🔢 mathematics

On mixed $b$ -concatenations of Fibonacci and Lucas numbers that are Lucas numbers

Dit artikel bepaalt alle Lucas-getallen die als binaire concatenatie van een Fibonacci- en een Lucas-getal kunnen worden voorgesteld, en bewijst met behulp van Diophantische benadering en kettingbreuken dat er slechts eindig veel dergelijke oplossingen bestaan.

Oorspronkelijke auteurs: Herbert Batte, Prosper Kaggwa

Gepubliceerd 2026-03-24

📖 4 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Herbert Batte, Prosper Kaggwa

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

De Gouden Ketting: Een Verhaal over Getallen die Samensmelten

Stel je voor dat je twee speciale rijen van getallen hebt, net als twee verschillende soorten kralen in een kralenketting.

De Fibonacci-kralen: Deze beginnen met 0 en 1, en elk nieuw getal is de som van de twee vorige (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...).
De Lucas-kralen: Deze lijken op de Fibonacci-kralen, maar beginnen met 2 en 1 (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18...). Ze groeien ook volgens dezelfde regel: tel de twee vorige op om de volgende te krijgen.

In dit wetenschappelijke artikel vragen twee onderzoekers, Herbert en Prosper, zich een heel specifieke vraag af: Kunnen we een Lucas-getal maken door een Fibonacci-getal en een Lucas-getal aan elkaar te plakken, alsof we ze in één lange rijtje zetten?

Het Probleem: De "Aaneenschakeling"

In de wiskunde noemen we dit "concatenatie". Het is alsof je het getal 13 (een Lucas-getal) wilt maken door het getal 1 (een Fibonacci-getal) en het getal 3 (een Lucas-getal) naast elkaar te zetten. In ons decimale systeem (basis 10) zou dat zijn: $1$ en $3$ worden $13$.

Maar de onderzoekers kijken niet alleen naar onze gewone getallen (basis 10). Ze kijken naar alle mogelijke "telsystemen" van basis 2 tot en met 10.

In basis 2 (alleen 0 en 1) is het getal $11$ (wat in ons systeem 3 is) misschien een oplossing.
In basis 10 (ons dagelijks systeem) is het getal $11$ (een Lucas-getal) misschien een oplossing.

De vraag is: Hoe vaak kan dit gebeuren? Is er een eindeloos aantal van deze "aaneengeschakelde" getallen, of is er maar een klein, afgebakend lijstje?

De Oplossing: Een Wiskundige Speurtocht

De onderzoekers hebben bewezen dat er maar een eindig aantal van deze speciale getallen bestaat. Je kunt ze niet oneindig blijven vinden. Ze hebben zelfs de volledige lijst gemaakt voor alle bases van 2 tot 10.

Hoe hebben ze dit gedaan? Ze gebruikten twee krachtige wiskundige gereedschappen, die je kunt vergelijken met:

De Reusachtige Net (De "Baker-Davenport" methode):
Stel je voor dat je op zoek bent naar een naald in een hooiberg, maar die hooiberg is zo groot als de aarde. De wiskundige theorieën die ze gebruikten (gebaseerd op logaritmen en getallenbenaderingen) stelden hen in staat om te zeggen: "De naald zit niet verder dan op 100 kilometer afstand." Dit gaf hen een enorme grens: ze hoefden niet tot het einde van de universum te zoeken, maar slechts tot een heel groot, maar beheersbaar getal (ongeveer $10^{30}$ ).
De Verklein-Machine (De "Continuïteitsbreuken" methode):
Een lijst van $10^{30}$ getallen is nog steeds te groot om handmatig te controleren. Daarom gebruikten ze een slimme truc (een methode van Dujella en Pethő) die als een verklein-machine werkt. Deze truc "knijpt" de mogelijke oplossingen steeds kleiner, totdat de lijst zo klein wordt dat een computer het in een paar seconden kan afwerken.

Wat Vonden Ze?

