Axial Symmetric Navier Stokes Equations and the Beltrami /anti Beltrami spectrum in view of Physics Informed Neural Networks

Dit artikel legt de theoretische basis voor het oplossen van de axiaal-symmetrische Navier-Stokes-vergelijkingen in een cilindrische topologie door een volledige basis van Beltrami- en anti-Beltrami-vormen te construeren, die als fundament zullen dienen voor een toekomstig optimalisatie-algoritme op basis van Physics Informed Neural Networks.

De kern

De Dans van het Water: Een Nieuwe Manier om Stroming te Begrijpen

Stel je voor dat je kijkt naar een rivier die door een buis stroomt, of naar bloed dat door een ader stroomt. Water is niet zomaar een vloeistof; het is een chaotische danser. Het draait, draait, en vormt wervels die soms heel mooi zijn en soms heel onvoorspelbaar. Wiskundigen noemen dit de Navier-Stokes vergelijkingen. Dit is een van de moeilijkste raadsels in de natuurkunde. Het beschrijft hoe vloeistoffen bewegen, maar het is zo complex dat supercomputers er vaak alleen maar met "gokjes" (numerieke benaderingen) uitkomen, zonder echt te begrijpen waarom het zo werkt.

De auteur van dit paper, Pietro Fré, probeert een nieuwe weg te vinden. Hij wil niet alleen een getal berekenen, maar de onderliggende muziek van de stroming ontdekken.

1. De Drie Soorten Dansers: Beltrami, Anti-Beltrami en de Stilstaanders

In het verleden hebben wetenschappers gekeken naar vloeistofstromen in een kubus (een 3D-blok). Maar hier kijkt de auteur naar een cilinder (een buis). Stel je een lange, ronde slang voor.

Hij ontdekt dat je elke mogelijke stroming in zo'n buis kunt opbreken in drie soorten "dansers" of bouwstenen:

1. De Linkse Draaiers (Beltrami): Deze stromen draaien rondom de as van de buis in de ene richting (zoals een schroef die naar links draait).
2. De Rechtse Draaiers (Anti-Beltrami): Deze draaien precies andersom (naar rechts).
3. De Stilstaanders (Gesloten vormen): Deze stromen draaien niet rondom de as, maar bewegen gewoon rechtuit of in een cirkel zonder rotatie.

De Analogie:
Stel je een orkest voor.

• De Linkse Draaiers zijn de violisten die in een bepaalde toon spelen.
• De Rechtse Draaiers zijn de cellisten die in een andere toon spelen.
• De Stilstaanders zijn de fluitisten die een rechte toon blazen.

Het mooie aan dit paper is dat de auteur een perfecte lijst (een basis) heeft gemaakt van alle mogelijke noten die deze instrumenten kunnen spelen in een buis. Hij gebruikt daarvoor wiskundige functies die lijken op de trillingen van een drumvel (Besselfuncties) en golven die op en neer gaan (goniometrische functies).

2. De Magische "Diamant" (De Diamond Product)

Het grootste probleem bij vloeistoffen is dat ze niet lineair zijn. Als je twee stromingen bij elkaar doet, krijg je niet zomaar de som van de twee. Ze botsen op elkaar en creëren iets heel nieuws.

In de wiskunde van dit paper noemt hij dit de "Diamant-product".

• De Analogie: Stel je voor dat je twee kleuren verf mengt. Rood en Blauw geven niet zomaar "Rood + Blauw", maar paars.
• In dit paper laat de auteur zien: als je een Linkse Draaier mengt met een Rechtse Draaier, verdwijnt de draaiing en ontstaat er een Stilstaander (een rechte stroming).
• Dit is cruciaal! Het betekent dat de chaos van de stroming eigenlijk een heel strakke, wiskundige regel volgt. De ene beweging "annihileert" de andere en maakt ruimte voor een nieuwe.

3. De Nieuwe Spelregels: AI en Wiskunde

Normaal gesproken proberen computers de Navier-Stokes vergelijking op te lossen door de buis in miljoenen kleine blokjes te hakken en te rekenen. Dat is als proberen een schilderij te maken door elke pixel apart te kleuren.

De auteur stelt een nieuwe strategie voor, gebaseerd op AI (Kunstmatige Intelligentie), specifiek "Physics Informed Neural Networks".

• De Oude Methode: Rekenen op de ruwe data.
• De Nieuwe Methode (de "Basis"): In plaats van te rekenen op de ruwe vloeistof, vult hij de buis met zijn lijst van "perfecte dansers" (de basisfuncties). Hij zegt: "Laten we niet kijken naar de vloeistof zelf, maar laten we kijken naar de coëfficiënten (de aantallen) van elke danser."

Hij stelt een algoritme voor dat deze aantallen (hoeveel linkse draaiers, hoeveel rechtse, hoeveel stilstaanders) zo aanpast dat ze perfect samenkomen tot een echte oplossing.

