $\{0, 1, \dots, q-1\}$.
  • Het maximale woord $w_{max}^{p/q}(u)$ is normaal over het subalfabet $\{p-q, \dots, p-1\}$.
  • Opmerking: Voor $q=1$ (gehele bases) is dit triviaal waar. De uitdaging ligt bij $q > 1$.

• Conjecture 1.6 (Equiverdeling):

  • De rij van iteraties van de operator $T_{p/q}(x) = \lceil \frac{p}{q}x \rceil$ is equiverdeeld in de restklassen modulo $q^k$ voor elke $k$.

Theorema 1.7: De auteurs bewijzen dat Conjecture 1.2 en Conjecture 1.6 equivalent zijn.

3. Methodologie

De paper combineert wiskundige bewijstechnieken met uitgebreide numerieke experimenten.

A. Wiskundige Analyse

• Relatie met bestaande problemen: De auteurs tonen aan dat de geldigheid van hun normaliteitsvermoen impliceert dat een reeks langdurige open problemen waar zijn:
  1. Mahler's Z-getallen (1968): Het bestaan van 'Z-getallen' (reële getallen $x$ waarbij de breukdelen van $x(3/2)^n$ in $[0, 1/2)$ blijven) is onmogelijk.
  2. Veralgemening (Z$_{p/q}$-getallen): Geen bestaan van $x$ waarbij $\{x(p/q)^n\} \subset [0, 1/q)$ voor $p < q^2$.
  3. Akiyama's Drievoudige Expansie (2008): Geen enkel reëel getal heeft drie verschillende expansies in een rationele basis.
  4. Dubickas & Mossinghoff (2009): De terminatie van bepaalde iteratieve kaarten op gehele getallen (vergelijkbaar met het Collatz-probleem).
• Bewijsstrategie: Ze gebruiken de link tussen de minimaliteit van woorden en de operator $T_{p/q}$ om te laten zien dat normaliteit (die impliceert dat elke letter voorkomt) voldoende is om deze conjectures te bewijzen.

B. Numerieke Experimenten

Om het vermoen te ondersteunen, voeren de auteurs twee soorten experimenten uit op een grote dataset:

1. Dataset: In totaal werden 139 minimale woorden geanalyseerd tot lengte $10^6$ en 40.000 minimale woorden tot lengte $10^5$. Dit omvat diverse bases ($2 \le q < p \le 26$) en willekeurige zaden.
2. Experiment 1: Rijkheidsschwellen (Richness Threshold):
   • Gemeten: Hoe lang moet een woord zijn voordat alle mogelijke subwoorden van lengte $l$ voorkomen?
   • Vergelijking: De resultaten werden vergeleken met willekeurige woorden, de expansies van $\pi$ en $\sqrt{2}$, en bekende normale woorden (zoals het Champernowne-woord).
   • Doel: Een woord moet "rijk" zijn (alle subwoorden bevatten) om normaal te kunnen zijn.
3. Experiment 2: Afwijking van Uniformiteit (Discrepancy):
   • Gemeten: De statistische afwijking van de frequentie van subwoorden van de ideale uniforme verdeling ($1/d^l$).
   • Vergelijking: De verdeling van deze afwijkingen bij minimale woorden werd vergeleken met die van willekeurige woorden.

4. Belangrijkste Resultaten

• Theoretische Implicaties:

  • Het bewijs dat Conjecture 1.2 sterker is dan de conjectures van Mahler, Akiyama en Dubickas/Mossinghoff. Als de woorden normaal zijn, moeten ze per definitie elke letter bevatten, wat direct leidt tot het onbestaan van drievoudige expansies en Z-getallen.
  • Een formele link gelegd tussen de normaliteit van woorden in rationale bases en de equiverdeling van iteraties van de operator $\lceil \frac{p}{q}x \rceil$.

• Numerieke Bevindingen:

  • Rijkheid: De minimale woorden tonen een rijkheidsschwellen die statistisch niet te onderscheiden is van die van willekeurige woorden. Ze bevatten alle subwoorden binnen verwachte grenzen.
  • Normaliteit: De afwijking van uniformiteit (discrepancy) in de minimale woorden volgt dezelfde asymptotische trend ($O(\sqrt{\log \log n / n})$) en verdeling als willekeurige woorden.
  • Contrast: In tegenstelling tot de Champernowne-woorden of de Bruijn-woorden (die ook normaal zijn maar een zeer gestructureerd, niet-willekeurig patroon vertonen), gedragen de minimale woorden in rationale bases zich als pure willekeur.

5. Betekenis en Conclusie

Dit artikel is significant omdat het een brug slaat tussen de theorie van getalstelsels, combinatoriek op woorden en de theorie van normale getallen.

1. Nieuw Perspectief: Het introduceert het idee dat de complexe, chaotische structuur van rationale basesystemen leidt tot woorden die "willekeuriger" zijn dan bekende constructieve normale getallen.
2. Oplossing van Open Problemen: Het biedt een krachtige, al dan niet bewezen, route om enkele van de meest hardnekkige open problemen in de getaltheorie (zoals het bestaan van Z-getallen) op te lossen.
3. Empirische Onderbouwing: De auteurs leveren de meest uitgebreide numerieke studie tot nu toe, die sterk suggereert dat het vermoen waar is, hoewel een formeel wiskundig bewijs voor de normaliteit zelf nog ontbreekt.

De auteurs concluderen dat de minimaliteit en maximaliteit in rationale basesystemen een mechanisme lijkt te zijn dat oneindige woorden genereert die statistisch equivalent zijn aan willekeurige rijen, wat een diep inzicht biedt in de aard van deze getalstelsels.