ABC implies that Ramanujan's tau function misses almost all primes

Titel en Context

Titel: ABC impliceert dat de Ramanujan-tau-functie bijna alle priemgetallen mist.
Auteurs: Een multidisciplinair team van wiskundigen, ingenieurs en onderzoekers, waaronder prominente namen als Ken Ono en Evan Chen.
Datum: 1 april 2026 (gepubliceerd op arXiv).
Kernonderwerp: Getaltheorie, specifiek de verdeling van priemgetallen in de beeldverzameling van de Ramanujan-tau-functie $\tau(n)$, onder de aanname van de $abc$-vermoeden.

---

1. Het Probleem

De Ramanujan-tau-functie $\tau(n)$ is gedefinieerd via de discriminante modulaire vorm $\Delta(z)$:
$$\Delta(z) = q \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^n)^{24} = \sum_{n=1}^{\infty} \tau(n)q^n$$
waarbij $q = e^{2\pi i z}$.

Er bestaan twee gerelateerde, maar fundamenteel verschillende conjectures:

1. Lehmer's Vermoeden: $\tau(n) \neq 0$ voor alle $n \geq 1$.
2. Folklore Vermoeden: Er zijn oneindig veel priemgetallen die voorkomen als $|\tau(n)|$ (voor zekere $n$).

De vraag die dit paper adresseert is: Hoe "dik" is de verzameling van priemgetallen die in het beeld van $\tau$ voorkomen?
Xiong (2024) had al aangetoond dat de dichtheid van deze priemgetallen onder de 2/11 ligt. Dit paper onderzoekt of deze dichtheid zelfs nul is, mits de $abc$-conjectuur waar is.

---

2. Methodologie

De auteurs combineren diepe resultaten uit de theorie van modulaire vormen met de $abc$-conjectuur van Masser en Oesterlé. De aanpak verloopt in drie fasen:

A. Reductie tot Diophantische Vergelijkingen

Gebruikmakend van Hecke-relaties en eigenschappen van $\tau(n)$ (zoals de pariteit: $\tau(n)$ is oneven dan en slechts dan als $n$ een oneven kwadraat is), reduceren de auteurs het probleem.

• Als $|\tau(n)| = \ell$ (een priemgetal), dan moet $n$ een macht van een priemgetal zijn ($n=p^k$).
• Voor kleine exponenten ($k=2, 4$) leiden de Hecke-relaties tot specifieke hyperelliptische krommen:
  • Voor $k=2$: $y^2 = x^{11} \pm \ell$
  • Voor $k=4$: $u^2 = 5x^{22} \pm 4\ell$
• Het probleem wordt dus omgezet in het tellen van het aantal priemgetallen $\ell$ waarvoor deze krommen een geheel getal-oplossing hebben.

B. Toepassing van de $abc$-Conjectuur

De $abc$-conjectuur stelt dat voor coprieme gehele getallen $a, b, c$ met $a+b=c$:
$$|c| \leq C_\varepsilon \cdot \text{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$$
De auteurs passen dit toe op de vergelijkingen die uit de Hecke-relaties volgen (bijv. $x^{11} + k = y^2$). Dit stelt hen in staat om sterke bovenkanten te stellen op de grootte van de variabelen ($x$ en $y$) in termen van de parameter $X$ (de bovengrens voor de priemgetallen).

C. Automatische Formalisatie (AxiomProver)

Een uniek aspect van dit paper is dat de kernbewijzen (de analytische schattingen) volledig automatisch gegenereerd en geverifieerd zijn door een AI-systeem genaamd AxiomProver.

• De auteurs gaven de AI natuurlijke taal-instructies en de relevante wiskundige stellingen.
• AxiomProver produceerde Lean 4-code (voor de Mathlib bibliotheek) die de bewijzen voor de twee hoofdlemmata (Lemma 5) automatisch construeerde.
• De menselijke auteurs vertaalden deze code vervolgens terug naar een leesbaar wiskundig betoog voor dit paper.

---

3. Belangrijkste Resultaten

Hoofdstelling (Theorema 1)

Onder de aanname van de $abc$-conjectuur geldt voor de functie $S(X)$ (het aantal priemgetallen $\ell \leq X$ die in het beeld van $\tau$ voorkomen):
$$S(X) = O\left( X^{9/10} \log X \right)$$

Consequenties

1. Dichtheid Nul: Omdat het aantal priemgetallen tot $X$ gegeven wordt door de priemgetalstelling $\pi(X) \sim X/\log X$, volgt dat:
   $$\lim_{X \to \infty} \frac{S(X)}{\pi(X)} = 0$$
   Dit betekent dat de Ramanujan-tau-functie bijna alle priemgetallen mist. De verzameling van priemgetallen die als waarde van $\tau$ voorkomen, heeft een natuurlijke dichtheid van 0.

2. Versterking van Xiong's Resultaat: Waar Xiong een bovengrens van $2/11$ had, leveren de auteurs een veel scherpere bovengrens op ($X^{9/10}$ versus $X^1$), wat impliceert dat de "dunheid" van de verzameling veel groter is dan eerder gedacht.

3. Algemeenheid: Het resultaat geldt niet alleen voor $\tau(n)$, maar voor de coëfficiënten van elke genormaliseerde Hecke-eigenvorm op $SL_2(\mathbb{Z})$ met geheeltallige coëfficiënten.

---

4. Heuristische Voorspelling

Hoewel de $abc$-conjectuur impliceert dat de dichtheid 0 is, suggereren de auteurs (in Sectie 4) dat de verzameling niettemin oneindig groot is.
Gebruikmakend van de Sato-Tate-conjectuur (die de verdeling van de hoeken $\theta_p$ beschrijft), leiden ze een heuristische schatting af:
$$S(X) \asymp \frac{C X^{1/11}}{(\log X)^2}$$
Dit suggereert dat er oneindig veel priemwaarden zijn, maar dat ze extreem schaars zijn (sublineair in $X$).

---

5. Significatie en Impact

1. Wiskundige Doorbraak: Het paper biedt een conditioneel antwoord op een langdurig open probleem over de beeldverzameling van de Ramanujan-tau-functie. Het toont aan dat, als de $abc$-conjectuur waar is, de "priemwaarde-eigenschap" van $\tau$ uitzonderlijk zeldzaam is.
2. AI in Wiskundig Onderzoek: Dit is een van de eerste prominente voorbeelden waarbij een AI-systeem (AxiomProver) niet alleen een bewijs controleert, maar de kernbewijzen (de schattingen voor de hyperelliptische krommen) autonoom genereert vanuit een natuurlijke taalbeschrijving. Dit markeert een mijlpaal in het gebruik van AI voor het ontdekken en formaliseren van complexe wiskundige stellingen.
3. Formele Verificatie: De volledige formalisatie in Lean/Mathlib biedt een nieuwe graad van zekerheid voor de complexiteit van de argumenten, die moeilijk handmatig te controleren zouden zijn zonder fouten.

Conclusie: Het paper combineert klassieke getaltheorie met moderne computationele methoden om aan te tonen dat de Ramanujan-tau-functie, ondanks haar rijke structuur, "bijna nooit" priemgetallen produceert, tenzij de $abc$-conjectuur onwaar is.