Full flexibility of the Monge-Ampère system in codimension $d_*-d+1$

1. Problème et Contexte

L'article s'attaque au problème de la flexibilité complète (full flexibility) des solutions de classe $C^{1,\alpha}$ pour le système de Monge-Ampère en dimension arbitraire $d$ et dans un codimension spécifique.

• Le Système de Monge-Ampère : Il s'agit de trouver une application $v : \omega \subset \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^k$ satisfaisant une équation tensorielle généralisant l'équation de Monge-Ampère classique ($\det \nabla^2 v = f$). Le système est défini par :
  $$\text{Det } \nabla^2 v = F$$
  où $F$ est un champ tensoriel symétrique donné. Ce système est intrinsèquement lié au problème d'immersion isométrique et à la théorie des plaques minces (système de Von Kármán).
• Le Problème de Flexibilité : La question centrale est de savoir si les solutions lisses (ou de régularité Hölder $C^{1,\alpha}$) sont denses dans l'espace des fonctions continues pour ce système, sous réserve que la codimension $k$ soit suffisamment grande. Cela signifie-t-il que l'on peut approximer n'importe quelle fonction continue par une solution exacte du système ?
• État de l'art :
  • Des résultats antérieurs (Lewicka [24]) avaient établi cette flexibilité pour une codimension $k \ge 2d^*$, où $d^* = d(d+1)/2$ est la dimension de Janet.
  • D'autres travaux ([19]) avaient prouvé la flexibilité complète pour $d=2, k=2$.
  • L'objectif de cet article est de réduire drastiquement la contrainte sur la codimension requise pour obtenir la flexibilité complète.

2. Résultats Principaux

Les auteurs prouvent que la flexibilité complète est atteinte pour une codimension $k = \bar{d} = d^* - d + 1$, ce qui est significativement plus petit que $2d^*$.

Théorème 1.1 (Flexibilité du système de Monge-Ampère) :
Soit $\omega \subset \mathbb{R}^d$ un ouvert borné. Soit $k = d^* - d + 1$. Pour tout champ de vecteurs $v \in C^1$, $w \in C^1$ et toute matrice $A \in C^{r,\beta}$ satisfaisant une inégalité stricte (sous-solution) :
$$\frac{1}{2}(\nabla v)^T \nabla v + \text{sym}(\nabla w) < A$$
alors, pour tout exposant Hölder $\alpha < \min\left(\frac{r+\beta}{2}, 1\right)$ et tout $\epsilon > 0$, il existe des champs $\tilde{v} \in C^{1,\alpha}$ et $\tilde{w} \in C^{1,\alpha}$ tels que :

1. $\|\tilde{v} - v\|_0 \le \epsilon$ et $\|\tilde{w} - w\|_0 \le \epsilon$ (approximation uniforme).
2. L'équation est satisfaite exactement : $\frac{1}{2}(\nabla \tilde{v})^T \nabla \tilde{v} + \text{sym}(\nabla \tilde{w}) = A$.

Corollaire 1.2 (Densité des solutions faibles) :
L'ensemble des solutions faibles $C^{1,\alpha}$ du système de Monge-Ampère (1.2) est dense dans l'espace des fonctions continues $C^0(\bar{\omega}, \mathbb{R}^k)$ pour tout $\alpha < 1$.

Théorème 5.1 (Extension aux immersions isométriques) :
Le même schéma de preuve permet d'établir la flexibilité complète pour les immersions isométriques de métriques riemanniennes $C^2$ de dimension $d$ dans l'espace euclidien de dimension $d^* + 1$ (codimension $d^* - d + 1$), avec une régularité $C^{1,1-}$.

3. Méthodologie et Stratégie de Preuve

La preuve repose sur une itération de type Nash-Kuiper (convex integration), qui consiste à construire une suite de solutions approchées en ajoutant des "corrugations" (oscillations rapides) pour réduire l'erreur (défaut) à chaque étape.

A. Construction de l'Étape (Stage Construction) - Théorème 1.3

Le cœur technique de l'article est la construction d'une étape unique qui réduit le défaut $D = A - (\frac{1}{2}(\nabla v)^T \nabla v + \text{sym}\nabla w)$ tout en contrôlant la croissance des dérivées secondes.

