Some vanishing results for the rational completed cohomology of Shimura varieties

1. Het Probleem en de Context

Het artikel onderzoekt de rationele voltooide cohomologie van Shimura-variëteiten. Deze cohomologie, geïntroduceerd door Matthew Emerton, fungeert als een p-adisch surrogaat voor ruimten van p-adische automorfe vormen. Specifiek richten de auteurs zich op de cohomologie in graden onder de middelste graad ($i < d$, waarbij $d$ de complexe dimensie van de Shimura-variëteit is).

De centrale vraag is of er een verband bestaat tussen de infinitesimale karakteristiek van de actie van de Lie-algebra $\mathfrak{g} = \text{Lie}(G(\mathbb{C}))$ op de ruimte van lokaal analytische vectoren in de voltooide cohomologie, en de graad waarin deze cohomologie niet-triviaal is.

Bestaande resultaten (zoals die van Caraiani-Scholze en anderen) hebben al bewezen dat de cohomologie in graden boven de middelste graad verdwijnt ($\tilde{H}^i = 0$ voor $i > d$). Er is ook een sterke vermoeden (onderbouwd door Emerton en Calegari) dat de cohomologie in de middelste graad het meest interessant is. Lan en Pan willen bewijzen dat voor graden $i < d$, de cohomologie "verdwijnt" voor zogenoemde voldoende reguliere infinitesimale gewichten. Dit betekent dat bepaalde representaties van de Lie-algebra niet kunnen voorkomen in deze lagere graden.

2. Methodologie

De bewijsstrategie combineert diepgaande resultaten uit de algebraïsche meetkunde, de theorie van Shimura-variëteiten en de p-adische Hodge-theorie. De methode kan in drie hoofdstappen worden onderverdeeld:

A. Een bijna Kodaira-vernietigingsstelling van Bhatt

De eerste pijler van het bewijs is het gebruik van een recent resultaat van Bhargav Bhatt over een "bijna Kodaira-vernietigingsstelling" (almost Kodaira vanishing) in gemengde karakteristieken.

• Bhatt toonde aan dat voor een projectief schema $X$ over een ring van p-adische gehele getallen en een ruime lijnbundel $L$, de cohomologie $R\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes L^{-1})$ verdwijnt in lage graden, modulo een "bijna" structuur (gebaseerd op de bijna-theorie van Faltings).
• Lan en Pan passen dit toe op de pro-étale cohomologie van Shimura-variëteiten, specifiek op de ruimte van lokaal analytische functies. Ze gebruiken cyclische overdekkingen om de vereisten van Bhatt te voldoen, zelfs wanneer de lijnbundel niet direct naar een integraal model uitbreidbaar is.

B. Geometrische Sen-theorie en Hodge-Tate period morfismen

De tweede pijler is de geometrische Sen-theorie voor torens van Shimura-variëteiten, ontwikkeld door Rodríguez Camargo en Pan.

• Ze beschouwen de toren van Shimura-variëteiten met oneindig niveau bij $p$. De ruimte van lokaal analytische functies op deze toren, aangeduid als $\mathcal{O}^{la}$, draagt een actie van de Lie-algebra $\mathfrak{g}$.
• Via de Hodge-Tate period morfisme $\pi_{HT}$ (een morfisme van de Shimura-variëteit naar een partiële vlagvariëteit $\mathbb{F}\ell$), kunnen ze de actie van $\mathfrak{g}$ op $\mathcal{O}^{la}$ relateren aan de geometrie van $\mathbb{F}\ell$.
• Een cruciaal resultaat is dat de actie van het nilpotente deel $\mathfrak{n}_0$ van de Lie-algebra op $\mathcal{O}^{la}$ nul is. Hierdoor kan de actie van $\mathfrak{g}$ worden gereduceerd tot een actie van de Levi-deelalgebra $\mathfrak{m}$.

C. Vertaalfunctoren (Translation Functors)

De derde pijler is een algebraïsche techniek uit de representatietheorie, bekend als vertaalfunctoren (Beilinson-Bernstein).

