Full flexibility of the Monge-Ampère system in codimension $d_*-d+1$

1. Probleemstelling en Context

Het artikel behandelt de flexibiliteit van $C^{1,\alpha}$-oplossingen voor het Monge-Ampère-systeem in hoge dimensies. Het centrale vraagstuk is of men een gegeven "suboplossing" (een vectorveld dat de vergelijking niet exact voldoet, maar onder een bepaalde matrixveld $A$ ligt) kan benaderen door een rij van $C^{1,\alpha}$-oplossingen die de vergelijking exact voldoen.

• Het Systeem: Het Monge-Ampère-systeem (1.2) zoekt een vectorveld $v: \omega \subset \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^k$ dat voldoet aan:
  $$\text{Det} \nabla^2 v = F$$
  waarbij $F$ een gegeven tensorveld is. Dit systeem is de multidimensionale generalisatie van de klassieke Monge-Ampère-vergelijking (die voortkomt uit het voorschrijven van Gauss-kromming).
• Verband met Isometrische Inbeddingen: Het systeem is intrinsiek verbonden met het vinden van isometrische inbeddingen van Riemannse metrieken in de Euclidische ruimte (de Von Kármán-systemen en de isometrische inbeddingsvergelijking (1.5)).
• De Uitdaging: In de analyse van partiële differentiaalvergelijkingen (PDE's) en geometrie is het vaak moeilijk om gladde oplossingen te vinden. De theorie van convexe integratie (geïntroduceerd door Nash en Kuiper) toont aan dat er vaak "wilde" $C^1$-oplossingen bestaan die willekeurig dicht bij elke suboplossing liggen. De vraag is tot welke regulariteit ($\alpha$ in $C^{1,\alpha}$) dit mogelijk is.
• Bestaande Resultaten: Eerdere werken (zoals [24]) hadden volledige flexibiliteit bewezen voor een codimensie $k \ge 2d^*$, waarbij $d^* = d(d+1)/2$ de Janet-dimensie is. Dit is een zeer hoge codimensie.

2. Belangrijkste Bijdrage en Hoofdresultaat

De auteurs bewijzen dat volledige flexibiliteit al mogelijk is in een veel lagere codimensie:
$$k = \bar{d} = d^* - d + 1$$
Dit is een aanzienlijke verbetering ten opzichte van de eerdere $2d^*$.

Hoofdstelling (Theorema 1.1):
Voor elke open, begrensd domein $\omega \subset \mathbb{R}^d$ en elke codimensie $k \ge \bar{d}$, zijn de $C^{1,\alpha}$-oplossingen van het Monge-Ampère-systeem dicht in de ruimte van continue functies $C^0(\bar{\omega}, \mathbb{R}^k)$, voor elke Hölder-exponent $\alpha < 1$.

Concreet betekent dit: Als men een suboplossing $(v, w)$ heeft die voldoet aan de ongelijkheid $\frac{1}{2}(\nabla v)^T \nabla v + \text{sym}\nabla w < A$, dan bestaan er $C^{1,\alpha}$-functies $(\tilde{v}, \tilde{w})$ die willekeurig dicht bij $(v, w)$ liggen en de vergelijking exact oplossen:
$$\frac{1}{2}(\nabla \tilde{v})^T \nabla \tilde{v} + \text{sym}\nabla \tilde{w} = A$$

Corollary 1.2: Dit resultaat impliceert dat de verzameling van $C^{1,\alpha}$-zwakke oplossingen voor het Monge-Ampère-systeem (1.2) dicht ligt in $C^0$, mits de gegeven tensor $F$ voldoet aan bepaalde symmetrie- en integrabiliteitsvoorwaarden.

3. Methodologie: Convex Integratie en Nash-Kuiper Schema

De bewijstechniek is gebaseerd op het Nash-Kuiper schema van convex integratie, maar met een geavanceerde "stap-construktie" (stage construction) die specifiek is ontworpen om de vereiste codimensie te minimaliseren.

A. De Defect-Definitie

Men definieert het "defect" (de fout) als:
$$D(A, v, w) = A - \left( \frac{1}{2}(\nabla v)^T \nabla v + \text{sym}\nabla w \right)$$
Het doel is om dit defect iteratief te reduceren tot nul, terwijl de $C^{1,\alpha}$-norm gecontroleerd blijft.

