Comparison of Motivic Homotopy Theories

Dit artikel construeert vergelijkingfunctoren tussen de duale categorieën van motivische homotopie-categorieën en categorieën van lokale motieven, en toont aan dat de $\mathbb{A}^1$-invariante versie volledig-getrouw is over een lichaam dat resolutie van singulariteiten toelaat, terwijl de niet-invariante versie dit in het algemeen niet is.

De kern

Stel je voor dat wiskunde een enorme bibliotheek is, vol met verschillende soorten boeken over hoe we de wereld kunnen beschrijven. In dit specifieke boekje, geschreven door Tianjian Tan, gaat het over twee heel speciale soorten "boeken" (of theorieën) die proberen te begrijpen hoe geometrische vormen (zoals krommen en oppervlakken) zich gedragen, maar dan op een heel abstract niveau.

De auteur vergelijkt twee manieren om naar deze vormen te kijken en probeert te ontdekken of ze eigenlijk hetzelfde verhaal vertellen, of dat er belangrijke verschillen zijn.

Hier is de uitleg in gewone taal, met een paar creatieve vergelijkingen:

1. De Twee Reisgidsen (De Theorieën)

De auteur vergelijkt twee grote reisgidsen voor wiskundige landschappen:

• Gids A (SH): Dit is de "klassieke" gids. Hij is heel streng. Hij zegt: "Als je een vorm hebt en je trekt die uit tot een lange rechte lijn (de $A^1$-invariantie), dan is het resultaat precies hetzelfde als het origineel." Het is alsof je een elastiek uitrekt; in deze wereld maakt het niet uit hoe lang je het uitrekt, het blijft hetzelfde object. Dit is de theorie van Morel en Voevodsky.
• Gids B (MS): Dit is de "nieuwe, soepelere" gids van Annala, Iwasa en Hoyois. Hij is minder streng. Hij zegt: "Oké, als je een elastiek uitrekt, is het misschien niet precies hetzelfde als het origineel. We houden rekening met de rek." Hij negeert de regel dat uitrekken niets verandert.

2. De Vertaler (De Vergelijkingsfunctor)

De auteur wil weten: "Kunnen we Gids A vertalen naar een andere taal, en Gids B ook, en dan zien of de vertalingen op elkaar lijken?"

Die andere taal heet "Motieven" (specifiek localizing motives). Denk aan Motieven als een soort "universale vertaler" die alle mogelijke vormen in een standaardformaat giet, zodat je ze kunt vergelijken.

De auteur bouwt een vertaal-machine (een wiskundige functie) die:

1. De wereld van Gids A (de strenge gids) naar de wereld van Motieven vertaalt.
2. De wereld van Gids B (de soepele gids) naar de wereld van Motieven vertaalt.

3. De Spiegelwereld (Dualiteit)

Hier wordt het een beetje abstract, maar de auteur gebruikt een slimme truc. In plaats van de gidsen direct te vertalen, kijkt hij eerst naar de spiegelwereld van die gidsen.

• Stel je voor dat je een foto van een landschap hebt. De "dual" is alsof je die foto spiegelt en dan kijkt naar wat er gebeurt als je de objecten in de foto omkeert.
• De auteur ontdekt dat de spiegelwereld van deze wiskundige landschappen eigenlijk bestaat uit cosheaves (een soort tegenhanger van de gewone vormen). Het is alsof je niet naar de gebouwen kijkt, maar naar de "ruimte ertussenin" en hoe die zich gedraagt.

4. Het Grote Experiment: Werkt de Vertaling?

De auteur test zijn vertaal-machine in twee scenario's:

Scenario 1: De Strenge Gids (SH)
Als je de strenge gids (waar uitrekken niets doet) vertaalt naar de wereld van Motieven, en je doet dit op een "vriendelijke" grondgebied (een veld waar je singulariteiten kunt oplossen, denk aan een glad landschap zonder gaten), dan werkt het perfect!

• De uitkomst: De vertaling is volledig betrouwbaar (volledig getrouw). Geen informatie gaat verloren. Het is alsof je een boek in het Nederlands vertaalt naar het Frans en het verhaal blijft exact hetzelfde, woord voor woord.

Scenario 2: De Soepele Gids (MS)
Als je de soepele gids (waar uitrekken wel iets doet) vertaalt, gaat het mis.

• De uitkomst: De vertaling is niet betrouwbaar. Er gaat informatie verloren.
• Waarom? De auteur geeft een fascinerende reden. In de wereld van de soepele gids zijn er "te veel" manieren om van het ene punt naar het andere te gaan (de verzameling van mogelijke paden is oneindig groot en onoverzichtelijk, zoals de getallen in een onbepaalde decimaal). In de wereld van de vertaler (Motieven) zijn er echter ook veel manieren, maar op een heel specifieke manier die niet overeenkomt met de soepele gids.
• De metafoor: Stel je voor dat je probeert een gesprek te vertalen. In de strenge wereld zijn de zinnen kort en duidelijk. In de soepele wereld zijn de zinnen zo lang en ingewikkeld dat de vertaler (de machine) ze niet meer kan vasthouden. De vertaling wordt rommelig en verliest de oorspronkelijke betekenis.