• De auteurs gebruiken een eindig-dimensionale representatie $V_0$ van de algebra om de cohomologie "te ontwarren" (untwist).
• Ze construeren een exacte driehoek die de cohomologie met een zware lijnbundel relateert aan de cohomologie zonder bundel, maar met een actie van een tensorproduct van centra van enveloppende algebra's.
• Door de voorwaarde van "voldoende regulierheid" (sufficient regularity) op de gewichten toe te passen, tonen ze aan dat de cohomologie in graden $i < d$ wordt geannihileerd door een macht van een ideaal $I$ dat de niet-reguliere punten in het spectrum van de centrum definieert.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Het hoofdstuk resulteert in de volgende kernresultaten:

1. Hoofdstelling (Theorem 1.1.2 en 6.1.3):
   Laat $d$ de dimensie van de Shimura-variëteit zijn. Er bestaat een $n > 0$ zodanig dat het ideaal $I^n$ (waarbij $I$ het ideaal is dat de niet-voldoende reguliere infinitesimale karakteristieken definieert) de ruimte $\tilde{H}^{i, la}_{\mathbb{C}}$ annihileert voor alle $i < d$.

   • Gevolg: Als een infinitesimaal karakter $[\lambda]$ "voldoende regulier" is (een specifieke voorwaarde afhankelijk van de keuze van een Hodge-cocharacter $\mu_h$), dan is de isotypische component $\tilde{H}^{i, la}_{\mathbb{C}, [\lambda]}$ gelijk aan nul voor $i < d$.

2. Verfijning van Regulierheid:
   De auteurs introduceren het concept van $\mu_h$-voldoende regulierheid. Dit is een subtielere voorwaarde dan de gebruikelijke regulierheid.

   • Voor Shimura-variëteiten van type A (zoals modulaire krommen) komt dit overeen met de gebruikelijke regulierheid.
   • Voor types B en C (waar kortere wortels voorkomen) is de voorwaarde strenger en onderscheidt ze tussen kortere en langere wortels.
   • Ze tonen aan dat deze voorwaarde afhangt van de keuze van de inbedding $\iota: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ en de Hodge-cocharacter.

3. Verbinding met Automorfe Local Systemen:
   Het resultaat herleidt en generaliseert eerdere resultaten van Lan (2016) over de cohomologie van automorfe local systemen. Waar Lan eerdere resultaten bewees voor eindig-dimensionale systemen, kunnen Lan en Pan nu ook "grote" local systemen (oneindig-dimensionale Banachruimten) behandelen.

4. Rationele vs. Torsie Resultaten:
   In tegenstelling tot recente werken van Caraiani-Scholze die torsie-cohomologie (integrale coëfficiënten) behandelen, focust dit artikel op rationele coëfficiënten. De voorwaarden voor verdwijning zijn hierin anders: ze komen voort uit de studie van p-adische representaties van $G(\mathbb{Q}_p)$ in plaats van representaties op plaatsen $l \neq p$.

4. Significatie en Impact

• Bevestiging van Vermoedens: Het resultaat bevestigt het vermoeden dat de cohomologie van Shimura-variëteiten in graden onder de middelste graad "leeg" is voor generieke (voldoende reguliere) gewichten. Dit ondersteunt het idee dat de interessante p-adische automorfe vormen zich concentreren in de middelste graad.
• Technische Innovatie: De paper combineert succesvol de "bijna"-theorie van Bhatt (een zeer modern resultaat uit de p-adische meetkunde) met de klassieke theorie van vertaalfunctoren en de recente ontwikkelingen in Sen-theorie voor Shimura-variëteiten. Dit biedt een nieuwe route om verdwijningsstellingen te bewijzen die niet afhankelijk zijn van de specifieke structuur van de Shimura-variëteit (zoals de aanwezigheid van een Hilbert-variëteit).
• Toekomstige Richtingen: De auteurs wijzen erop dat hun methode kan worden uitgebreid om idealen van de volledige enveloppende algebra $U(\mathfrak{g})$ (niet alleen het centrum) te construeren die de cohomologie annihileren, zoals reeds gedaan is voor Hilbert-modulaire variëteiten in een vervolgpaper. Dit zou kunnen leiden tot sterkere resultaten over de structuur van de p-adische Langlands-correspondentie.

Kortom, dit artikel levert een fundamenteel inzicht in de structuur van de p-adische cohomologie van Shimura-variëteiten door te laten zien dat de "geometrische" beperkingen (via de Hodge-Tate morfisme) en de "algebraïsche" beperkingen (via vertaalfunctoren) samenwerken om de cohomologie in lage graden te elimineren voor een breed scala aan representaties.