Some vanishing results for the rational completed cohomology of Shimura varieties

1. Problématique et Contexte

Le papier s'attaque à l'étude de la cohomologie complétée (au sens de Emerton) des variétés de Shimura, en particulier dans les degrés inférieurs à la dimension complexe $d$ de la variété.

• Contexte : La cohomologie complétée $\tilde{H}^i$ est un objet central en théorie des nombres $p$-adique, servant de substitut aux formes automorphes $p$-adiques. Il est conjecturé (et partiellement démontré) que la cohomologie non triviale se concentre principalement au degré $d$ (le degré du milieu).
• Question centrale : Sous quelles conditions les vecteurs localement analytiques de la cohomologie complétée $\tilde{H}^{i, la}_{\mathbb{C}}$ (pour $i < d$) s'annulent-ils ? Plus précisément, comment le caractère infinitésimal de l'action de l'algèbre de Lie $\mathfrak{g} = \text{Lie}(G(\mathbb{C}))$ influence-t-il cette annulation ?
• Objectif : Établir des résultats d'annulation pour les composantes isotypiques associées à des caractères infinitésimaux « suffisamment réguliers » dans les degrés $i < d$.

2. Méthodologie

Les auteurs combinent plusieurs outils avancés de géométrie $p$-adique, de théorie des représentations et de géométrie algébrique :

1. Théorème d'annulation de Kodaira (Bhatt) : Ils utilisent un résultat récent de Bhargav Bhatt sur l'annulation de Kodaira presque vraie en caractéristique mixte. Ce théorème permet de montrer que certaines cohomologies de faisceaux sur des modèles entiers sont nulles en degrés inférieurs.
2. Géométrie $p$-adique et morphismes de période : Ils exploitent la théorie de Sen géométrique et les morphismes de période de Hodge-Tate ($\pi_{HT}$) introduits par Scholze et généralisés par Diao-Lan-Liu-Zhu et Rodríguez Camargo. Ces morphismes relient la variété de Shimura de niveau infini à une variété de drapeaux partiels $\mathbb{F}\ell$.
3. Foncteurs de translation (Beilinson-Bernstein) : Pour « déplier » (untwist) les fibrés en droites apparaissant dans l'annulation de Kodaira, les auteurs utilisent une technique inspirée de la localisation de Beilinson-Bernstein. Cela implique de tensoriser avec des représentations de dimension finie et d'utiliser les foncteurs de translation pour isoler les composantes de poids spécifiques.
4. Théorie de Sen géométrique : Ils analysent l'action des opérateurs de Sen géométriques sur les vecteurs localement analytiques, montrant que ces vecteurs sont annihilés par certains opérateurs différentiels liés à la structure du fibré de Higgs sur la variété de drapeaux.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Définition de la « Régularité Suffisante »

Les auteurs introduisent une notion de régularité suffisante ($\mu_h$-sufficient regularity) pour les caractères infinitésimaux.

• Soit $Z(\mathfrak{g})$ le centre de l'algèbre enveloppante universelle. Un caractère est $\mu_h$-suffisamment régulier si, pour tout poids $\lambda'$ dans l'orbite de Weyl correspondante et toute racine $\alpha$ (dans le radical unipotent $N$), le produit scalaire $(\lambda', \alpha^\vee)$ n'appartient pas à un ensemble fini d'entiers négatifs (généralement $\{-1\}$ ou $\{-1, -2\}$ selon que la racine est courte ou non).
• Cette condition définit un idéal $I \subset Z(\mathfrak{g})$ (ou $I_m \subset Z(\mathfrak{m})$ pour une sous-algèbre de Levi).

B. Théorème d'Annulation Principal (Théorème 1.1.2 et 6.1.3)

Le résultat central est le suivant :

Soit $d$ la dimension complexe de la variété de Shimura. Pour un entier $n > 0$ suffisamment grand, la puissance $I^n$ (où $I$ est l'idéal défini par les caractères non suffisamment réguliers) annule la partie localement analytique de la cohomologie complétée en degrés inférieurs au milieu :
$$I^n \cdot \tilde{H}^{i, la}_{\mathbb{C}} = 0 \quad \text{pour tout } i < d.$$
En particulier, si un caractère infinitésimal $[\lambda]$ est $\mu_h$-suffisamment régulier, alors la composante isotypique $\tilde{H}^{i, la}_{\mathbb{C}, [\lambda]}$ est nulle pour tout $i < d$.

C. Extension aux Systèmes Locaux « Big »

Contrairement à des travaux antérieurs (comme ceux de Li-Schwermer ou Lan lui-même dans [Lan16]) qui traitaient principalement de systèmes locaux de dimension finie, cette méthode fonctionne également pour des systèmes locaux de dimension infinie (représentations de Banach $p$-adiques localement analytiques), comme le montre le Corollaire 6.1.7.

D. Rôle de la Symétrie Étendue

Les auteurs montrent que l'action de $Z(\mathfrak{g})$ sur la cohomologie peut être étendue à une action de $Z(\mathfrak{m})$ (où $\mathfrak{m}$ est une sous-algèbre de Levi déterminée par le co-caractère de Hodge). Cette symétrie supplémentaire, issue des opérateurs de Sen, est cruciale pour la preuve via les foncteurs de translation.

4. Signification et Impact

• Preuve de la conjecture de Calegari-Emerton (partielle) : Ce résultat soutient la conjecture selon laquelle la cohomologie complétée est concentrée au degré du milieu, en fournissant une condition explicite sur les poids qui force l'annulation en bas degrés.
• Nouvelle approche par rapport aux travaux récents : Contrairement aux résultats de vanishing de Caraiani-Scholze, Koskivirta, ou Yu-Zhang, qui reposent souvent sur l'étude des représentations mod $p$ ou $p$-adiques en des places $l \neq p$ (conditions de genericité liées à $l$), ce travail est purement $p$-adique et concerne les représentations de $G(\mathbb{Q}_p)$. De plus, il travaille avec des coefficients rationnels ($\mathbb{Q}_p$) plutôt que entiers.
• Outils unificateurs : Le papier réussit à relier de manière élégante la géométrie arithmétique des variétés de Shimura (via les morphismes de période), la théorie des représentations (localisation de Beilinson-Bernstein) et l'analyse $p$-adique (théorie de Sen).
• Généralité : Les résultats s'appliquent aux variétés de Shimura générales, y compris celles avec des facteurs de type B et C (où la régularité doit tenir compte des racines courtes), et aux variétés de Hilbert et courbes de Shimura.

En résumé, Lan et Pan établissent un critère de régularité fine pour les caractères infinitésimaux garantissant l'annulation de la cohomologie complétée en bas degrés, en utilisant une synergie innovante entre les théorèmes d'annulation de Bhatt et la géométrie $p$-adique des tours de Shimura.