Samenvatting in één zin

De auteur toont aan dat je de strenge wiskundige theorie over vormen perfect kunt vertalen naar een universele taal van "motieven", maar dat de soepelere, nieuwere theorie dat niet kan, omdat die te veel complexe details bevat die de vertaler niet aankunt.

Het is een bewijs dat, hoewel beide theorieën proberen de wereld te beschrijven, ze fundamenteel anders zijn in hun diepste structuur, en dat de "strenge" versie op bepaalde manieren net iets meer orde en helderheid biedt dan de "soepele" versie.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het proefschrift "Comparison of Motivic Homotopy Theories" van Tianjian Tan, geschreven in het Nederlands.

Titel: Vergelijking van Motivische Homotopietheorieën

Auteur: Tianjian Tan
Context: Masterproef aan de Sorbonne Université onder begeleiding van Vova Sosnilo.

---

1. Het Probleem en de Doelstelling

Het centrale doel van dit werk is het opbouwen en analyseren van vergelijkingfunctoren tussen twee fundamentele soorten motivische theorieën:

1. Motivische Homotopie-theorieën:
   • $SH$: De stabiele, $\mathbb{A}^1$-invariante motivische homotopie-categorie (Morel-Voevodsky).
   • $MS$: De stabiele, niet- $\mathbb{A}^1$-invariante motivische homotopie-categorie (Annala-Iwasa-Hoyois).
2. Niet-commutatieve Motieven:
   • $Mot_{loc}$: De categorie van localiserende motieven (Blumberg-Gepner-Tabuada).
   • $Mot_{loc}^{\mathbb{A}^1}$: De $\mathbb{A}^1$-invariante versie hiervan.

De bestaande relaties binnen deze paren (bijv. $SH$ vs. $MS$) worden gedefinieerd via localisatie ten opzichte van projecties $X \times \mathbb{A}^1 \to X$. Het proefschrift richt zich echter op de kruisvergelijkingen:

• $SH$ versus $Mot_{loc}^{\mathbb{A}^1}$
• $MS$ versus $Mot_{loc}$

De uitdaging ligt in het definiëren van een natuurlijke functor tussen deze categoriën, die van nature op de categorie van gladde schema's ($Sm_{fp}$) werkt, maar die moet worden uitgebreid naar de dualen van de motivische homotopie-categorieën ($SH^\vee$ en $MS^\vee$).

---

2. Methodologie

De auteur hanteert een categorische aanpak binnen de wereld van $\infty$-categorieën, met name gebruikmakend van de theorie van stabiele, presentabele categorieën ($Pr^L_{st}$).

A. Dualiteit en Formele Inversie

• Dualiteit: De auteur gebruikt de dualiteit in de categorie van stabiele presentabele categorieën. Voor een categorie $\mathcal{C}$ is de dual $\mathcal{C}^\vee$ gedefinieerd als $Fun^L(\mathcal{C}, Sp)$ (linkeradjuncten functors naar spectra).
• Formele Inversie: Een cruciale techniek is het formeel inverteren van objecten. Voor een categorie $\mathcal{C}$ en een object $X$, is $\mathcal{C}[X^{-1}]$ de universele categorie waarin $X$ invertibel wordt.
• Commutativiteit: Een kernresultaat (Propositie 1.2) is dat het nemen van de dual commutatie met formele inversie:
  $$\mathcal{C}^\vee[(X^{dual})^{-1}] \simeq (\mathcal{C}[X^{-1}])^\vee$$
  Dit stelt de auteur in staat om de dual van $SH$ (die ontstaat door inversie van $\mathbb{P}^1$) te beschrijven als de formele inversie van de dual van de onderliggende categorie van cosheaves.

B. Constructie van Vergelijkingsfunctoren

De auteur construeert functoren vanuit de dualen van de motivische categorieën naar de categorieën van motieven:

1. Voor $\mathbb{A}^1$-invariantie: Een functor $\Phi: SH^\vee \to Mot_{loc}^{\mathbb{A}^1}$.
2. Voor niet-$\mathbb{A}^1$-invariantie: Een functor $\Psi: MS^\vee \to Mot_{loc}$.

Deze constructie maakt gebruik van universele eigenschappen. De dualen $SH^\vee$ en $MS^\vee$ worden geïdentificeerd met categorieën van cosheaves die voldoen aan specifieke "co-descent" voorwaarden (Nisnevich en blow-up) en waarbij de dual van $\mathbb{P}^1$ is geïntegreerd. De natuurlijke functor $X \mapsto U(perf_X)$ (waarbij $U$ de universele localiserende invariant is) voldoet aan deze voorwaarden en kan dus uniek worden uitgebreid tot de vergelijkingfunctoren.