Na al dit rekenwerk en de computerberekeningen (met behulp van software genaamd SageMath) kwamen ze tot een verrassend simpel resultaat:

Voor elke basis (van 2 tot 10) zijn er maar een handvol oplossingen.
In ons gewone decimale systeem (basis 10) zijn er slechts twee Lucas-getallen die als een "mix" van een Fibonacci- en een Lucas-getal geschreven kunnen worden:
- 11: Dit is $1$ (Fibonacci) en $1$ (Lucas) samengevoegd.
- 18: Dit is $1$ (Lucas) en $8$ (Fibonacci) samengevoegd.

Alles wat groter is, werkt niet. Er zijn geen andere "magische" Lucas-getallen die uit zo'n mix ontstaan.

Waarom Is Dit Belangrijk?

Vroeger wisten wiskundigen al dat je binnen één rij (bijvoorbeeld alleen Fibonacci-getallen) maar een paar getallen kunt vinden die uit een mix bestaan. Dit artikel gaat een stap verder: het kijkt naar een mix van twee verschillende rijen (Fibonacci én Lucas) en toont aan dat zelfs dan de natuurwetten van de getallen streng zijn. Er zijn geen oneindige reeksen van deze "aaneengeschakelde" wonderen.

Het is alsof je ontdekt dat er in het hele universum maar een paar specifieke plekken zijn waar twee verschillende soorten sterren precies naast elkaar lijken te staan in een perfecte rij. De wiskunde zegt ons: "Zoek niet verder, de lijst is compleet."

Kortom: De auteurs hebben met slimme wiskunde en computers bewezen dat er maar een heel klein, afgebakend aantal Lucas-getallen bestaat die gemaakt zijn door een Fibonacci-getal en een Lucas-getal aan elkaar te plakken. De zoektocht is voorbij, en de lijst is klein.

Titel en Context

Het artikel, geschreven door Herbert Batte en Prosper Kaggwa, onderzoekt Diophantische vergelijkingen die voortkomen uit het probleem van het "samenvoegen" (concatenatie) van getallen in verschillende bases. Specifiek wordt onderzocht welke Lucas-getallen ( $L_n$ ) kunnen worden weergegeven als een gemengde concatenatie van een Fibonacci-getal ( $F_k$ ) en een Lucas-getal ( $L_m$ ) in een willekeurige basis $b$ (waarbij $2 \le b \le 10$ ).

Het Probleem

De auteurs bestuderen twee specifieke Diophantische vergelijkingen waarbij $d$ het aantal cijfers van het toegevoegde getal ( $F_k$ of $L_k$ ) in basis $b$ voorstelt:

Vergelijking (1.1): $L_n = L_m \cdot b^d + F_k$ $L_{n} = L_{m} \cdot b^{d} + F_{k}$
- Hierbij wordt een Lucas-getal $L_m$ "geschoven" (vermenigvuldigd met $b^d$ ) en er wordt een Fibonacci-getal $F_k$ aan toegevoegd.
Vergelijking (1.2): $L_n = F_m \cdot b^d + L_k$ $L_{n} = F_{m} \cdot b^{d} + L_{k}$
- Hierbij wordt een Fibonacci-getal $F_m$ verschoven en er wordt een Lucas-getal $L_k$ aan toegevoegd.

De doelstelling is om alle niet-negatieve gehele oplossingen $(n, m, k)$ te vinden voor deze vergelijkingen binnen het bereik $2 \le b \le 10$ .

Methodologie

De bewijsvoering maakt gebruik van geavanceerde technieken uit de getaltheorie, specifiek Diophantische benadering. Het proces verloopt in drie hoofdfasen:

Afleiding van bovengrenzen (Linear Forms in Logarithms):
- De auteurs gebruiken de Binet-formules voor Fibonacci- en Lucas-getallen, die afhankelijk zijn van de wortels $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ en $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ .
- Ze passen Matveev's stelling toe op niet-nul lineaire vormen in logaritmen van algebraïsche getallen. Dit levert expliciete, maar zeer grote, bovengrenzen op voor de variabelen $n, m, k$ .
- Door ongelijkheden af te leiden uit de structuur van de vergelijkingen (bijv. $k+m-5 < n < k+m+7\log b$ ), worden relaties tussen de variabelen vastgesteld.
Reductie van de grenzen (Baker-Davenport Methode):
- Omdat de door Matveev afgeleide grenzen te groot zijn voor directe computergestuurde zoektochten, wordt een reductiemethode toegepast.
- De auteurs gebruiken een aangepaste versie van de Baker-Davenport reductiemethode, gebaseerd op de theorie van kettingbreuken (continued fractions).
- Specifiek wordt gebruikgemaakt van een lemma van Dujella en Pethő en een stelling van Legendre om te controleren of er oplossingen bestaan binnen de afgeleide grenzen. Dit verlaagt de bovengrens voor $n$ van astronomische grootte naar een beheersbaar bereik (rond de 200-300).
Computergestuurde verificatie:
- Zodra de variabelen beperkt zijn tot een klein bereik (bijvoorbeeld $n \le 229$ ), wordt een brute-force zoektocht uitgevoerd met behulp van SageMath (met een precisie van 1000 cijfers) om alle mogelijke oplossingen te identificeren.

Belangrijkste Resultaten

De auteurs bewijzen dat er voor elke basis $b$ tussen 2 en 10 slechts een eindig aantal oplossingen bestaat. Ze presenteren de volledige lijst van oplossingen in twee theorema's:

Stelling 1.1 (Voor vergelijking 1.1):
- Voor $b=10$ $b = 10$ (decimaal) zijn de enige oplossingen:
  - $L_5 = 11$ (verkregen via $101 \cdot L_1 + F_1$ of $101 \cdot L_1 + F_2$ ).
  - $L_6 = 18$ (verkregen via $101 \cdot L_1 + F_6$ ).
- Voor andere bases (2 t/m 9) worden specifieke verzamelingen van $(n, m, k)$ gegeven. Bijvoorbeeld, in basis 2 zijn er 12 oplossingen, waaronder $L_7 = 29$ en $L_8 = 47$ .
Stelling 1.2 (Voor vergelijking 1.2):
- Voor $b=10$ $b = 10$ is de enige oplossing:
  - $L_5 = 11$ (verkregen via $101 \cdot F_1 + L_1$ of $101 \cdot F_2 + L_1$ ).
- Ook hier worden de volledige oplossingsverzamelingen voor bases 2 t/m 9 gedetailleerd opgesomd.

Een opmerkelijk detail is dat in de meeste gevallen de gevonden Lucas-getallen relatief klein zijn, hoewel de methologie toelaat om te bewijzen dat er geen grote oplossingen bestaan.

Bijdrage en Significantie

Uitbreiding van bestaand werk: Eerdere studies (zoals die van Banks en Lucas) richtten zich op concatenaties binnen één enkele recurrente rij (bijv. Fibonacci getallen samenvoegen tot een nieuw Fibonacci getal). Dit artikel breidt dit uit naar gemengde concatenaties (Fibonacci en Lucas getallen) en naar een willekeurige basis $b$ .
Finiteness bewijs: Het artikel levert een rigoureus bewijs dat er slechts eindig veel Lucas-getallen bestaan die aan deze specifieke concatenatie-eigenschappen voldoen, wat een fundamenteel resultaat is in de Diophantische analyse.
Methodologische toepassing: Het werk demonstreert de effectiviteit van het combineren van lineaire vormen in logaritmen (Matveev) met kettingbreuk-reductie (Dujella-Pethő) om complexe Diophantische vergelijkingen op te lossen die direct niet numeriek hanteerbaar zijn.

Conclusie

Het artikel sluit de classificatie af van Lucas-getallen die als gemengde concatenaties van Fibonacci- en Lucas-getallen kunnen worden geschreven voor de bases 2 tot en met 10. De resultaten tonen aan dat dergelijke representaties zeer zeldzaam zijn en volledig gekarakteriseerd kunnen worden met de huidige methoden van de getaltheorie.