De Analogie:
Stel je voor dat je een recept wilt maken voor een perfecte taart.

• De oude manier is: Probeer elke mogelijke hoeveelheid suiker, bloem en eieren door elkaar te gooien en te proeven tot het lekker is.
• De nieuwe manier (van dit paper) is: Je hebt een lijst met de perfecte ingrediënten. Je gebruikt een slimme robot (de AI) om precies te berekenen hoeveel gram van elk ingrediënt je nodig hebt, gebaseerd op de wiskundige regels van de "Diamant" (hoe de ingrediënten met elkaar reageren).

4. Waarom is dit belangrijk?

Dit paper is nog geen volledig opgelost probleem. Het is meer een bouwtekening of een gereedschapskist.

• Het laat zien dat je de complexe chaos van water in een buis kunt beschrijven met een heel strakke, symmetrische structuur.
• Het biedt de theoretische basis om in de toekomst een computerprogramma te schrijven dat deze "dansers" automatisch combineert om exacte oplossingen te vinden.
• Het helpt ons te begrijpen dat achter de schijnbare chaos van een storm of een stromende rivier een diepe, wiskundige orde schuilt.

Kortom:
De auteur heeft een nieuwe taal ontwikkeld om waterstromen in buizen te beschrijven. In plaats van te praten over "chaos", praat hij over een orkest van draaiende en rechte golven die volgens strakke regels met elkaar dansen. Met behulp van slimme computers (AI) hoopt hij in de toekomst de exacte partituur van deze dans te kunnen vinden, wat ons kan helpen betere voorspellingen te doen over weer, stroming en zelfs hoe bloed door ons lichaam stroomt.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Axial Symmetric Navier Stokes equations and the Beltrami/anti Beltrami spectrum in view of Physics Informed Neural Networks" van Pietro Fré, in het Nederlands.

Titel: Axiale Symmetrische Navier-Stokes-vergelijkingen en het Beltrami/anti-Beltrami-spectrum in het licht van Physics Informed Neural Networks

Auteur: Pietro Fré (Universiteit van Turijn & Additati&Partners Consulting)

---

1. Probleemstelling

De Navier-Stokes-vergelijkingen (NS) voor vloeistofdynamicas zijn fundamenteel maar uiterst moeilijk op te lossen vanwege hun niet-lineariteit. Traditionele benaderingen zoals Computational Fluid Dynamics (CFD) gebruiken discretisatie (bijv. eindige differenties) om numerieke oplossingen te vinden, maar geven vaak geen inzicht in de onderliggende analytische structuren of de oorzaken van chaos.

De auteur richt zich op een specifieke maar fysiek relevante configuratie: stijve, axiaal symmetrische stromingen in een cilindrische buis met geïdentificeerde tegenoverliggende bases (topologie van een cilinder met periodieke randvoorwaarden in de $z$-richting). Het doel is om een volledig functioneel basisstelsel te construeren dat bestaat uit Beltrami-velden, anti-Beltrami-velden en gesloten vormen (irrotational flows) binnen deze topologie. Dit dient als fundament voor een nieuwe aanpak om exacte of benaderende oplossingen te vinden met behulp van Physics Informed Neural Networks (PINN), waarbij de oplossing wordt gereduceerd tot een algebraïsch probleem in plaats van een differentiaalvergelijking.

2. Methodologie

De methode combineert geometrische vloeistofmechanica, groepentheorie en functionaalanalyse:

• Geometrische Herformulering: De NS-vergelijkingen worden herschreven in termen van differentiaalvormen op een Riemann-variëteit. De snelheidsvector $\mathbf{U}$ wordt geassocieerd met een 1-vorm $\Omega[\mathbf{U}]$. De Beltrami-conditie ($\nabla \times \mathbf{U} = \lambda \mathbf{U}$) wordt gekoppeld aan contactstructuren en de Reeb-veldtheorie.
• Topologie en Randvoorwaarden: In plaats van een 3-torus ($T^3$) zoals in eerdere werken, wordt een cilindrische topologie gebruikt ($S^1 \times S^1 \times [0,1]$). Periodieke randvoorwaarden worden opgelegd in de $z$-richting, en de snelheid moet verdwijnen op de wand ($r=1$).
• Constructie van de Basis:
  • De oplossing wordt gezocht in de ruimte $L^2_{axial}$ van axiaal symmetrische velden.
  • De basisfuncties worden opgebouwd uit producten van Besselfuncties (voor de radiale component $r$) en trigonometrische functies (voor de longitudinale component $z$).
  • Specifiek worden de nulpunten van Besselfuncties ($j_{1,n}$) gebruikt om een orthonormale basis te definiëren op het interval $r \in [0,1]$.
• Decompositie: Voor elke energieschil (geïndexeerd door $(n, k)$) wordt de ruimte van harmonische 1-vormen ontbonden in zes componenten:
  1. Twee Beltrami-vormen (linkerdraaiend).
  2. Twee anti-Beltrami-vormen (rechterdraaiend).
  3. Twee gesloten vormen (irrotationeel, zonder rotatie).
• Algebraïsche Reductie: De niet-lineariteit van de NS-vergelijking (de convectieterm) wordt vertaald naar een diamantproduct ($\diamond$) tussen basisvectoren. Dit product wordt weer uitgebreid in dezelfde basis, wat leidt tot een hiërarchie van kwadratische vergelijkingen voor de expansiecoëfficiënten.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Compleet Functioneel Basisstelsel: De auteur construeert een expliciete, volledige basis van axiaal symmetrische harmonische 1-vormen voor een cilindrische buis. Deze basis omvat Beltrami, anti-Beltrami en gesloten vormen, uitgedrukt in Bessel- en trigonometrische functies.
2. Tripartiet Beltrami-Index: In tegenstelling tot eerdere werken op een torus waar de index chirale (Beltrami/anti-Beltrami) was, wordt hier een tripartiete index voorgesteld voor cilindrische stromingen:
   • Laevo-rotatoir (Beltrami).
   • Dextro-rotatoir (anti-Beltrami).
   • Irrotationeel (gesloten vormen).
     Dit biedt een fysisch intuïtief beeld van hoe deze componenten interageren.
3. De Diamantproduct-Decompositie: De auteur introduceert een algebraïsche structuur (het diamantproduct) die de niet-lineaire interactie tussen basisvectoren beschrijft. De coëfficiënten van deze decompositie worden berekend en tabellen worden gepresenteerd (Appendix A). Dit reduceert het PDE-probleem tot een stelsel van kwadratische vergelijkingen voor de coëfficiënten.
4. Voorbereiding voor PINN: Het artikel levert de theoretische grondslag voor een toekomstig algoritme. In plaats van de differentiaaloperator te discretiseren, wordt de oplossing benaderd als een som van basisfuncties. Een Neural Network zou dan de coëfficiënten moeten optimaliseren om een verliesfunctie (de norm van de NS-vergelijking) te minimaliseren.

4. Resultaten

• Analytische Structuur: De paper toont aan dat elke harmonische 1-vorm in de buis uniek kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de zes basisvectoren per energieschil.
• Convergentie: Er wordt aangetoond dat producten van basisfuncties (zoals $G_0(r)G_1(r)$) zeer snel convergeren wanneer ze opnieuw worden uitgebreid in dezelfde basis. Numerieke voorbeelden tonen aan dat een truncatie op een lage orde al een zeer hoge precisie oplevert (zie Appendix B).
• Streamlines: Er worden visuele voorbeelden gegeven van stroomlijnen voor pure Beltrami-velden en voor superposities van Beltrami en anti-Beltrami velden. Dit toont complexe, torus-achtige structuren en helix-vormige banen, wat de rijkdom van de oplossingsruimte illustreert.
• Kwadratische Relaties: De NS-vergelijking wordt omgezet in een recursieve relatie voor de coëfficiënten $c[s]$:
  $$c[s] = \frac{1}{\nu \varpi(s)^2} \sum_{s_1, s_2} \varpi(s_2) c[s_1] c[s_2] C(s_1, s_2 | s)$$
  Waarbij $C$ de structuurcoëfficiënten van het diamantproduct zijn.

5. Betekenis en Toekomstperspectief

• Wetenschappelijke Inzicht: De aanpak verschuift de focus van puur numerieke simulatie naar het begrijpen van de onderliggende algebraïsche en symmetrische structuren van vloeistofstroming. Het maakt het mogelijk om "regels" te ontdekken die leiden tot exacte oplossingen.
• Neural Networks: De paper is een voorbereidende studie voor een volgende publicatie waarin een Physics Informed Neural Network wordt geïmplementeerd. Omdat de symmetrieën (axiaal) al in de basis zijn ingebouwd, hoeft het netwerk alleen de coëfficiënten te leren, wat de zoekruimte drastisch verkleint en de interpretatie van de uitkomsten verbetert.
• Toepassingen: Hoewel het een theoretisch model is, is de cilindrische topologie direct relevant voor praktische toepassingen zoals pijpleidingen, autoclaven, bloedvaten en chemische reactoren.
• Chaos en Beltrami-velden: De studie bevestigt en verfijnt de link tussen Beltrami-velden en Lagrangiaanse chaos, en toont aan hoe de interactie tussen Beltrami en anti-Beltrami componenten kan leiden tot irrotationele stromingen.

Conclusie:
Dit artikel biedt een robuust wiskundig raamwerk voor het analyseren van axiaal symmetrische Navier-Stokes-stromingen. Door de vergelijkingen te reduceren tot een algebraïsch probleem op een specifieke orthonormale basis, legt de auteur de basis voor een nieuwe generatie van oplossingsalgoritmen die gebruikmaken van machine learning, gericht op het vinden van exacte structuren in plaats van alleen numerieke benaderingen.