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A Normality Conjecture on Rational Base Number Systems

Cet article propose la conjecture que les mots minimaux et maximaux des systèmes de numération à base rationnelle sont normaux sur un sous-alphabet approprié, soutenant cette hypothèse par des expériences numériques et en discutant de ses implications pour plusieurs problèmes mathématiques ouverts, notamment l'existence de nombres $Z$ et le problème « 4/3 ».

Auteurs originaux : Mélodie Andrieu, Shalom Eliahou, Léo Vivion

Publié 2026-04-08

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Mélodie Andrieu, Shalom Eliahou, Léo Vivion

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

🌍 Le Grand Voyage dans les Chiffres : Une Enquête sur le Chaos et l'Ordre

Imaginez que vous avez une machine à écrire magique. Dans le monde habituel, si vous voulez écrire un nombre, vous utilisez une base classique, comme la base 10 (nos chiffres de 0 à 9). C'est comme une route bien pavée : chaque nombre a une place fixe et logique.

Mais les auteurs de ce papier, Mélodie, Shalom et Léo, s'intéressent à une route très bizarre : les "systèmes de numération à base rationnelle". C'est comme si la règle du jeu changeait à chaque fois que vous avancez. Au lieu de diviser par 10, vous divisez par des fractions étranges, comme 7/3 ou 5/2.

Dans ce monde étrange, les nombres ne s'écrivent plus de manière simple. Ils deviennent des suites infinies de chiffres qui semblent danser au hasard.

🎭 Les Deux Personnages : Le Minimal et le Maximal

Dans ce système chaotique, les auteurs ont découvert deux types de "récits" infinis qui émergent naturellement, comme deux personnages de conte :

Le Mot Minimal (Le Timide) : C'est la suite de chiffres la plus petite possible qu'on peut construire pour un nombre donné. Imaginez un enfant qui essaie de construire une tour de Lego en utilisant toujours le plus petit bloc possible, sans jamais faire tomber la tour.
Le Mot Maximal (L'Audacieux) : C'est l'inverse. C'est la suite la plus grande possible, utilisant les plus gros blocs disponibles.

Le mystère : Quand on regarde ces suites infinies, elles semblent totalement désordonnées. Les chiffres apparaissent dans un ordre qui ressemble à un dé lancé en l'air.

🎲 L'Hypothèse Centrale : "Tout est Normal"

C'est ici que la conjecture (l'hypothèse de travail) entre en jeu. Les auteurs pensent que, malgré leur apparence chaotique, ces mots "Minimaux" et "Maximaux" sont en réalité parfaitement équilibrés.

En langage mathématique, ils disent qu'ils sont "normaux".

L'analogie du dé : Si vous lancez un dé équilibré des milliards de fois, vous obtiendrez autant de 1, de 2, de 3, etc. Si vous regardez des paires de chiffres (1-1, 1-2, 2-3...), ils apparaîtront tous avec la même fréquence.
La conjecture : Les auteurs disent que ces mots infinis, nés de règles mathématiques très strictes, se comportent exactement comme un dé parfaitement équilibré. Chaque combinaison de chiffres y apparaît exactement autant que les autres, au fur et à mesure qu'on avance.

C'est surprenant ! On s'attendrait à ce que des règles mathématiques rigides créent des motifs répétitifs (comme un carrelage). Or, ici, la rigueur crée un chaos statistique parfait.

🔍 L'Enquête Numérique (Les Preuves)

Comme ils ne peuvent pas prouver mathématiquement que c'est vrai pour l'éternité (c'est très difficile !), ils ont fait ce que font les détectives modernes : ils ont calculé.

Ils ont généré 40 000 de ces mots infinis sur des ordinateurs.
Ils ont regardé des millions de chiffres.
Ils ont comparé ces mots avec des mots générés par un vrai générateur aléatoire (comme un ordinateur qui lance des dés virtuels).

Le résultat ? C'est bluffant. Les mots mathématiques "Minimaux" et "Maximaux" sont indistinguables des mots aléatoires. Ils ont la même richesse, la même distribution, le même "chaos ordonné". C'est comme si vous preniez deux personnes : l'une dessine des motifs complexes avec une règle, l'autre lance des points au hasard. À force de regarder, on ne sait plus qui est qui.