B. Stap-construktie (Theorema 1.3)

De kern van het bewijs is een inductieve constructie waarbij men in één stap een nieuwe suboplossing $(\tilde{v}, \tilde{w})$ bouwt uit een oude $(v, w)$ door Kuiper-corrugeaties toe te voegen.

• Decompositie van het defect: Het defect wordt ontbonden in een som van rang-1-projectoren van de vorm $a^2 \eta \otimes \eta$.
• Codimensie-gebruik: In eerdere werken werden $2d^*$ richtingen gebruikt om alle defecten te cancelen. De auteurs gebruiken een slimme inductie over de codimensie $n = 1, \dots, \bar{d}$:
  1. Codimensie $n=1$: Cancelen van defecten gerelateerd aan $\eta_{1j}$ (voor alle $j$). Hierbij wordt een hogere orde correctie gebruikt (via Lemma 2.4) om fouttermen van lagere orde te reduceren.
  2. Codimensie $n=2, \dots, \bar{d}$: Cancelen van de resterende defecten ($\eta_{ij}$ met $i \ge 2$).
• Nieuwe Inzichten: Een cruciale observatie is dat de fouttermen die ontstaan door de tweede afgeleide van de vorige iteratie ($\nabla^2 v_k$), kunnen worden herschreven als een som van termen die alleen $\nabla^2 v_0$ bevatten, plus oscillatoire bijdragen. Omdat deze termen in een vaste richting oscilleren, kunnen ze verder worden gereduceerd zonder extra codimensie te verbruiken. Dit bespaart de nodige codimensie.

C. Iteratie en Regulariteit

Door deze stap-construktie te herhalen (Nash-Kuiper algoritme), ontstaat een rij van oplossingen. De auteurs analyseren de balans tussen:

1. De afname van het defect (convergentie).
2. De toename van de tweede afgeleiden (blow-up).
   Door de parameters $N$ en $K$ (aantal iteraties en frequenties) groot genoeg te kiezen, kan men de Hölder-exponent $\alpha$ willekeurig dicht bij 1 brengen.

4. Belangrijkste Resultaten en Technieken

1. Optimalisatie van Codimensie: Het bewijs toont aan dat $k = d^* - d + 1$ voldoende is. Dit is significant kleiner dan de eerder bekende $2d^*$.
2. Verbeterde Schattingen: De constructie leidt tot een betere balans tussen de afname van het defect en de groei van de tweede afgeleiden, wat essentieel is om $\alpha < 1$ te bereiken.
3. Generalisatie naar Isometrische Inbeddingen: In Sectie 5 wordt aangetoond dat dezelfde techniek werkt voor het probleem van isometrische inbeddingen van een $d$-dimensionale Riemannse metriek $g$ in $\mathbb{R}^{d+k}$ met $k = d^* + 1$. Dit generaliseert eerdere resultaten voor $d=2$ naar willekeurige dimensies.
4. Compacte Variëteiten: Met behulp van technieken uit [12] kan het resultaat worden uitgebreid tot compacte variëteiten, zij het met een iets hogere vereiste codimensie ($k \ge (d+1)d^* - d + 1$).

5. Significatie en Impact

• Theoretische Doorbraak: Dit werk verlegt de grenzen van wat mogelijk is binnen de theorie van convex integratie. Het toont aan dat men minder "ruimte" (lagere codimensie) nodig heeft om de flexibiliteit van niet-lineaire PDE's te benutten.
• Verbinding tussen Geometrie en Analyse: Het artikel versterkt de link tussen het Monge-Ampère-systeem, de Gauss-kromming en het probleem van isometrische inbeddingen. Het bevestigt dat de "wilde" $C^1$-oplossingen (Nash-Kuiper) ook bestaan voor hogere regulariteit ($C^{1,\alpha}$) in hogere dimensies.
• Toekomstige Toepassingen: De methode biedt een raamwerk voor het analyseren van andere onderbepaalde systemen van PDE's en kan leiden tot nieuwe inzichten in de elasticiteit van dunne films en de geometrie van Riemannse variëteiten.

Kortom, dit artikel levert een fundamentele verbetering in het begrip van de flexibiliteit van oplossingen voor het Monge-Ampère-systeem door een geoptimaliseerde convex-integratie-strategie te ontwikkelen die werkt in de minimaal mogelijke codimensie voor volledige flexibiliteit.