On mixed $b$-concatenations of Fibonacci and Lucas numbers that are Lucas numbers

Titre de l'article

Sur les concaténations mixtes en base $b$ de nombres de Fibonacci et de Lucas qui sont des nombres de Lucas
Auteurs : Herbert Batte et Prosper Kaggwa

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1. Problématique

L'article s'intéresse à un problème de théorie des nombres combinant les suites de Fibonacci $(F_n)_{n \ge 0}$ et de Lucas $(L_n)_{n \ge 0}$. L'objectif est de déterminer tous les nombres de Lucas qui peuvent être représentés comme des concaténations mixtes d'un nombre de Fibonacci et d'un nombre de Lucas dans une base $b$ donnée ($2 \le b \le 10$).

Mathématiquement, cela se traduit par la résolution de deux équations diophantiennes pour des entiers non négatifs $n, m, k$ :

1. $L_n = L_m \cdot b^d + F_k$
2. $L_n = F_m \cdot b^d + L_k$

Où $d$ représente le nombre de chiffres de $F_k$ (dans la première équation) ou de $L_k$ (dans la seconde) en base $b$. La variable $d$ est définie par $d = \lfloor \log_b X \rfloor + 1$, où $X$ est le nombre concaténé.

Ce travail généralise des études antérieures qui ne considéraient que des concaténations au sein d'une même suite (par exemple, un nombre de Fibonacci formé de deux autres nombres de Fibonacci) ou des cas spécifiques avec des bases fixes.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche combinant l'approximation diophantienne et les méthodes de réduction, typiques de la théorie des nombres transcendants.

A. Bornes initiales et inégalités

En utilisant les formules de Binet pour les nombres de Fibonacci ($F_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}}$) et de Lucas ($L_n = \alpha^n + \beta^n$), où $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$, les auteurs établissent des relations asymptotiques entre les variables $n, m, k$ et $d$.
Ils déduisent des inégalités du type :
$$k + m - 5 < n < k + m + 7 \log b$$
Ces inégalités permettent de limiter la croissance relative des indices.

B. Formes linéaires en logarithmes (Théorème de Matveev)

Pour obtenir une borne supérieure explicite (mais très grande) sur les variables, les auteurs appliquent le théorème de Matveev (1998) concernant les minorations des formes linéaires non nulles en logarithmes de nombres algébriques.
En réécrivant les équations sous la forme $1 - \Lambda = \epsilon$ (où $\Lambda$ est une puissance de $\alpha$ et $\epsilon$ est un terme d'erreur), ils obtiennent une borne inférieure pour $|\log \Lambda|$. La comparaison avec la borne supérieure issue des inégalités de l'étape précédente permet d'établir une borne supérieure initiale pour $n$ de l'ordre de $10^{27}$ à $10^{30}$.

C. Méthodes de réduction (Baker-Davenport et Dujella-Pethő)

Les bornes obtenues via le théorème de Matveev sont trop grandes pour une recherche exhaustive par ordinateur. Les auteurs appliquent donc une méthode de réduction basée sur la théorie des fractions continues :

• Lemme de Dujella et Pethő : Une version raffinée du lemme de Baker-Davenport.
• Lemme de Legendre : Utilisé lorsque le terme constant de la forme linéaire est nul ou proche de zéro.
• Algorithme de réduction : En utilisant les convergents de la fraction continue de $\frac{\log b}{\log \alpha}$, ils réduisent drastiquement la borne supérieure de $n$.

D. Vérification computationnelle

Une fois les bornes réduites à un intervalle gérable (ici $n \le 229$), les auteurs effectuent une recherche exhaustive par ordinateur en utilisant le logiciel SageMath (avec une précision de 1000 chiffres) pour vérifier toutes les combinaisons possibles de $n, m, k$ dans cet intervalle.

3. Résultats Principaux

Les auteurs déterminent complètement l'ensemble des solutions pour chaque base $b$ de 2 à 10.

Théorème 1.1 (Équation $L_n = L_m \cdot b^d + F_k$)

Pour chaque base $b \in [2, 10]$, un nombre fini de solutions existe.

• Cas particulier $b=10$ (base décimale) : Les seules solutions sont :
  • $L_5 = 11 = 101 \cdot L_1 + F_1 = 101 \cdot 1 + 1$
  • $L_6 = 18 = 101 \cdot L_1 + F_6 = 101 \cdot 1 + 13$
    (Note : Les auteurs notent que $L_5 = 11$ et $L_6 = 18$ sont les seuls nombres de Lucas satisfaisant cette équation en base 10).

Théorème 1.2 (Équation $L_n = F_m \cdot b^d + L_k$)

De même, un nombre fini de solutions est trouvé pour chaque base.

• Cas particulier $b=10$ : La seule solution est :
  • $L_5 = 11 = 101 \cdot F_1 + L_1 = 101 \cdot 1 + 1$

Les tableaux complets des solutions $(n, m, k, b, d)$ pour toutes les bases sont fournis dans l'article.

4. Contributions Clés

1. Généralisation des résultats antérieurs : Passage des concaténations au sein d'une seule suite (Fibonacci-Fibonacci ou Lucas-Lucas) aux concaténations mixtes (Fibonacci-Lucas).
2. Traitement de bases arbitraires : Résolution du problème pour toutes les bases $2 \le b \le 10$, et non seulement pour la base 10.
3. Preuve de finitude : Démonstration rigoureuse que le nombre de tels nombres de Lucas est fini pour chaque base, en combinant des outils théoriques puissants (Matveev) et des techniques de réduction algorithmique.
4. Classification complète : Fourniture de la liste exhaustive de toutes les solutions pour les bases considérées.

5. Signification et Perspectives

Ce travail contribue significativement à la théorie des nombres, en particulier à l'étude des propriétés de représentation des suites de récurrence linéaire. Il démontre la robustesse des méthodes d'approximation diophantienne appliquées à des problèmes de concaténation, qui sont intrinsèquement liés à la structure des chiffres des nombres.

Perspectives futures :
Les auteurs suggèrent d'étendre ces résultats aux suites de récurrence linéaire généralisées (au-delà de Fibonacci et Lucas) et d'investiguer si des résultats de finitude similaires s'appliquent à des concaténations mixtes impliquant d'autres types de suites (comme les suites de Pell ou de Pell-Lucas) dans des bases arbitraires.

Conclusion

L'article établit une classification complète des nombres de Lucas qui sont des concaténations mixtes de nombres de Fibonacci et de Lucas en base $b$ ($2 \le b \le 10$). La preuve repose sur une combinaison élégante de bornes théoriques élevées (Matveev) et de réductions algorithmiques précises (fractions continues), validées par des calculs numériques de haute précision.