C. Factorisatie via Module-categorieën

Via de Barr-Beck stelling (Lurie) factoriseren deze linkerdadjuncten door categorieën van modules over een monade. Specifiek factoriseren ze door modules over het beeld van het eenheidselement onder de rechteradjunct:

• $Mod_{\Phi^*(1)}(SH^\vee) \to Mot_{loc}^{\mathbb{A}^1}$
• $Mod_{\Psi^*(1)}(MS^\vee) \to Mot_{loc}$

Hier fungeert $\Phi^*(1)$ als een "duale versie" van het K-theorie spectrum $KGL$.

---

3. Belangrijkste Resultaten

A. Volledig-Getrouwheid in het $\mathbb{A}^1$-invariante geval

Het proefschrift bewijst dat de gefactoriseerde functor volledig-getrouw is onder bepaalde voorwaarden:

• Voorwaarde: Over een lichaam $k$ dat resolutie van singulariteiten toelaat, en na inversie van de exponentiële karakteristiek $e$ van $k$.
• Reden: In dit geval is $SH(k)^\vee$ rigide gegenereerd (rigidly generated). Dit betekent dat de categorie gegenereerd wordt door compacte, dualiseerbare objecten.
• Resultaat (Propositie 4.2): De functor
  $$e\Phi: Mod_{\Phi^*(1)}(SH(k)[1/e]^\vee) \to Mot(k)_{loc}^{\mathbb{A}^1}[1/e]$$
  is volledig-getrouw op het niveau van mapping spectra. Dit impliceert dat de motivische homotopie-theorie volledig kan worden gereconstrueerd uit de dualen van localiserende motieven in deze setting.

B. Falen van Volledig-Getrouwheid in het niet-$\mathbb{A}^1$-invariante geval

In het niet-$\mathbb{A}^1$-invariante geval is de situatie fundamenteel anders:

• Probleem: $MS(k)^\vee$ is niet rigide gegenereerd, zelfs niet na inversie van $e$.
• Tegenvoorbeeld (Propositie 4.3): Voor een telbaar lichaam $k$ is de verzameling van componenten ($\pi_0$) van de mapping spectra tussen compacte objecten in $Mod_{\Psi^*(1)}(MS(k)^\vee)$ telbaar.
• Contrast: In de categorie $Mot_{loc}$ zijn de mapping spectra tussen bepaalde objecten (zoals $U(perf_{k[t]})$ en $U(perf_R)$) gerelateerd aan de ring van grote Witt-vectoren $W(R)$. Deze ring is overaftelbaar (uncountable).
• Conclusie: De functor $e\Psi$ is niet volledig-getrouw. Er is een fundamenteel verschil in de "grootte" van de mapping spectra tussen de twee theorieën, wat aantoont dat de niet-$\mathbb{A}^1$-invariante motivische homotopie-theorie niet volledig kan worden vastgelegd door de lokale motieven in dezelfde zin als het $\mathbb{A}^1$-invariante geval.

---

4. Significatie en Bijdrage

1. Unificatie van Theorieën: Het werk biedt een rigoureuze categorische brug tussen de klassieke motivische homotopie-theorie (Morel-Voevodsky) en de moderne theorie van niet-commutatieve motieven (Blumberg-Gepner-Tabuada).
2. Dualiteit als Hulpmiddel: Het introduceert en verfijnt het gebruik van dualiteit in de context van motivische homotopie, waarbij het toont dat de dualen van motivische categorieën natuurlijke "cosheaf"-beschrijvingen hebben die universele eigenschappen bezitten.
3. Fundamenteel Onderscheid: Het proefschrift levert een scherp inzicht in de verschillen tussen $\mathbb{A}^1$-invariante en niet-$\mathbb{A}^1$-invariante theorieën. Het bewijst dat de $\mathbb{A}^1$-invariante theorie "goed gedragen" is (rigide gegenereerd) en volledig kan worden gemodelleerd door motieven, terwijl de niet-$\mathbb{A}^1$-invariante theorie pathologische eigenschappen vertoont (overaftelbaarheid van mapping spectra) die een dergelijke volledige vergelijking verhinderen.
4. Technische Vooruitgang: Het biedt nieuwe modellen en universaliteitsstellingen voor formele inversie in de context van stabiele presentabele categorieën, wat nuttig is voor verdere onderzoek in algebraïsche K-theorie en motivische integratie.

Samenvattend stelt dit proefschrift dat motivische homotopie-theorieën en localiserende motieven nauw verbonden zijn via dualiteit, maar dat deze relatie alleen perfect werkt in het $\mathbb{A}^1$-invariante kader; in het niet-invariante kader breken de structurele eigenschappen (zoals rigide generatie) af, wat leidt tot een fundamenteel verschil in de aard van de mapping spectra.