ABC implies that Ramanujan's tau function misses almost all primes

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à une question fondamentale en théorie des nombres concernant l'image de la fonction $\tau(n)$ de Ramanujan, les coefficients de la forme modulaire discriminante $\Delta(z)$ de poids 12.

• Conjecture de Lehmer : $\tau(n) \neq 0$ pour tout $n \ge 1$.
• Conjecture populaire : Il existe une infinité de nombres premiers $p$ tels que $|\tau(n)| = p$ pour un certain $n$.
• Travaux antérieurs : Xiong a récemment démontré que l'ensemble des nombres premiers apparaissant comme valeurs de $|\tau(n)|$ forme un sous-ensemble de densité nulle, avec une borne supérieure de densité de $2/11$ parmi les classes de résidus non nulles modulo 23.

L'objectif de cet article est d'améliorer considérablement cette borne supérieure en supposant la validité de la conjecture abc de Masser et Oesterlé.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une combinaison d'outils analytiques, de théorie des nombres modulaires et de la conjecture abc. La stratégie se décompose en plusieurs étapes clés :

A. Réduction aux puissances de nombres premiers

En utilisant les relations de Hecke et la parité de $\tau(n)$ (Proposition 8 : $\tau(n)$ est impair si et seulement si $n$ est un carré impair), les auteurs montrent que si $|\tau(n)|$ est un nombre premier impair, alors $n$ doit être une puissance d'un nombre premier, $n = p^k$.
L'étude se concentre donc sur les ensembles $X_{2k} = \{\tau(p^{2k}) : p \text{ premier}\}$.

B. Analyse par cas des exposants

Les auteurs divisent l'analyse selon la valeur de l'exposant $k$ :

1. Cas $k \ge 3$ : Ils utilisent directement les résultats de Xiong (Proposition 9), qui établissent que le nombre de tels premiers est borné par $O(X^{9/10})$.
2. Cas $k = 1$ et $k = 2$ (Les cas critiques) : Ces cas correspondent respectivement à $\tau(p^2)$ et $\tau(p^4)$.
   • Pour $k=1$, l'équation $\tau(p^2) = \pm \ell$ se transforme en une courbe hyperelliptique : $y^2 = x^{11} \pm \ell$.
   • Pour $k=2$, l'équation $\tau(p^4) = \pm \ell$ se transforme en : $u^2 = 5x^{22} \pm 4\ell$.

C. Application de la Conjecture abc

Le cœur de la démonstration réside dans l'estimation du nombre de points entiers sur ces courbes hyperelliptiques pour de grands paramètres.

• Les auteurs définissent des fonctions de comptage $E_2(X)$ et $E_4(X)$ représentant le nombre de solutions entières $(x, y)$ ou $(x, u)$ satisfaisant certaines conditions de taille.
• En appliquant la conjecture abc à des équations de la forme $a + b = c$ dérivées de ces courbes (par exemple $x^{11} + k = y^2$), ils démontrent que le nombre de tels points est extrêmement faible.
• Lemmes clés (Lemmes 5) : Sous l'hypothèse abc, ils prouvent que :
  • $E_2(X) \ll X^{4/9 + \eta}$
  • $E_4(X) \ll X^{1/5 + \eta}$
    Ces bornes sont bien inférieures à la borne $X^{9/10}$ obtenue pour les autres cas.

3. Résultats Principaux

Le résultat central est le Théorème 1 :

Théorème 1 : En supposant la conjecture abc, le nombre $S(X)$ de nombres premiers $\ell \le X$ tels que $|\tau(n)| = \ell$ pour un certain $n$ satisfait :
$$S(X) = O(X^{9/10} \log X)$$

Implications immédiates :

• Puisque le nombre total de nombres premiers jusqu'à $X$ est $\pi(X) \sim X/\log X$ (Théorème des nombres premiers), le rapport $S(X)/\pi(X)$ tend vers 0 lorsque $X \to \infty$.
• Conclusion : La fonction tau de Ramanujan « manque » (c'est-à-dire ne prend pas) presque tous les nombres premiers. L'ensemble des valeurs premières de $\tau$ a une densité naturelle nulle.

4. Heuristique et Prédictions

Bien que la fonction manque presque tous les premiers, les auteurs ne concluent pas qu'elle n'en prend aucun. Au contraire, dans la section 4, ils proposent une heuristique suggérant que $S(X)$ est infini, mais très rare.

En utilisant la conjecture de Sato-Tate (qui décrit la distribution des angles $\theta_p$ associés aux coefficients $\tau(p)$), ils prédisent que l'ordre de grandeur de $S(X)$ est :
$$S(X) \asymp \frac{X^{1/11}}{(\log X)^2}$$
Cela implique qu'il existe une infinité de valeurs premières, mais qu'elles sont beaucoup plus rares que ce que la borne supérieure $O(X^{9/10})$ ne le suggère.

5. Contribution Spéciale : Vérification par IA (AxiomProver)

Un aspect novateur de cet article est la méthodologie de preuve assistée par l'intelligence artificielle :

• Outil : Les auteurs ont utilisé AxiomProver, un système capable de générer des preuves formelles en Lean (avec la bibliothèque Mathlib).
• Processus : À partir d'une énonciation naturelle du problème, AxiomProver a généré de manière autonome les preuves formelles des deux estimations clés (Lemmes 5) et a vérifié le Théorème 1, en supposant la conjecture abc et des résultats existants de la littérature (notamment [24]).
• Signification : Cela démontre la capacité croissante des IA à formaliser des preuves mathématiques complexes et à servir d'outil de vérification rigoureuse dans la recherche mathématique moderne.

6. Conclusion et Signification

Cet article apporte une avancée majeure dans la compréhension de la distribution des valeurs de la fonction $\tau(n)$.

1. Il établit une borne supérieure conditionnelle (sous abc) beaucoup plus stricte que les résultats précédents, confirmant que les valeurs premières sont extrêmement rares.
2. Il fournit une heuristique convaincante pour l'existence d'une infinité de telles valeurs, malgré leur rareté.
3. Il sert de cas d'étude pionnier pour l'intégration de l'IA (AxiomProver) dans le processus de découverte et de formalisation mathématique, reliant la recherche théorique classique aux outils de preuve assistée par ordinateur.

En résumé, sous l'hypothèse abc, la fonction tau de Ramanujan est « aveugle » à la quasi-totalité des nombres premiers, bien qu'elle puisse en toucher une infinité de manière très sporadique.