🧩 Pourquoi est-ce important ? (Les Conséquences)

Si cette hypothèse est vraie, cela ouvre des portes sur des énigmes mathématiques qui traînent depuis des décennies :

Le problème des "Z-numéros" (Mahler, 1968) : Une vieille question sur l'existence de certains nombres spéciaux. Si nos mots sont "normaux", alors ces nombres spéciaux n'existent tout simplement pas.
Le problème de la "Triple Expansion" : Dans notre système habituel, un nombre a une seule écriture (sauf pour les 999... = 1,000...). Dans ce système bizarre, un nombre pourrait théoriquement avoir trois écritures différentes. Les auteurs pensent que non, grâce à la normalité de ces mots.
Le lien avec la conjecture de Collatz : C'est le problème mathématique le plus célèbre et le plus dur au monde (le problème de la "boucle 3x+1"). Il y a une ressemblance troublante entre nos mots et ce problème. Si nos mots sont bien "normaux", cela pourrait donner un indice précieux pour résoudre l'énigme de Collatz, même si ce n'est pas une preuve directe.

🏁 En Résumé

Imaginez que vous avez découvert une machine qui produit des suites de chiffres. Au premier coup d'œil, ça ressemble à du bruit blanc, du chaos total. Mais en y regardant de plus près, vous vous rendez compte que ce "bruit" est en fait une symphonie parfaite où chaque note est jouée exactement le même nombre de fois.

Ce papier dit : "Nous croyons que cette symphonie est parfaite pour toutes les machines de ce type. Et si c'est vrai, cela résout plusieurs mystères mathématiques vieux de 50 ans."

Les auteurs ne l'ont pas encore prouvé à 100 % (c'est encore une conjecture), mais leurs expériences numériques sont si fortes qu'ils sont presque sûrs d'avoir raison. C'est une belle histoire où l'ordre mathématique cache un désordre parfait.

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse aux systèmes de numération à base rationnelle $p/q$ (où $p > q \ge 1$ sont des entiers premiers entre eux), introduits par Akiyama, Frougny et Sakarovitch en 2008. Contrairement aux bases entières classiques ( $q=1$ ), ces systèmes présentent un comportement complexe et non régulier pour les entiers.

Au sein de ces systèmes, deux familles d'objets mathématiques émergent naturellement :

Les mots minimaux ( $w_{min}$ ) : définis comme les suites infinies dont les préfixes sont les plus petits lexicographiquement parmi tous les mots qui peuvent être étendus en une expansion d'entier valide.
Les mots maximaux ( $w_{max}$ ) : définis de manière duale (plus grands lexicographiquement).

Le problème central est de comprendre la structure statistique et combinatoire de ces mots infinis. Les auteurs émettent l'hypothèse que ces mots, loin d'être chaotiques de manière aléatoire, possèdent une structure très régulière : ils seraient normaux sur un sous-alphabet approprié.

2. Conjectures Principales

Les auteurs formulent la Conjecture 1.2 :

Pour toute base rationnelle $p/q$ et tout entier $n$ (sauf $n=0$ pour le mot minimal), le mot minimal $w_{min}^{p/q}(n)$ est normal sur l'alphabet $\{0, \dots, q-1\}$ .
Le mot maximal $w_{max}^{p/q}(n)$ est normal sur l'alphabet $\{p-q, \dots, p-1\}$ .

Un mot est dit normal sur un alphabet de taille $d$ si chaque sous-mot de longueur $l$ apparaît avec une fréquence asymptotique égale à $1/d^l$ .

Cette conjecture est liée à d'autres problèmes ouverts majeurs :

L'existence de nombres Z (conjecture de Mahler, 1968) et de nombres $Z_{p/q}$ .
L'existence d'expansions triples pour les réels en base rationnelle (conjecture d'Akiyama, 2008).
La terminaison de certaines applications itérées sur les entiers (problème « 4/3 » de Dubickas et Mossinghoff, 2009).

3. Méthodologie

La démarche des auteurs combine des preuves théoriques et des expériences numériques massives.

A. Approche Théorique

Équivalence avec l'équidistribution : Les auteurs établissent un lien fondamental entre la normalité des mots minimaux et l'équidistribution d'une suite d'entiers générée par un opérateur spécifique $T_{p/q}(x) = \lceil \frac{p}{q} x \rceil$ $T_{p / q} (x) = ⌈ \frac{p}{q} x ⌉$ .
- Ils prouvent que la Conjecture 1.2 (normalité) est équivalente à la Conjecture 1.6 (équidistribution des itérés de $T_{p/q}$ modulo $q^k$ ).
Implications : Ils démontrent que si leur conjecture est vraie, alors :
- Les nombres $Z_{p/q}$ n'existent pas (pour $p < q^2$ ).
- Aucun nombre réel n'admet plus de deux expansions en base $p/q$ (résolvant la conjecture d'Akiyama).
- Le problème « 4/3 » de Dubickas et Mossinghoff a une réponse positive.