1. Décomposition du défaut : Le défaut est décomposé en une somme de défauts primitifs de rang un de la forme $a^2 \eta \otimes \eta$, où $\eta$ sont des vecteurs unitaires spécifiques.
2. Utilisation de la codimension réduite :
   • L'innovation majeure réside dans la manière d'utiliser les $k = d^* - d + 1$ dimensions disponibles.
   • Les auteurs procèdent par étapes intermédiaires. Ils utilisent d'abord une codimension ($n=1$) pour annuler les défauts associés aux vecteurs $\eta_{1j}$ (pour $j=1\dots d$).
   • Ensuite, ils utilisent les codimensions restantes ($n=2 \dots \bar{d}$) pour annuler les défauts restants ($\eta_{ij}$ avec $2 \le i \le j \le d$).
3. Gestion des termes d'erreur (Intégration par parties) :
   • L'ajout de corrugations génère des termes d'erreur oscillants. Pour les annuler, les auteurs utilisent une technique d'intégration par parties itérative (Lemme 2.4) qui permet de réduire l'ordre de grandeur des erreurs en fonction de la fréquence $\lambda$.
   • Point clé de l'analyse : Ils observent que le terme d'erreur principal, impliquant la dérivée seconde $\nabla^2 v_k$, peut être réécrit comme une somme de termes de structure similaire ne dépendant que de la dérivée seconde initiale $\nabla^2 v_0$, plus des contributions oscillatoires résiduelles. Cela permet de decomposer et réduire ces termes sans avoir besoin d'une codimension supplémentaire, ce qui était la limitation des travaux précédents.
4. Contrôle des normes :
   • Le taux de croissance des dérivées secondes est contrôlé par un paramètre $\sigma$.
   • Le taux de décroissance du défaut est également contrôlé par $\sigma$.
   • En faisant varier les paramètres $N$ et $K$ (nombre d'étapes intermédiaires et nombre d'itérations), le rapport entre la croissance des dérivées et la décroissance du défaut peut être rendu arbitrairement petit, permettant d'atteindre n'importe quel $\alpha < 1$.

B. Schéma de Nash-Kuiper

Une fois la construction de l'étape (Théorème 1.3) établie, elle est itérée infiniment (Théorème 4.1). La suite des solutions converge vers une solution exacte dans l'espace $C^{1,\alpha}$, car la décroissance du défaut domine la croissance des dérivées pour des fréquences suffisamment élevées.

4. Contributions Clés

1. Réduction de la codimension : C'est la contribution la plus significative. Le passage de $k \ge 2d^*$ à $k = d^* - d + 1$ représente une amélioration majeure de l'efficacité de la méthode de convex integration pour ce système. Cela rapproche la condition de flexibilité de la dimension minimale théorique nécessaire pour l'existence d'immersions.
2. Nouvelle analyse des termes d'erreur : La capacité à réorganiser les termes d'erreur oscillants (Lemme 2.4 et l'observation dans la Section 1.2) permet d'éviter l'accumulation de défauts qui aurait nécessité plus de dimensions.
3. Unification des résultats : Le papier généralise les résultats connus pour $d=2$ et les étend à toute dimension $d \ge 2$, tout en couvrant à la fois le système de Monge-Ampère et les immersions isométriques.

5. Signification et Impact

• Théorie des équations aux dérivées partielles (EDP) : Ce travail renforce la compréhension de la flexibilité des solutions de régularité faible pour des systèmes non-linéaires surdéterminés. Il montre que la rigidité géométrique peut être "brisée" avec beaucoup moins de degrés de liberté (dimensions d'arrivée) que ce que l'on pensait auparavant.
• Géométrie riemannienne : Pour les immersions isométriques, cela signifie que l'on peut immerger des métriques riemanniennes lisses dans des espaces euclidiens de dimension beaucoup plus faible (proche de $d^*$) tout en conservant une régularité $C^{1,\alpha}$ arbitrairement proche de 1.
• Méthodologie : La technique développée, notamment la gestion fine des termes d'erreur via la décomposition des vecteurs $\eta_{ij}$, ouvre la voie à de nouvelles applications de la convex integration dans d'autres systèmes géométriques ou fluides (comme les équations d'Euler).

En résumé, cet article démontre que la "flexibilité totale" du système de Monge-Ampère et des immersions isométriques est un phénomène beaucoup plus robuste et accessible géométriquement qu'anticipé, grâce à une optimisation ingénieuse de l'algorithme de Nash-Kuiper.