B. Approche Numérique

Pour soutenir la conjecture, les auteurs ont réalisé des expériences computationnelles sur 139 mots minimaux (jusqu'à $10^6$ lettres) et 40 000 mots (jusqu'à $10^5$ lettres) dans diverses bases ( $2 \le q < p \le 26$ ).

Deux métriques principales ont été analysées :

Le seuil de richesse (Richness Threshold) : Pour un mot infini, c'est la longueur minimale du préfixe nécessaire pour que tous les sous-mots de longueur $l$ $l$ apparaissent au moins une fois. Un mot normal doit être « riche » (contenir tous les sous-mots possibles).
- Comparaison : Les seuils des mots minimaux ont été comparés à ceux de mots aléatoires, de $\pi$ et de $\sqrt{2}$ en base $q$ .
La déviation de l'uniformité (Discrepancy) : Mesure de l'écart entre la fréquence empirique des sous-mots de longueur $l$ $l$ dans un préfixe et la fréquence théorique uniforme ( $1/q^l$ $1/ q^{l}$ ).
- Comparaison : Analyse de la convergence de cette déviation par rapport aux mots aléatoires.

Les calculs ont été effectués en Python, en utilisant l'algorithme de division modifiée (MD algorithm) pour générer les mots, ce qui a nécessité la manipulation d'entiers très grands.

4. Résultats Clés

Résultats Théoriques

Théorème 1.5 & 1.7 : Preuve rigoureuse que la normalité des mots minimaux implique l'inexistence des nombres $Z_{p/q}$ (pour $p < q^2$ ) et l'équidistribution des itérés de l'opérateur $T_{p/q}$ .
La conjecture de normalité est strictement plus forte que les conjectures d'Akiyama et de Dubickas/Mossinghoff. Par exemple, prouver simplement que le chiffre 0 apparaît au moins une fois dans chaque mot minimal suffit à prouver la conjecture d'Akiyama (sur les expansions triples).

Résultats Numériques

Richesse : Les mots minimaux étudiés semblent tous « riches ». Leurs seuils de richesse (le moment où tous les sous-mots de longueur $l$ $l$ apparaissent) sont finis et suivent une distribution statistique très proche de celle des mots aléatoires.
- Contrairement aux mots de Champernowne ou aux mots de De Bruijn (qui sont normaux mais ont des seuils de richesse très prévisibles et différents), les mots minimaux se comportent statistiquement comme des séquences aléatoires.
Déviation : La déviation de l'uniformité des sous-mots dans les mots minimaux décroît à un taux comparable à celui des mots aléatoires (de l'ordre de $O(\sqrt{\log \log n / n})$ ).
Distribution : Les distributions des seuils de richesse et des déviations pour les 40 000 mots testés sont quasi-indistinguables de celles d'un ensemble de mots aléatoires générés de la même manière.

5. Signification et Impact

Avancée conceptuelle : Ce travail propose une unification profonde entre la théorie des nombres (systèmes de numération), la combinatoire des mots (normalité, complexité) et la théorie des probabilités (comportement aléatoire).
Résolution potentielle de problèmes ouverts : Si la conjecture est prouvée, elle résoudrait automatiquement plusieurs problèmes ouverts depuis des décennies (Mahler, Akiyama, Dubickas/Mossinghoff).
Nature des mots minimaux : Les résultats suggèrent que, bien que générés par un processus déterministe et arithmétique complexe, les mots minimaux en base rationnelle possèdent une « pseudo-aléatoire » parfaite, les rendant statistiquement indiscernables de séquences aléatoires, contrairement à d'autres suites normales célèbres qui ont des structures plus rigides.
Perspectives : Les auteurs ouvrent la voie à l'étude de la « supernormalité » (propriétés de Poisson) et à la généralisation de ces conjectures à d'autres systèmes de numération.

En conclusion, l'article fournit des preuves numériques convaincantes et des liens théoriques solides suggérant que les mots minimaux et maximaux en base rationnelle sont normaux, une propriété qui aurait des répercussions majeures sur plusieurs domaines des mathématiques discrètes et de la théorie des nombres.